2022-2023学年湖北省恩施州来凤县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省恩施州来凤县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(    )

A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直且相等

4.  以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  如果通过平移直线得到的图象，那么直线必须(    )

A. 向上平移个单位 B. 向下平移个单位 C. 向上平移个单位 D. 向下平移个单位

6.  中考前夕，数学老师想看看小明同学的数学成绩是否稳定，于是他统计了小明同学近次数学模拟考试的成绩，对于这名数学老师来说，他最想知道的是小明这次考试数学成绩的(    )

A. 平均数和中位数 B. 方差或极差 C. 众数或中位数 D. 平均数或众数

7.  疫情期间，为保障学校师生安全，某校每天进行全员核酸检测，小胡下课后从教室去米的检测点做核酸检测，他用了分钟到达检测点，扫码检测共用了分钟，做完核酸检测后，他及时回教室，用了分钟，下列图象能正确表示小胡离教室的距离与时间关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  数形结合是解决数学问题常用的思想方法如图，直线与直线相交于点根据图象可知，关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  下列判断正确的是(    )

A. 一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
B. 四个内角都相等的四边形是菱形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 四条边都相等的四边形是正方形

10.  “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，在矩形中，点在边上，把沿直线折叠，使点落在边上的点处，连接，过点作，垂足为，若，，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动，设点的运动时间为单位：，下列结论：
当时，四边形为矩形；
当时，四边形为平行四边形；
当时，或；
当时，或．
其中结论正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  晨光中学规定学生的体育成绩满分为分，其中早操及体育课外活动占，期中考试成绩占，期末考试成绩占，小惠的三项成绩依次是分，分，分，小惠这学期的体育成绩为______分．

14.  阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ______ ．

15.  如图，菱形的对角线，相交于点，点是的中点，，则长为______ ．

16.  甲、乙两车从城出发匀速行驶至城在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离千米与甲车行驶的时间小时之间的函数关系如图所示则下列结论：，两城相距千米；乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；乙车出发后小时追上甲年；当甲、乙两车相距千米时，或，其中正确的结论序号为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口出发，客船与货船的速度比为：，出发小时后，客船比货船多走了海里客船沿北偏东方向航行，小时后货船到达处，客船到达处，若此时两船相距海里．
求两船的速度分别是多少？
求货船航行的方向．

19.  本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数都是常数，且的图象经过点和．
当时，求的取值范围；
已知点在该函数的图象上，且，求点的坐标．

20.  本小题分
如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形．
求证：；
已知平行四边形的面积为，，求的长．

21.  本小题分
某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
甲、乙两位同学得分的折线图：
丙同学得分：，，，，，，，，，
甲、乙、丙三位同学得分的平均数：

根据以上信息，回答下列问题．
求表中的值；
在参加比赛的同学中，如果某同学得分的个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致据此推断：甲、乙两位同学中，评委对______ 的评价更一致填“甲”或“乙”；写出推断过程
如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀，据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是______ 填“甲”“乙”或“丙”写出推断过程

22.  本小题分
某书店现有资金元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共套，其中甲种图书每套元，乙种图书每套元，丙种图书每套元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套元，元，元．设书店购进甲种图书套，乙种图书套，请解答下列问题：
请求出与的函数关系式不需要写出自变量的取值范围；
若书店购进甲、乙两种图书均不少于套，则该书店有几种进货方案？
在和的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调为正整数元，丙种图书的售价下调元，这样三种图书全部售出后，所获得的利润比中某方案的利润多出元，请直接写出书店是按哪种方案进的货及的值．

23.  本小题分
如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．

求证：矩形是正方形；
探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．
如图，连接，求的面积；
如图，在直线上存在点，使得，求点的坐标；
如图，在的条件下，连接，过点作的垂线交轴于点，点在直线上，在平面中存在一点，使得以为一边，，，，为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据二次根式有意义得，，
根据分式有意义的条件得，，
即，
．
故选：．
根据二次根式有意义得，，根据分式有意义的条件得，，即，进行计算即可得．
本题考查了二次根式有意义，分式有意义，解题的关键是掌握这些知识点．
 

