2022-2023学年湖北省恩施州利川市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省恩施州利川市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省恩施州利川市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列计算正确的是(    )
A. 2+ 3= 5 B. 2× 3= 6 C. 6− 3= 3 D. 2 3− 3=2
2. 甲，乙两个同学在五次数学模拟测试中，平均成绩都是110分，方差分别是S甲2=3.6，S乙2=4.4，则成绩比较稳定的是(    )
A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙一样 D. 无法确定
3. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是(    )
A. 三内角之比为1：2：3 B. 三边长的平方之比为1：2：3
C. 三边长之比为3：4：5 D. 三内角之比为3：4：5
4. 对于函数y=−2x+1，下列结论不正确的是(    )
A. 它的图象必经过点(1,−1) B. 它的图象经过第一、二、四象限
C. 当x>0时，y>1 D. y的值随x值的增大而减小
5. 二次根式 (x−3)2=x−3成立的条件是(    )
A. x>3 B. x≥3 C. x<3 D. x≤3
6. △ABC三边长分别是AB=AC=5，BC=6，则BC边上的高是(    )
A. 4 B. 5 C. 3 D. 2.4
7. 如图，在▱ABCD中，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是(    )
A. AB=AD
B. AC⊥BD
C. ∠ABD=∠CDB
D. ∠ABD=∠ADB
8. 如图，过▱ABCD的对角线BD的中点作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE，下列结论正确的是(    )
A. FH=AB B. S四边形EFGH=12S四边形ABCD
C. FG=12BD D. 四边形EFGH是菱形
9. 如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCM的平分线CF于点F，过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M，下列结论正确的是(    )
A. ∠BAE=30° B. CF=12AE
C. ∠CFE=∠BAE D. FM=12CD
10. 如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系内的位置可能是(    )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 化简： 18− 8=______．
12. 一个弹簧秤不挂重物时长10cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比.如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm.则弹簧总长y(单位：cm)与所挂重物质量x(单位：kg)的函数解析式是______ ．
13. 已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的边长为______ cm．
14. 如图，在正方形ABCD中，边AB的长为4，点E是AB的中点，点F在AD上，且AF=1，则∠CEF= ______ ．


15. 如图，点D是等边三角形ABC三条高线的交点，点E，F分别是AC，BC上的点，且∠EDF=120°，AB=6，则四边形DECF的面积是______ ．

16. 已知： 1+112+122=112， 1+122+132=116， 1+132+142=1112，根据此规律 1+1n2+1(n+1)2=______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：( 5+3)(3− 5)−( 3−1)2．
18. (本小题8.0分)
已知直线y1=−12x+3与直线y2=2x−2交于点A．
(1)求点A的坐标；
(2)根据函数图象直接写出不等式2x−2>−12x+3的解集．

19. (本小题8.0分)
为了“天更蓝，水更绿”，某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：
空气质量指数(w)
30
40
70
80
90
110
140
160
天数
2
4
3
7
2
a
4
3
空气质量指数对应级别
空气质量指数
空气质量级别(状况)
w≤50
一级(优)
51≤w≤100
二级(良)
101≤w≤150
三级(轻度污染)
151≤w≤200
四级(中度污染)
w≥201
五级(重度污染)

根据上述信息，解答下列问题：
(1)表格中的数a= ______ ，补全空气质量天数条形统计图；
(2)直接写出空气质量指数这组数据的众数是______ ，中位数是______ ；
(3)健康专家温馨提示：空气质量指数在100以下适合做户外运动.请根据以上信息，估计该市居民一年(以365天计)中有多少天适合做户外运动？
20. (本小题8.0分)
如图，点D，E分别在∠ABC的边BA，BC上，且BD=BE，过点D作DF//BC
交∠ABC的平分线交于点F，连接EF.求证：四边形DBEF是菱形．

