2022-2023学年陕西省渭南市临渭区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省渭南市临渭区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中是中心对称图形的是(    )
 

A.  B.  C.  D.

2.  若，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  用反证法证明，“在中，、对边是、若，则”第一步应假设(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各式从左到右，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在中，，将沿边所在的直线向下平移得到，与交于，下列结论中不一定正确的(    )

A.
B.
C.
D.

6.  小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线”他这样做的依据是(    )

A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条高交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点

7.  若关于的不等式的整数解共有个，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，，有下列结论：；；是等边三角形；的周长是其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  命题“等腰三角形有两个角相等”的逆命题是______ ．

10.  多项式的公因式是______ ．

11.  在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______ ．

12.  已知，，则代数式的值为______ ．

13.  如图，在中，，，，点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值______．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
因式分解：．

15.  本小题分
解不等式：．

16.  本小题分
如图，已知在中，请用圆规和直尺在上求作一点，使得点到边的距离等于的长；保留作图痕迹，不写作法和证明

17.  本小题分
如图所示，在中，，，是延长线上一点，点在上，且求证：≌．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点都位于方格交点处请在图中画出关于坐标原点成中心对称的点、、的对应点分别为、、

19.  本小题分
解不等式组：，并把解集表示在数轴上．

20.  本小题分
如图，在中，，过点作的平行线交的角平分线于点，连接求证：为等腰三角形．

21.  本小题分
如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点．
以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出．
将向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，请画出．

22.  本小题分
为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买个乒乓球做道具，并购买一些乒乓球拍做奖品．已知每个乒乓球元，每个乒乓球拍元．如果购买金额不超过元，且购买的球拍数量要尽可能多，那么小张同学应该购买多少个球拍？

23.  本小题分
如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点．
求证：是的垂直平分线．
若，请你探究，之间有什么数量关系？并证明你的结论．

24.  本小题分
如图，在中，，度，是的平分线，为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接．
求证：≌；
求的度数．

25.  本小题分
甲、乙两家采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克元，两家均推出了“周末”优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需要购买门票，采摘的草莓超过千克后，超过部分五折优惠优惠期间，设某游客的草莓采摘量为千克，在甲采摘园所需总费用为元，在乙采摘园所需总费用为元
求、关于的函数关系式；
游客如何选择采摘园使所需总费用较少？并说明理由．

26.  本小题分
观察猜想
如图，在直角中，，，为边上一动点，与点不重合，连接，将绕点逆时针旋转到，那么、之间的位置关系为______ ，数量关系为______ ；
数学思考
如图，在中，，，、为上两点，且求证：；
拓展延伸
如图，在中，，，，若以、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形，当时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进而求解．
本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，则，故本选项错误；
B、，则，故本选项错误；
C、，，故本选项正确；
D、，，故本选项错误．
故选：．
运用等式的基本性质即可作出判断．
主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是注意不等号的方向是否变化．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设不成立，即．
故选：．
熟记反证法的步骤，直接选择即可．
本题主要考查了反证法，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

4.【答案】 

【解析】解：、是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误；
B、结果不是积的形式，故本选项错误；
C、不是对多项式变形，故本选项错误；
D、运用完全平方公式分解，正确．
故选D．
根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
 

5.【答案】 

【解析】解：沿直线边所在的直线向下平移得到，
，≌，
，，
，
观察四个选项，不正确，
故选：．
根据平移的性质逐一判断即可．
本题考查了平移的性质，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可知，点到射线的距离是直尺的宽度，点到射线的距离也是直尺的宽度，
点到射线，的距离相等，
点在的平分线上在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
故选：．
由题意可知，点到射线，的距离相等，则点在的平分线上，即可得出答案．
本题考查角平分线的性质，理解题意，掌握角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的整数解共有个，
，
的取值范围是．
故选：．
首先解不等式组，利用表示出不等式组的解集，然后根据不等式组只有个整数解即可求得的范围．
本题考查不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

8.【答案】 

【解析】解：为等边三角形，
，，
绕点逆时针旋转，得到，
，，
，
，所以正确；
绕点逆时针旋转，得到，
，，
为等边三角形，所以正确，
，，
在中，，
，即，
，所以错误；
，，
的周长，所以错误．
故选：．
根据等边三角形的性质得，，再利用旋转的性质得，，则，于是根据平行线的判定可对进行判断；由绕点逆时针旋转，得到得到，，则根据边三角形的判定方法得到为等边三角形，于是可对进行判断；根据等边三角形的性质得，，然后说明，则，于是可对进行判断；最后利用，和三角形周长定义可对进行判断．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
 