2.【答案】 

【解析】解：．与不是同类二次根式，不能合并，此选项运算错误，不符合题意；
B. ，此选项运算错误，不符合题意；
C. ，此选项运算正确，符合题意；
D. ，此选项运算错误，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加法、减法、除法、乘法法则逐项判断即可．
本题考查了二次根式的乘法、除法、加减法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：．
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
以、、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以、、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
以、、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
以、、为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：直线向上平移个单位得到的图象，
故选：．
根据平移中解析式的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减，可得出答案．
本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：老师最关注小明数学成绩的稳定性，由于方差和极差都能反映数据的波动大小，故判断小明的数学成绩是否稳定，应知道方差或极差．
故选：．
方差、极差的意义：体现数据的稳定性，集中程度；方差、极差越小，数据越稳定．故要判断小明的数学成绩是否稳定，老师需要知道小明这次数学成绩的方差或极差．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：小胡下课后从教室去米的检测点做核酸检测，他用了分钟到达检测点，
前两分钟内小胡与教室的距离逐渐增大，在第分钟的时候达到米，
扫码检测共用了分钟，
第分钟到第分钟小胡与教室的距离不变，即为米；
做完核酸检测后，他及时回教室，用了分钟，
第分钟到第分钟，小胡与教室的距离逐渐减小，且第分钟时距离为，
四个选项中只有选项的函数图象符合题意，
故选：．
根据题意可知前两分钟内小胡与教室的距离逐渐增大，第分钟到第分钟小胡与教室的距离不变，第分钟到第分钟，小胡与教室的距离逐渐减小，据此即可得到答案．
本题主要考查了函数图象的识别，正确分析出每个时间段内时间与教室距离的关系是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据图象可得：不等式的解集为：，
故选：．
以两函数图象交点为分界，直线在直线的下方时，．
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
 

9.【答案】 

【解析】解：一组对边平行且对角线相等的四边形不是矩形，A错误，故不符合要求；
四个内角都相等的四边形是矩形，B错误，故不符合要求；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，C正确，故符合要求；
四条边都相等的四边形是菱形，D错误，故不符合要求．
故选：．
根据矩形、菱形、平行四边形的判定定理进行判断即可．
本题考查了矩形、菱形、平行四边形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
从图形中可得，大正方形的面积是个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
，
，
．
故选：．
分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，，
，
，
沿直线折叠，使点落在边上的点处，
，，，
在中，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，即，
化简变形得：，
把代入得：
，
解得或舍去，
，
故选：．
设，，在中，可得，由，有，即得，而，知，可得，即，把代入可解得．
本题考查矩形中的翻折问题，涉及锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理及三角函数列方程解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，可得，，
，，
，，
当四边形为矩形时，，
即，解得，故不正确；
当四边形为平行四边形时，则，
即，解得，故不正确；
当时，分两种情况：
当四边形是平行四边形时，则，
即，解得，
当四边形是等腰梯形时，
过点作于点，过点作于点，如图所示，

则，
，，
≌，
，
，
又，，，
，
即，
解得，
综上可得，当时，
或，
故错误，正确，
正确的结论有个．
故选：．
根据题意，表示出，，和的长，当四边形为矩形时，根据，列出方程求解即可；当四边形为平行四边形时，根据，列出方程求解即可；当时，分两种情况：四边形是平行四边形时；四边形是等腰梯形，分别列方程求解即可．
本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，涉及动点问题，用含的代数式表示各线段的长度是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了加权成绩的计算．
利用加权平均数的公式直接计算．用分，分，分别乘以它们的百分比，再求和即可．
【解答】

解：小惠这学期的体育成绩分．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：



，
故答案为：．
仿照题意进行求解即可．
本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由菱形的性质可得，，，，
，
是的中点，是的中点，
的中位线，
，
故答案为：．
由菱形的性质可得，，，，则，由的中位线，可得，计算求解即可．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，中位线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图象可知，两城相距千米，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，
都正确；
设甲车离开城的距离与的关系式为，把代入得，
，
，
，
设甲车离开城的距离与的关系式为，把，代入得，
，
解得，
，
令，得，
，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，此时乙出发时间为小时，
即乙车出发小时后追上甲车，
正确；
令，得
，
即，
，，
解得，，，
，
，
此时，乙还没有出发，
，
，
此时，乙已到达城，
即当或或或时，两车相距千米，
错误，
综上，正确，
故答案为：．
由图象可知，两城相距千米，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，即都正确；设甲车离开城的距离与的关系式为，把代入得，，进行计算得，设甲车离开城的距离与的关系式为，把，代入，进行计算得，即甲、乙两直线的交点横坐标为，此时乙出发时间为小时，即正确；令，计算得，此时，乙已到达城，即当或或或时，两车相距千米，即错误，综上，即可得．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数的应用，从图象上获取相应的信息．
 

