第21章 二次函数与反比例函数 沪科版数学九年级上册单元提升训练

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【单元复习】第21章 二次函数与反比例函数知识精讲 第21章 二次函数与反比例函数1. 定义：一般地，表达式形如y=ax+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量。2. 二次函数的解析式的三种形式（1）一般式：y=ax+bx+c（a≠0）（2）顶点式：y=a（x+）+（a≠0）或y=a（x-h）+k（a≠0）（3）交点式：y=a（x-x）（x-x）（a≠0）3.二次函数的图像与性质函数y=ax+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）图像a﹥0a﹤0    性质抛物线向上开口，并向上无线延伸抛物线向下开口，并向下无线延伸对称轴x=﹣，顶点（﹣，）对称轴x=﹣，顶点（﹣，）当x﹥﹣时，y随x的增大而增大；当x﹤﹣时，y随x的增大而减小当x﹥﹣时，y随x的增大而减小；当x﹤﹣时，y随x的增大而增大抛物线有最低点，当x=﹣时，y=抛物线有最高点，当x=﹣时，y= 4.二次函数的平移上加下减，左加右减5.待定系数法求二次函数解析式根据已知条件确定二次函数解析式通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函数的解析式，必须依据题目特点选择适当的形式。（1）已知抛物线上三点的坐标，一般设解析式为y=ax+bx+c（a≠0）；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般设解析式为y=a（x-h）+k（a≠0）；（3）已知抛物线与X轴的两个交点，一般设解析式为y=a（x-x）（x-x）（a≠0）6.二次函数与一元二次方程抛物线y=ax+bx+c与x轴的交点的横坐标X，X是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根。当y=0时，抛物线y=ax+bx+c便转化为一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）。（1）当b-4ac﹥0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；（2）当b-4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；（3）当b-4ac﹤0时，一元二次方程有没有实根，二次函数图像与x轴没有交点。7. 反比例函数的定义：一般地，表达式形如y=（k为常数且k≠0）的函数叫做反比例函数；反比例函数的图像是双曲线；反比例函数图像既是轴对称图形又是中心对称图形（两条对称轴y=x，y=-x，对称中心为原点）。8.反比例函数性质（1）当k﹥0时，函数图像位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；（2）当k﹤0时，函数图像位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。考点例析 【考点1】二次函数【例1】下列函数中，属于二次函数的是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】对四个选项逐个分析，选项A，D显然不符合，选项B化简后是一次函数，也不符合，只有选项C符合．【详解】选项A中是一次函数，故不符合题意；选项B中是一次函数，故不符合题意；选项C中是二次函数，故符合题意；选项D中不是二次函数，故不符合题意故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数，注意要先化简再判断．【考点2】二次函数的图像和性质【例2】如图，已知抛物线与直线y＝x交于和两点，有以下结论：①；②3b＋c＋6＝0；③当时，；④当时，，其中正确的个数是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由函数与x轴无交点，可得来判断①；当时，来判断②；当时，二次函数值小于一次函数值，可得来求解③；把和两点代入求出抛物线解析式进行得用抛物线与双曲线的交点坐标，分第一象限内和第三象限内来求解④．【详解】解：∵函数与x轴无交点，∴，故①不正确；当x=3时，，即，故②正确；∵当时，二次函数值小于一次函数值，∴，∴，故③正确；把和两点代入得抛物线的解析式为 ，当时，，，抛物线和双曲线的交点坐标为，第一象限内，当时，；或第三象限内，当时，，故④错误．综上所述，正确的有②③共2个．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，注意掌握数形结合思想的应用．【考点3】二次函数与一元二次方程【例3】如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②b=﹣2；③使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥1；④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和为﹣2．其中正确的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①只需通过观察图象即可确定最大值；②将点坐标代入解析式，可以根据求出的解析式来判定；③观察图象即可得到取值范围；④可根据二次函数的性质得到结论；【详解】将（-3，0）、（1，0）、（0，3）代入解析式可求出二次函数的解析式，∴y=-x2-2x+3，①观察图象，可确定顶点坐标为（-1，4），故该结论正确；②代入三点坐标后解析式为y=-x2-2x+3，b=-2，故该结论正确；③使y≤3成立的x的取值范围是x≤-2或x≥0，故该结论错误；④一元二次方程ax2+bx+c＝m（m＜4）的两根之和，可理解成关于二次函数与y=m的解析式的交点，这两个交点的横坐标是关于x=-1对称，即两根之和为-1×2=-2．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的解析式、二次函数的性质和二次函数与一元二次方程根的关系；熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，并熟练运用二次函数的性质是解决本题的关键．