21. (本小题8.0分)
我们知道 3 5的化简可以分子分母都乘以 5将分母中的根号去掉，即 3 5= 3× 5 5× 5= 155.同样的1 2+1也可以分子分母同乘以 2−1，将分母中的根号去掉，即1 2+1=1×( 2−1)( 2+1)( 2−1)= 2−1( 2)2−12= 2−1．
(1)根据上面的方法化简：1 3+1；
(2)已知x=12+ 3，y=12− 3，求x2−y2的值．
22. (本小题10.0分)
某涂料加工厂现有A种原料120吨，B种原料90吨，现计划用这两种原料生产甲，乙两种涂料共150吨.已知生产一吨甲种涂料需要A种原料0.6吨，B种原料0.7吨，可获利450元；生产一吨乙种涂料需要A原料0.9吨，B种原料0.4吨，可获利500元.若设生产甲涂料x吨，用这批原料生产这两种涂料所获的总利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)该涂料加工厂在生产这批涂料中，当生产甲种涂料多少吨时，所获利润最大？最大利润是多少？
23. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线OA过原点O和点A(3,4)，直线AB过点A和点B(253,0)，过点A作AD//x轴．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求证：OA⊥AB；
(3)直线AD上有一点C，满足以O，A，B，C为顶点的四边形成是平行四边形，求点C的坐标．

24. (本小题12.0分)
四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE．
(1)如图1，当点E是线段AC的中点时，以DE，EC为邻边作矩形DECG，求证：矩形DECG是正方形；
(2)如图2或图3，当点E不是线段AC的中点时，过点E作EF⊥DE，交线段BC或BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG.四边形DEFG还是正方形吗，如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，当∠ADE=30°，DE=2时，求CF的长．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A、 2与 3不能合并，故A不符合题意；
B、 2× 3= 6，故B符合题意；
C、 6与− 3不能合并，故C不符合题意；
D、2 3− 3= 3，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法，减法，乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．

2.【答案】B 
【解析】解：∵S甲2=3.6，S乙2=4.4，
∴S乙2 ∴成绩比较稳定的是乙，
故选：B．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

3.【答案】D 
【解析】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选D．
根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理．

4.【答案】C 
【解析】解：当x=1时，y=−1，故A选项正确，
∵函数y=−2x+1图象经过它经过一、二、四象限，y随x的增大而减小，
∴B、D选项正确，
当y=1时，1=−2x+1得：
∴x=0，
∴x<0时，y>1，
∴C选项错误，
故选：C．
根据一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质依次判断，可得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数性质，熟练掌握一次函数的性质是本题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：由题意得，x−3≥0，
解得x≥3．
故选：B．
根据二次根式的性质解答即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵BC=6，
∴BD=12BC=3，
∴AD= AB2−BD2= 52−32=4．
故选：A．
根据题意画出图形，过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理求解即可．
本题考查的是勾股定理和等腰三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD或AB=AD时，均可判定平行四边形ABCD是菱形，故A，B选项不符合题意；
当∠ABD=∠ADB时，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故D选项不符合题意；
当∠ABD=∠CDB时，不能判断平行四边形ABCD是菱形，故C选项符合题意，
故选：C．
根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
本题主要考查菱形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：∵E，F，G，H点不是定点，
∴FH不一定等于AB，故选项A说法错误；
E，F，G，H点不一定是四边中点，
∴S四边形EFGH不一定等于12S四边形ABCD，故选项B说法错误；
∵F，G不一定是BC，CD边中点，故可得FG不一定等于12BD，故选项C说法错误；
连接AC，则AC，BD必过O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠HDO=∠FBO，
在△HDO和△FBO中，
∠HDO=∠FBOBO=DO∠HOD=∠FOB，
∴△HDO≌△FBO(ASA)，
∴OH=OF，
同理OE=OG，
又HF⊥EG，
∴四边形EFGH是菱形，故D正确，
故选：D．
由于E，F，G，H点不是定点，故可判断A；由于E，F，G，H点不一定是四边中点，可得出S四边形EFGH不一定等于12S四边形ABCD，故可判断B；F，G不一定是BC，CD边中点，故可得FG不一定等于12BD，故可判断C；连接AC，先根据ASA证明△HDO≌△FBO，再根据HF⊥EG可判断D．
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：设BE=a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠B=∠BCD=∠DCM=90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE=EC=a，
∴AB=BC=CD=2a，
①在Rt△ABE中，AB=2a，BE=a，
由勾股定理得：AE= AB2+BE2= 5a，
∴sin∠BAE=BEAE=a 5a= 55≠12，
∴∠BAE≠30°，
∴选项A不正确；
②∵∠AEF=90°，∠B=90°，
∴∠AEB+∠FEM=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEM，
设FM=x，
∵CF是∠DCM的平分线，
∴∠FCM=45°，
又FM⊥BC，
∴△CMF为等腰直角三角形，
∴CM=FM=x，
∴EM=EC+CM=a+x，
在Rt△ABE中，tan∠BAE=BEAB=12，
在Rt△EFM中，tan∠FEM=FMEM=xx+a，
∵∠BAE=∠FEM，
∴xa+x=12，
∴x=a，
∴FM=CM=a，
在Rt△CMF中，FM=CM=a，
由勾股定理得：CF= CM2+FM2= 2a，
由①可知：AE= 5a，
∴CF≠12AE，
∴选项B不正确；
③由②可知：EC=a，CF= 2a，∠BAE=∠FEM，
∴EC≠CF，
∴∠CFE≠∠FEM，
∴∠CFE≠∠BAE，
∴选项C不正确；
④由②可知：FM=a，
又∵CD=2a，
∴FM=12CD，
∴选项D正确．
故选：D．
①设BE=a，则BE=EC=a，AB=BC=CD=2a，AE= 5a，由此得sin∠BAE=a 5a= 55≠12，据此可对选项A进行判断；
②先证∠BAE=∠FEM，设FM=x，再证△CMF为等腰直角三角形，得CM=FM=x，EM=a+x，然后在Rt△ABE中得tan∠BAE=BEAB=12，在Rt△EFM中tan∠FEM=FMEM=xa+x，由此得x=a，进而得CF= 2a，据此可对选项B进行判断；
③由EC=a，CF= 2a得EC≠CF，则∠CFE≠∠FEM，再由②得∠BAE=∠FEM，据此可对选项C进行判断；
④由FM=a，CD=2a可对选项D进行判断，综上所述可得出答案．
此题主要考查了正方形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质，灵活利用勾股定理及锐角三角函数进行计算．