17.【答案】解：原式

；
原式


． 

【解析】先化简二次根式，再合并括号内的同类二次根式，最后根据二次根式的除法计算法则求解即可；
利用平方差公式和完全平方公式进行求解即可．
本题主要考查了二次根式的混合计算，数值相关计算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：设客船与货船的速度分别是海里小时和海里小时，
根据题意得，
解得，
，，
即客船与货船的速度分别是海里小时和海里小时；
海里，海里，海里，
，
，
，
，
即货船航行的方向为南偏东． 

【解析】设客船与货船的速度分别是海里小时和海里小时，依据客船小时比货船多走海里，列方程求解即可；
依据，可得是直角三角形，且，再根据货船航行方向，即可得到客船航行的方向．
本题主要考查了方向角以及勾股定理的应用，正确得出的长是解题的关键．
 

19.【答案】解：设解析式为：，
将，代入得：，
解得：，
这个函数的解析式为：；
把代入得，，
把代入得，，
的取值范围是．
点在该函数的图象上，
，
，
，
解得，，
点的坐标为． 

【解析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，求得解析式上解题的关键．
利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
利用一次函数增减性得出即可．
根据题意得出，联立方程，解方程即可求得．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
正方形，
，
，
；

解：正方形，
，
，
，
，
在中，

． 

【解析】根据正方形的性质可以得到，根据平行四边形的性质可以得到，然后即可得到结论成立；
根据平行四边形的面积，可以得到的长，从而可以求得的长，再利用勾股定理解答即可．
本题考查正方形的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】乙  丙 

【解析】解：；
甲同学的方差，
乙同学的方差，
，
评委对甲同学演唱的评价更一致．
故答案为：乙；
甲同学的最后得分为；
乙同学的最后得分为；
丙同学的最后得分为，
在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙，
故答案为：丙．
根据算术平均数的定义列式计算即可；
根据方差的定义和意义求解即可；
根据平均数的定义求解即可．
本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
 

22.【答案】解：根据题意得购进丙种图书套，则有，
所以解析式为：；
根据题意得：，
解得：，
又，
，
因为，，为整数，
，，，
即有三种购买方案：甲、乙、丙三种图书分别为套，套，套，
甲、乙、丙三种图书分别为套，套，套，
甲、乙、丙三种图书分别为套，套，套，
若按方案一：则有，解得不是正整数，不符合题意，
若按方案二：则有，解得符合题意，
若按方案三：则有，解得不是正整数，不符合题意，
所以购买方案是：甲种图书套，乙中图书套，丙种图书套，． 

【解析】根据题意列出函数解析式即可；
根据题意列出不等式，进而解答即可；
根据中解集得出购买方案．
本题考查一次函数的应用、不等式的应用、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】证明：过作于点，过作于点，如图所示：

正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，，

，
，
又，
在和中，

≌，
，
矩形为正方形；
解：的值为定值，理由如下：
矩形为正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，

≌，
，
，
是定值． 

【解析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
作出辅助线，得到，然后判断，得到≌，则有，即可证得结论；
利用证出≌，得到，得出即可．
 

24.【答案】解：对于直线，令，则，故点
对于，令，则，
令，即，解得：，
故点、，
则，，
则的面积；
过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，

设点，点，
，故E，
，，
，
，，
≌，
，，
即，，解得，
故点
直线的表达式为，
而，则设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式并解得：，
故直线的表达式为，
设点，点，
点向右平移个单位，向上平移个单位得到，
同样点向右平移个单位，向上平移个单位得到，
当点在点的下方时，
则且，
，即，
联立并解得：或，
故点的坐标为不合题意的值已舍去
当点在点的上方时，
同理可得，点的坐标为或．
综上，点的坐标为或或． 

【解析】

【分析】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、三角形全等、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
对于直线，令，则，故点，同理可得点、，的面积，即可求解；
证明≌，则，，即可求解；
分点在点的下方、点在点的上方两种情况，利用平移的性质分别求解即可．
【解答】
见答案；
直线的表达式为，
而，则设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式并解得：，
故直线的表达式为，
设点，点，
点向右平移个单位，向上平移个单位得到，
同样点向右平移个单位，向上平移个单位得到，
当点在点的下方时，
则且，
，即，
联立并解得：或，
故点的坐标为不合题意的值已舍去
当点在点的上方时，
同理可得，点的坐标为或．
综上，点的坐标为或或．