【考点4】二次函数的运用【例4】如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，得出，，在中，根据面积公式得到的面积与点P的运动时间之间的函数关系，利用顶点式得出当时，有最大值为，从而求出运动时间是，求出，根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：设运动时间，，则，，在中，，，，则，当时，有最大值为，解得，即，根据的面积与点P的运动时间之间的函数关系可知，抛物线与轴交于和两点，即运动时间是，，在中，，，根据勾股定理可得，故选：B．【点睛】本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题，涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点，看懂题意，将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键．【考点5】反比例函数【例5】在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与（k≠0）的图象大致是（       ）A．  B．  C． D．【答案】D【分析】根据k的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．【详解】解：①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限，没有符合条件的选项，②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限，故D选项的图象符合要求．故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．【考点6】综合与实践 获取最大利润【例6】某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（　　）A．22元 B．24元 C．26元 D．28元【答案】B【分析】设利润为y，售价定为每件x元，根据：利润=每件利润×销售量，列方程求解，然后利用配方法求二次函数取最大值时x的值即可．【详解】设利润为y，售价定为每件x元，由题意得，y=（x-18）×[100-10（x-20）]，整理得：y=-10x2+480x-5400=-10（x-24）2+360，∵-10＜0，∴开口向下，故当x=24时，y有最大值．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度适中，解答本题的关键是根据题意列出二次函数，要求同学们掌握求二次函数最大值的方法．举一反三 一、选择题（共3小题）1．（2022·全国·九年级期中）如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（       ）A．B．C．D．2．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（       ）A．B．C．D．3．（2022·湖北荆门·中考真题）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(     )A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝二、填空题（共3小题）4．（2022·全国·九年级单元测试）如图抛物线与轴相交于点A，，与轴相交于点，则的面积为______．5．（2022·湖北荆州·中考真题）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．6．（2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．二、简答题（共2小题）7．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．(1)根据图像直接写出不等式＜ax+b的解集；(2)求反比例函数与一次函数的解析式；(3)点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．8．（2022·湖北荆门·中考模拟）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a= ，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）实战演练 一、选择题（共3小题）1．（2022·全国·九年级期末）如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线与图形恰有两个公共点时，则b的取值范围是（       ）A． B． C． D．2．（2022·全国·九年级期中）如图，中，，，，动点P沿折线运动，到点B停止，动点Q沿运动到点C停止，点P运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为2.5cm/s，设运动时间为，的面积为S，则S与对应关系的的图象大致是（       ）． A．B．C．D．3．（2022·山东菏泽·中考真题）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（       ）A．B．C． D．二、填空题（共3小题）4．（2022·全国·九年级单元测试）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于，两点，拱桥最高点到的距离为，，，为拱桥底部的两点，且，若的长为，则点到直线的距离为______．5．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 _____．6．（2022·湖南湘西·中考真题）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 _____．二、简答题（共2小题）7．（2022·贵州贵阳·中考真题）已知二次函数y=ax2+4ax+b．(1)求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB=6，且图象过(1，c)，(3，d)，(−1，e)，(−3，f)四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；(3)点M(m，n)是二次函数图象上的一个动点，当−2≤m≤1时，n的取值范围是−1≤n≤1，求二次函数的表达式．8．（2022·山东枣庄·中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACx轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的关系式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．