素养拓展3 与大学高等数学接轨的三类函数（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

素养拓展03 与大学高等数学接轨的三类函数（精讲+精练）

高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养个人的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养．

【题型训练】

1.欧拉公式

1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（）被数学家们称为“宇宙第一公式”.（其中无理数），如果记小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记为.设此函数定义域（）为，值域（）为，则关于此函数，下列说法正确的有（    ）

A． B．函数的图像是一群孤立的点

C．是的函数 D．

【答案】ABD

【分析】根据的定义可知A正确；由可知B正确；根据函数定义可知C错误；根据，可知D正确.

【详解】对于A，小数点后第位上的数字为，，A正确；

对于B，，的图像是一群孤立的点，B正确；

对于C，由的值可知：当时，，不符合函数的定义，C错误；

对于D，由题意知：；又，，D正确.

故选：ABD.

2．（单选题）（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（）被数学家们称为“宇宙第一公式”.（其中无理数），如果记小数点后第位上的数字为，则是关于的函数，记为.设此函数定义域（）为，值域（）为，则关于此函数，下列说法正确的有（    ）

A． B．函数的图像是一群孤立的点

C．是的函数 D．

【答案】A

【分析】利用欧拉公式即可判断①，逆用欧拉公式即可判断②

【详解】①

②

则①②均正确

故选：A

3．（填空题）（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列的通项公式为，则数列前2022项的乘积为__.

【答案】

【分析】根据题意，，然后根据指数运算法则求积，再根据等差数列求和公式化简，最后根据定义求结果.

【详解】因为，所以，

所以

.

故答案为: .

2.高斯函数

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，.已知，，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，将其变形分析其取值范围结合取整函数，即可求得结果.

【详解】易知，在上单调递减，上单调递增.

当时， ；当时，；当时，；

所以，则函数的值域为.

故选：C.

2．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】，，使，可得，，分类讨论k为奇数和偶数的情况，求出k的值，再代入求解即可.

【详解】解：，，使，则，

可得，，

若k为奇数，则，所以，

，则，

解得，或，

当时，，，，，

当时，，，，，

若k为偶数，则，所以，

，则，

解得，或，

当时，，，，

当时，，，，，

因此，所有解之和为：，

故选：C.

【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

3．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，已知，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出的值域，结合已知定义即可求解．

【详解】因为

又，

所以，

所以

所以，

则的值域．

故选：C．

4．（2023秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意可得，再根据指数函数的性质讨论，和时，函数的单调性与值域，即可得出答案.

【详解】因为，定义域为，

因为在定义域上单调递增，则在定义域上单调递减，

所以在定义域上单调递减，

时，，

时，；

则时，

时，，

时，.

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题解题关键在于理解题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研究的值域，突破难点.

二、多选题

1．（2023春·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（    ）

A．， B．，

C．，若，则有 D．方程的解集为

【答案】CD

【分析】取，，，A错误，取，，，B错误，，则，，故，C正确，计算，或，D正确，得到答案.

【详解】对选项A：取，则，，错误；

对选项B：取，，，错误；

对选项C：，则，，故，正确；

对选项D：，故，解得，

故或，故或，正确.

故选：CD

2．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考开学考试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）

A．是奇函数

B．在上是减函数

C．的值域是

D．

【答案】ACD

【分析】利用奇偶性的定义判断A，利用函数单调性的结论判断B，由单调性求出的取值范围，结合定义判断C，利用对数函数的值域结合定义判断D.

【详解】因为，

所以，所以是奇函数，选项A正确；

因为在上是增函数，所以在上是增函数，在上是增函数，选项B错误；

因为，所以，所以的值域是，选项C正确；

令，，

由高斯函数定义可得当时，；当时，；当时，；

当时，；当时，；当时，；

所以

，选项D正确；

故选：ACD

3.狄利克雷函数

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数为黎曼函数定义在上，其解析式为则（    ）

A．1 B．0 C． D．

【答案】A

【分析】根据狄利克雷函数与黎曼函数的定义求解即可.

【详解】因为，又为上的无理数，所以，因为，所以

故选：A.

2．（2023·全国·高三专题练习）德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷（1805年2月13日~1859年5月5日），对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》《定积分》等.狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为则下列关于狄利克雷函数的判断错误的是（    ）

A．对任意有理数t，

B．对任意实数x，

C．既不是奇函数也不是偶函数

D．存在实数x，y，

【答案】C

【详解】对于A，对任意有理数t，当x为有理数时，为有理数，则；当x为无理数时，为无理数，则，故A正确；

对于B，若x为有理数，则；若x为无理数，则，故B正确；

对于C，当x为有理数时，则为有理数，则；当x为无理数时，则为无理数，则，于是对任意实数x，都有，即狄利克雷函数为偶函数，故C错误；

对于D，取，，因为为无理数，所以，故D正确.

故选：C.

二、多选题

1．（2023秋·江西上饶·高三统考期末）函数被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（    ）

A．函数的值域为 B．若，则

C．若，则 D．，

【答案】BD

【分析】根据函数值域的定义，结合有理数和无理数的性质逐一判断即可.

【详解】由函数的值域定义可知函数的值域为，所以选项A不正确；

因为，所以，所以选项B正确；

当时，显然满足，但是，所以选项C不正确；

当时，，所以选项D正确，

故选：BD

2．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人,并且是有意识地“以概念代替直觉”的人．在狄利克雷之前,数学家们主要研究具体函数,进行具体计算,他们不大考虑抽象问题,但狄利克雷之后,人们开始考虑函数的各种性质,例如奇偶性、单调性、周期性等．1837年,狄利克雷拓广了函数概念,提出了自变量x与另一个变量y之间的现代观念的对应关系,并举出了个著名的函数——狄利克雷函数:,下列说法正确的有（    ）

A． B．

C．是偶函数 D．的值域为

【答案】AC

【分析】根据选项对两种情况分类讨论,即可得出A,C的正误,时,,所以,选项B错误,由可知,,选项D错误.

【详解】解:由题知,

关于选项A,

当时,,,

当时,,,故选项A正确;

关于选项B,当时,,,故选项B错误;

关于选项C,当时,,,

当时,,,为偶函数,故选项C正确;

关于选项D,由解析式可知,故选项D错误.故选:AC

3．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，其中为有理数集，则称为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数，下面4个命题中真命题是（    ）

A．对任意，都有

B．对任意，都有

C．对任意，都存在，

D．若，，则有

【答案】ACD

【分析】根据函数解析式依次判断每个选项即可得出.

【详解】对A，当时，，则，当时，，则，所以对任意，都有，故A正确；

对B，若，则，，故B错误；

对C，显然当时，对任意，，故C正确；

对D，由的解析式可得的值域为，故当时，，当时，，所以，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

1．（2023春·重庆酉阳·高三重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）德国著名数学家狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，他定义了一个函数有如下四个结论：

①；

②函数是偶函数；

③函数具有单调性；

④已知点，则四边形为平行四边形.

其中所有正确结论的序号是__________.

【答案】②④

【分析】根据函数表达式求，，，结合函数的单调性和奇偶性的定义判断①，②，③，再结合点的位置判断④.

【详解】当为有理数时，为有理数，，，，

当为无理数时，为无理数，，，，

所以①错误；

因为对任意的，，所以函数是偶函数；②正确，

因为，所以函数具有单调性；③错误；

因为，，即点，，，的坐标分别为，，，，所以，，结合图象可得，，所以四边形为平行四边形，④正确，

故答案为：②④.