10.【答案】C 
【解析】解：A、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a>0，b>0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以A选项错误；
B、若经过第一、二、四象限的直线为y=ax+b，则a<0，b>0，所以直线y=bx+a经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、若经过第一、三、四象限的直线为y=ax+b，则a>0，b<0，所以直线y=bx+a经过第一、二、四象限，所以C选项正确；
D、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a>0，b>0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以D选项错误；
故选：C．
对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符号要求．
本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．

11.【答案】 2 
【解析】解：原式=3 2−2 2= 2．
故答案为： 2．
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．

12.【答案】y=10+2x 
【解析】解：∵挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm，
∴挂上xkg的物体后，弹簧伸长2x cm，
∴弹簧总长y=10+2x．
故答案为：y=10+2x．
弹簧总长=弹簧原来的长度+挂上xkg重物质量时弹簧伸长的长度，把相关数值代入即可．
本题考查了列代数式；得到弹簧总长的等量关系是解决本题的关键．

13.【答案】5 
【解析】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，OD=OB，OA=OC，

∵BD=6cm，AC=8cm，
∴OA=4cm，OB=3cm，
在Rt△AOB中，根据勾股定理，得AB= OA2+OB2=5(cm)，
∴菱形的边长为5cm，
故答案为：5．
根据菱形的性质可得AC⊥BD，OD=OB，OA=OC，再根据勾股定理可得AB的长．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

14.【答案】90° 
【解析】解：四边形ABCD为正方形，AB=4，
∴AB=BC=CD=DA=4，
∵点E为AB中点，AF=1，
∴AE=BE=2，DF=3，
由勾股定理得：
EF2=12+22=5，EC2=22+42=20，FC2=42+32=25．
∵EF2+EC2=FC2，
∴△CFE是直角三角形，
∴∠CEF=90°．
故答案为：90°．
根据已知条件，运用勾股定理可以分别求出△CEF的三边，根据勾股定理的逆定理即可求解．
本题综合运用勾股定理及其逆定理，此题难度一般，解答本题的关键是掌握勾股定理．

15.【答案】3 3 
【解析】解：过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，连接BD，CD，