9.【答案】两个角相等三角形是等腰三角形 

【解析】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．
先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
原式中的公因式为，
故答案为：．
根据公因式的定义即可得出答案．
本题考查公因式的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

11.【答案】 

【解析】解：由图象可知，关于的不等式的解集为，
故答案为：．
根据两个一次函数的图象交点横坐标为，进一步可得不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，





故答案为：．
根据，，应用提取公因式法，以及完全平方公式，求出代数式的值是多少即可．
此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
 

13.【答案】 

【解析】解：延长到点，使，

，，
垂直平分，，
，
是等边三角形，
，
线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，，
，
≌，
，
当时，最小，
，
故答案为：．
延长到点，使，可得是等边三角形，利用证明≌，得，当时，最小，从而解决问题．
本题主要考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形找出点的运动路径是解题的关键．
 

14.【答案】解：

．
故答案为：． 

【解析】先提公因式，再利用平方差公式即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

15.【答案】解：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为，得，．
故原不等式的解集为． 

【解析】先移项及合并同类项，再系数化为，即可求出不等式的解集，
本题考查的是解一元一次不等式，解答此题时要注意当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向要改变．
 

16.【答案】解：如图，点即为所求．


作于．
在中，，，，
，
，，，
≌，
，
设，
在中，，
，解得，
点到边的距离为． 

【解析】作的角平分线交于点，点即为所求．
作于，设，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

17.【答案】证明：，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】先判断为等腰直角三角形得到，然后根据“”证明≌．
本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
 

18.【答案】解：，，，
关于原点对称的点的坐标为：，，，
如图所示：
 

【解析】根据关于原点对称的点的坐标特征得到、、的坐标即可解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，理解关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】根据平行线的性质和角平分线的定义可得是等腰三角形，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
 

21.【答案】解：解：如图，即为所求；

如图，即为所求． 

【解析】根据旋转的性质作出即可；
根据平移的性质作出．
此题考查了平移作图，旋转作图，正确掌握平移的性质及旋转的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设小张同学应该购买个球拍，
依题意得，
解得：．
是整数，
的最大值为．
答：小张同学应该购买个球拍． 

【解析】设小张同学应该购买个球拍，利用总价单价数量，结合购买金额不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

23.【答案】解：是的平分线上一点，，，
，，
≌，
，
是等腰三角形，
是的平分线，
是的垂直平分线；

是的平分线，，
，
，，
，，
，
，
． 

【解析】先根据是的平分线上一点，，得出≌，可得出，，，可得出是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出是的垂直平分线；
先根据是的平分线，可得出，由直角三角形的性质可得出，同理可得出即可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
 

24.【答案】证明：是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和，
，
≌；
解：等边中，是的角平分线，
，，
≌，
，
． 

【解析】由是等边三角形的性质得出，，，，求出，根据证出≌；
根据等边三角形的性质得出，，再根据≌，得出，从而求出的度数．
此题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意可得：，
，
即关于的函数解析式是，关于的函数解析式是；
当采摘量等于千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同；当采摘量超过千克时，选择乙采摘园，所需费用较少；当采摘量超过千克且少于千克时，选择甲采摘园所需费用较少；理由如下：
当时，即：，解得，即当采摘量等于千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同；
当时，即：，解得，即当采摘量超过千克时，选择乙采摘园；
当时，即：，解得，即当采摘量超过千克且少于千克时，选择甲采摘园；
由上可得，当采摘量等于千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同；当采摘量超过千克时，选择乙采摘园，所需费用较少；当采摘量超过千克且少于千克时，选择甲采摘园所需费用较少． 

【解析】根据题意列出关系式，化简即可得到结论；
分别令，，求出对应的值或取值范围，从而得出结论．
本题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：与位置关系是，数量关系是．
理由：绕点逆时针旋转，到，
，
，，
．
又，，
≌
且．
，
，即．
故答案为：；；
如图，把绕点顺时针旋转，得到连接，

则≌．
，，．
，．
，
在和中，
，
≌．
，
又，
，
即；
如图，将绕点顺时针旋转，得到，

≌，
，，，
，，

，
，，
，且，，
≌
，
以、、为边的三角形是直角三角形，
以、、为边的三角形是直角三角形，
是直角三角形，
若，且，
，
，
，
，
综上所述，的长为．
根据，，，运用“”证明≌，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段、之间的关系；
把绕点顺时针旋转，得到连接，由“”得到≌，可得，即可把，，放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；
把绕点顺时针旋转，得到连接，可得，，，，由“”可证≌，可得，由以、、为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．
本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．