2022-2023学年陕西省汉中市洋县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省汉中市洋县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，可以看作是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果，那么下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若用反证法来证明命题“若，则”，第一步应假设(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，于点，于点，若，则≌的理由是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在中，，为的中点，连接，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在中，，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，它们一组较短的直角边分别在、上，另一组较长的对应边的顶点重合于点，交于点，则下列结论不正确的是(    )

A. 平分
B.
C. 垂直平分
D.

7.  已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，已知绕点逆时针旋转得到，且，交于点，交、于点、，则以下结论：≌；；连接、，则；当的长度最大时，平分其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  与的差不小于，用不等式表示为______ ．

10.  命题“若，则的逆命题是______ ．

11.  在直角坐标平面内，已知点，，将线段平移得到线段点的对应点是点，点的对应点是点，如果点坐标是，那么点的坐标是______ ．

12.  如图，直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的不等式的解集为______．

13.  如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，，则线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
解不等式：．

15.  本小题分
如图，，将沿方向平移距离得到，交于点，已知：，，，求图中阴影部分的面积．

16.  本小题分
如图，已知，，交于点求证：是等腰三角形．

17.  本小题分
请用尺规作图法在直线上作一点，连接，使得是以为底边的等腰三角形．

18.  本小题分
如图，点、、都在格点上，在方格纸中画出绕点顺时针方向旋转后得到的图形．

19.  本小题分
如图，在中，，是上的点且，求证：．

20.  本小题分
解不等式组：，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．

 

21.  本小题分
在平面直角坐标系中的位置如图所示．
作关于点成中心对称的；
作出将向右平移个单位，再向上平移个单位后的．

22.  本小题分
有甲、乙两种客车，甲种客车载客量为人辆，乙种客车的载客量为生送到指定地点，学校组织名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共辆，一次将全部师则至少需要租用甲种客车多少辆？

23.  本小题分
如图，在中，为边上一点，，，交的延长线于点，，垂足为，且．
求证：；
若点是的中点，求的度数．

24.  本小题分
如图，已知等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，．
求的度数；
求证：点在的垂直平分线上．

25.  本小题分
某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配个羽毛球供社区居民免费借用，该社区附近，两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为元，每个羽毛球的标价为元，目前两家超市同时在做促销活动：
超市：所有商品均打八折按标价的销售；
超市：买一副羽毛球拍送个羽毛球．
设在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为元，在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为元请解答下列问题：
分别写出，与之间的关系式；
若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

26.  本小题分
【问题提出】在和中，，，，，点在内部，直线与交于点，探究线段、、之间的数量关系．
【问题探究】
先将问题特殊化如图，当点，重合时，写出一个等式表示、、之间的数关系，并说明理由；
再探究一般情形如图，当点，不重合时，中的结论是否仍然成立，请证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B、、中的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
 

2.【答案】 

【解析】解：，令，，则，故不成立，不符合题意；
B.，根据不等式的性质得，故不成立，不符合题意；
C.，根据不等式的性质得，故不成立，不符合题意；
D.，根据不等式的性质得，符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐项分析即可．
本题考查不等式的性质；解题关键是熟练掌握不等式的性质，性质：不等式两边同加或同减同一个数或式子，不等号的方向不变；性质：不等式两边同乘或同除以同一个正数，不等号的方向不变；性质：不等式两边同乘或同除同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：用反证法来证明命题“若，则”，
第一步假设，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

4.【答案】 

【解析】证明：于点，于点，
，
在和中，
，
≌，
≌的理由是．
故选：．
由直角三角形全等的判定方法“”，即可判断．
本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
为的中点，
，
，
故选：．
根据等角对等边可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，，
平分，
，
，垂直平分，
故选项A、、C正确，不符合题意；
只有当是等边三角形时，才能得出，
故选项D错误，符合题意．
故选：．
先根据角平分线的判定定理得到平分，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，垂直平分，进而即可求解．
本题考查的是角平分线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有个整数解，
，
解得：．
故选：．
解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得．
本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，，，，，
，
，，
，
≌，故正确；
，，
，
，，
，
又，
≌，
，故错误；
，，
垂直平分，故正确；
当最大时，即最短，
，
，
平分，故正确．
故正确的个数是个，
故选：．
由旋转的性质可知≌，故正确；再证明≌，得，故错误；由，，得垂直平分，故正确；当最大时，即最短，得，即可判断．
本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，证明≌是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
根据“与的差不小于”，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