∵点D是等边三角形ABC三条高线的交点，
∴CD平分∠BCA，
∵DM⊥AC，DN⊥BC，
∴DN=DM，
∵∠ACB=60°，
∴∠NDM=120°，
∵∠EDF=120°，
∴∠FDN=∠MDE，
∵∠NDF=∠DME，
∴△DNF≌△DME(ASA)，
∴S△DNF=S△DME，
又∵S△BDN=S△CDN=S△CDM，
∴四边形DECF的面积=13S△ABC，
∵AB=BC=6，
∴S△ABC=12×6×3 3=9 3，
∴四边形DECF的面积=13×9 3=3 3．
故答案为：3 3．
过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，连接BD，CD，证明△DNF≌△DME(ASA)，得出S△DNF=S△DME，由等边三角形的性质可得出答案．
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，证明△DNF≌△DME是解题的关键．

16.【答案】1+1n(n+1) 
【解析】解：根据前边的三个式子可以得到：所得结果的整数部分是1，后边的部分的分母是两个相邻的整数的乘积．
故 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)
故答案是：1+1n(n+1)．
首先根据前边的三个已知的式子总结规律，根据前边的三个式子可以得到：所得结果的整数部分是1，后边的部分的分母是两个相邻的整数的乘积，据此即可求解．
本题主要考查了二次根式的化简，正确根据已知的式子得到规律是解题的关键．

17.【答案】解：原式=9−5−(3−2 3+1)
=4−4+2 3
=2 3． 
【解析】先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法和乘法公式则是解决问题的关键．

18.【答案】解：(1)由题意得：y=−12x+3y=2x−2，
解得：x=2y=2．
∴A(2,2)．
(2)如图，

当2x−2>−12x+3即y2>y1时，x>2． 
【解析】(1)由直线l：y1=x+1与直线l2：y2=2x−2交于点A，故可联立方程组：y=−12x+3y=2x−2，再解方程组即可；
(2)根据函数图象，可知：当y1>y2时，x>3．
本题主要考查一次函数与一元一次不等式和两条直线相交或平行问题，借助数形结合的思想，熟练掌握一次函数图象的性质是解题关键．

19.【答案】5  80  80 
【解析】解：(1)三级人数=30−6−12−3=9(天)，a=9−4=5(天)，
补全条形统计图如图所示：

故答案为：5；
(2)这30天的空气质量指数出现次数最多的是80，共出现7次，因此众数是80，
将这30天的空气质量指数从小到大排列，处在中间位置的两个数的都是80，因此中位数是80，
故答案为：80；80；
(3)空气质量指数在100以下的天数为6+12=18(天)，
∴365×1830=219(天)，
答：估计该市居民一年(以365天计)中有219天适合做户外运动．
(1)根据条形图的数据用30−(一级+二级+四级)的总人数可得三级人数，再减去4可得a的值，即可补全条形统计图；
(2)根据中位数、众数的定义求出中位数、众数即可；
(3)用总人数乘以样本中空气质量指数在100以下对应的百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．

20.【答案】证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵DF//BC，
∴∠BFD=∠FBC，
∴∠ABF=∠DFB，
∴BD=DF，
∵BD=BE，
∴DF=BE，
∵DF//BC，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∵DB=BE，
∴四边形DBEF是菱形． 
【解析】根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形“进行证明．
本题考查了复杂作图，掌握菱形的判定定理是解题的关键．

21.【答案】解：(1)原式= 3−1( 3+1)( 3−1)= 3−12；
(2)∵x=12+ 3，y=12− 3，
∴x=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3；y=2+ 3(2− 3)(2+ 3)=2+ 3，
∴x+y=2− 3+2+ 3=4，x−y=2− 3−2− 3=−2 3，
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=4×(−2 3)=−8 3． 
【解析】(1)根据题中给出的例子，把分子分母同时乘以 3−1即可；
(2)把x，y的分母有理化，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．

22.【答案】解：(1)根据题意可得：设生产甲涂料x吨，则乙两种涂料(150−x)吨，
0.6x+0.9(150−x)≤1200.7x+0.4(150−x)≤90，
解得：50≤x≤100，
∵生产这两种涂料所获的总利润为y元，
∴根据题意可得：y=450x+500(150−x)即y=−50x+75000，
∴y与x的函数关系式：y=−50x+75000 (50≤x≤100)；
(2)由(1)知：y=−50x+75000 (50≤x≤100)；
∵−50<0，∴y随x的增大而减小，
∴当x=50时ny取最大值为−50×50+75000=72500元，
∴当生产甲种涂料50吨时，所获利润最大，最大利润是72500元． 
【解析】(1)根据A、B两种原料的数量，列不等式组，确定自变量的取值范围，根据总利润列出函数的解析式即可；
(2)根据(1)函数解析式以及一次函数的性质和自变量的取值范围来确定最值．
本题考查了一次函数的应用一元一次不等式组的应用，利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．

23.【答案】(1)解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A(3,4)，B(253,0)，
∴3k+b=4253k+b=0，
解得k=−34b=254，
∴直线AB的解析式为y=−34x+254；
(2)证明：∵A(3,4)，B(253,0)，O(0,0)，
∴OA= 32+42=5，OB=253，AB= (3−253)2+42=203，
∴OA2+AB2=OB2，
∴△OAB是直角三角形，∠OAB=90°，
即OA⊥AB；
(3)解：设C点坐标为(m,3)，
∵以O，A，B，C为顶点的四边形成是平行四边形，AC//OB，
∴AC=OB，
即|m−4|=253，
解得m=373或−133，
∴符合条件的C点坐标为(373,3)或(−133,3)． 
【解析】(1)用待定系数法求解析式即可；
(2)根据点的坐标分别求出OA，AB和OB的长，用勾股定理的逆定理判断即可；
(3)设出点C坐标，根据平行四边形的性质分情况求出C点的坐标即可．
本题主要考查一次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式，勾股定理，平行四边形的性质等知识是解题的关键．

24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴△ADC是直角三角形，
又∵点E是线段AC的中点，
∴DE=AE=EC，
∵四边形DECG是矩形，
∴矩形DECG是正方形；
(2)四边形DEFG还是正方形，若选择图2：
证明：连接BE，设FG与DC交于点H，
∵CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴EB=ED，∠CDE=∠CBE，
在△FCH中，∠HFC+∠FHC=90°，
在△DHG中，∠HDG+∠DHG=90°，
∵∠FHC=∠DHG，
∴∠HFC=∠HDG，
∵∠HFC+∠EFB=90°，∠HDG+∠CDE=90°，
∴∠EFB=∠CDE，
∴∠CBE=∠EFB，
∴EB=EF，
∴ED=EF，
∴四边形DECG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；

若选择图3：
证明：连接BE，设EF与DC交于点H，
∵CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴EB=ED，∠CDE=∠CBE，
在△FCH中，∠FHC+∠EFB=90°，
在△DEH中，∠CDE+∠DHE=90°，
∵∠FHC=∠DHE，
∴∠EFB=∠CDE，
∴∠CBE=∠EFB，
∴EB=EF，
∴ED=EF，
∴四边形DECG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；

(3)解：过E作EM⊥AD，垂足为M，
在Rt△MED中，∠ADE=30°，ED=2，
∴ME=DE×sin30°=1，MD=DE×cos30°= 3，
在Rt△AME中，∠MAE=45°，
∴AM=ME=1，
∴AD=AM+MD=1+ 3，
由(2)可知EB=EF=ED=2，∠CBE=∠CDE，
∴∠ABE=∠ADE=30°，
∴∠EBF=60°，
∴△EBF是正三角形，
∴BF=2，
∴CF=BC−BF= 3−1．
 
【解析】(1)只要说明DE=EC即可；
(2)要说明DE=EF，找中间量BE，分别用全等三角形和等腰三角形说明DE=BE，EF=BE；
(3)利用∠ADE=30°，DE=2构造直角三角形求出正方形ABCD的边长，再说明△EBF是正三角形，最后求出CF．
本题考查了正方形的判定，三角形全等，解直角三角形等，(2)的关键是找中间量BE，(3)的关键是构造直角三角形求出正方形ABCD的边长和说明△EBF是正三角形．