10.【答案】若，则 

【解析】解：命题“若，则的逆命题是若，则，
故答案为：若，则．
根据逆命题的概念解答即可．
本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

11.【答案】 

【解析】解：平移后对应点的坐标为，
点的平移方法是：先向左平移个单位，再向上平移个单位，
点的平移方法与点的平移方法是相同的，
平移后的坐标是：．
故答案为：．
各对应点之间的关系是横坐标减，纵坐标加，那么让点的横坐标减，纵坐标加即为点的坐标．
此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．
 

12.【答案】 

【解析】解：直线与轴交于点，
关于的不等式的解集为．
故答案为：．
一次函数的图象落在轴下方的部分对应的自变量的取值范围即为不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

13.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质可知：，，，
在中，，，，
由勾股定理得：，
在中，，
即：的长为，
故答案为：．
根据旋转的性质可知：，，，由勾股定理求出的长，的长．
本题考查了旋转的性质与勾股定理的应用，掌握旋转的性质是本题的关键．
 

14.【答案】解：，
，
，
，
，
． 

【解析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

15.【答案】解：将三角形沿方向平移距离得到三角形，，，，
，，
，
，
图中阴影部分的面积为：． 

【解析】直接利用平移的性质得出对应线段长，进而利用三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了平移的性质，正确得出的长是解题关键．
 

16.【答案】证明：，
，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求作．
 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，连接，即可．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】解：如图，即为所求．
 

【解析】根据旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

19.【答案】证明：，
，，
，
，
，
，
．
，
，
． 

【解析】先求，再求出，得出，即可证出．
本题考查了等腰三角形的性质以及垂直的定义；弄清角之间的关系求出是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
 

【解析】分别将两个不等式的解集表示出来，再数轴上表示即可．
本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟记数轴表示解集的步骤是解题关键．
 

21.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求． 

【解析】根据旋转的性质即可作关于点成中心对称的；
根据平移的性质即可将向右平移个单位，再向上平移个单位作出平移后的．
本题考查了作图旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．
 

22.【答案】解：设需要租用辆甲车，则租用辆乙车，
依题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：至少需要租用甲车辆． 

【解析】设需要租用辆甲车，则租用辆乙车，根据租用的辆客车的总载客量不少于人，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，交的延长线于点，，垂足为，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，即，
．
解：点是的中点，
，
，
，
由得，
，
是等边三角形，
，
的度数是． 

【解析】由，，得，由，，根据直角三角形全等的判定定理“”证明≌，得，而，即可证明，则；
由点是的中点，得，而，所以，因为，所以是等边三角形，则．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图，连接，
，，
，，
，
，
，
，，
；
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
点在的垂直平分线上． 

【解析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；
证明且，即可证得是等边三角形，进而解答即可．
 

25.【答案】解：根据题意得：
在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为，
在超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；
答：，；
若，
解得，
当时，在、超市购买费用相同；
若，
解得，
当时，在超市购买更划算；
若，
解得，
当时，在超市购买更划算；
答：当时，在、超市购买费用相同；当时，在超市购买更划算；当时，在超市购买更划算． 

【解析】根据、超市的促销方案，分别列出函数关系式即可；
分三种情况，列出方程或不等式，即可解得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的根据是读懂题意，列出函数关系式．
 

26.【答案】解：，理由如下：
如图，

在和中，
，，
和是等边三角形，
，
即，
，
，
，
又，，
≌，
，
即，，
即；

中的结论仍然成立，理由如下：
如图，将绕点旋转交于点，

，
，
，
由可知，≌，
，
又，
≌，
，，
又，是等边三角形，
，
，
即． 

【解析】如图，由，，，易证≌，利用全等三角形的性质等量代换即可求解；
成立，如图，将绕点旋转交于点，得求得，结合易证≌，利用全等三角形的性质等量代换即可求解．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．