2024年中考数学专题复习——专题三 几何综合-2024年中考数学专题复习

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2024年中考数学专题复习
专题三 几何综合
第01讲 几何综合（一）
课前预习
1. 如图，在梯形中，，，点在边上，，，.若，则 .

提示：多个直角（一线三等角），考虑三等角模型.
具体操作：，考虑.
2. 如图，将三角板放在矩形上，使三角板的一边恰好经过点，三角板的直角顶点落在矩形对角线上，另一边交于点.若，，则 .

提示：斜直角要放正（关键是与其他直角配合），利用互余转移角后，寻找三角形相似或全等.
具体操作：过点分别作于，于，则.








3. 如图，将长为，宽为的矩形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 .

提示：折叠，对称轴上的点到对应点的距离相等.
具体操作：连接，，则，在和中表达，，然后建等式求解.



4. 如图，是等边三角形内的一点，连接，，，以为边作，且，连接，.若，则 .

提示：利用旋转可以重新组合条件.当看到等线段共端点时往往会考虑利用旋转思想构造全等.
具体操作：由等线段共端点，，先考虑和的旋转关系，证明后验证，重新组合条件后利用勾股定理逆定理进行求解.




知识精讲
一、几何综合问题的处理思路
1. 标注条件，合理转化
2. 组合特征，分析结构
3. 由因导果，执果索因
二、常见的思考角度
同位角、内错角、同旁内角平行
内角、外角、对顶角、余角、补角转化计算
1. 角 直角互余、勾股定理、高、距离、直径
特殊角，，等在直角三角形中，找边角关系
圆心角、圆周角在圆中，由弧找角，由角看弧
角平分线、垂直平分线轴对称性质
放在直角三角形中→
勾股定理
边角关系
2. 边、线段
遇弦，作垂线
放在圆中→
连半径转移边
遇直径找直角
遇切线找半径
结合全等、相似线段间比例关系
倍长中线
中位线
中点→ 三线合一
3. 特殊点 斜边中线等于斜边的一半
中点坐标公式
n等分点→
相似
面积转化
公式法
规则图形→
相似
4. 面积
转化法 同底
共高
不规则图形→割补法
分割求和
补形作差
三、常见结构、常用模型
中点结构
规则图形→
直角结构
旋转结构
折叠结构
解三角形模型
角平分线模型
规则图形→
弦图模型
相似基本模型
三等角模型
旋转放缩模型

精讲精练
1. 如图，直角梯形中，，，，，将腰绕点逆时针方向旋转并缩短，恰好使，连接，则的面积是 .

2. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线上一点，为轴上一点，连接.线段绕点顺时针旋转至线段，过点作直线轴，垂足为，直线与直线交于点，且.若直线与直线交于点，则点的坐标为 .












3. 如图，在中，，，，于，点是的中点，连接，则 .

4. 如图，把矩形沿直线折叠，点落在点处，连接.若，则的值为 .

5. 如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为；如图2，展开纸片再折叠一次，使点落在线段上的点处，折痕为，交于点，且的周长为；如图3，展开再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为，交于点，则的周长为 .





图1
图2
图3





6. 如图1，在矩形纸片中，，，点是的中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点与点重合，如图2，折痕为；第二次折叠纸片使点与点重合，如图3，点落在处，折痕为，则 .




图1
图2
图3

7. 如图 1，矩形中，.将矩形绕点顺时针旋转，点，，分别落在点，，处，如果点，，在同一条直线上，那么的值为 .




图1
图2（备用）

8. 如图，在四边形中，，将绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好与点重合，得到.若，，则 .


9. 如图，在中，，，.将绕点顺时针旋转得到，连接并延长，交于点，交于点.若，则 .

10. 如图，在中，，，是边上的中线，为边上一点，连接且交于点，.若，则的长为 .

11. 如图，在中，，，点，分别在，上，且，将沿所在直线翻折得到（点在四边形内），连接，则的长为 .

12. 如图，已知菱形的边长为2，，点，分别在边，上，若将沿直线折叠，使得点恰好落在学边的中点处，则 .

13. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，连接，交于点，将沿对折，得到，延长交的延长线于点.下列结论：①；②；③；④.其中正确的个数是（ ）

A.4
B.3
C.2
D.1
















第02讲 几何综合（二）
知识精讲
一、 几何问题无图或图形不完整时，往往需要作图。
作图常考虑以下几点：
1. 从确定的点、线、角出发，依据特征作图。
2. 实际操作过程中，有时也会先画出大致图形，边分析特征，边精确图形。
3. 当研究的问题有多种情况，需要分类讨论时，往往先画出一种符合题意的图形，分析研究后，再考虑其他情况进行作图。
注：
动态变化过程中的几何图形通常需要根据变化过程中的不变特征或线段间数量关系来进行分析验证。
二、 常见作图特征：
1. 与作圆相关
（1）一定点一动点，两点间距离确定，则动点在圆上；
（2）两定点一动点，满足以动点为顶点的角为90°，则动点在圆上；
（3）直角三角形中，直角顶点固定，斜边运动但长度不变，则斜边中点在圆上。
2. 与折叠相关
（1）折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上；
（2）对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线。
3. 与旋转相关
（1）注意旋转中心、旋转方向和旋转角度；
（2）常将整个图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作（有时只需保留研究目标即可）。
4. 与距离（高）相关
动点到确定直线的距离为固定值，则该动点在该直线的平行线上。


















精讲精练
1. 在矩形中，对角线，相交于点，，，点是边上一点，直线交边所在的直线于点，若，则 .
2. 如图，在矩形中，，点是直线上一动点，若满足是等腰三角形的点有且只有3个，则的长为 .

3. 如图，在中，，，，是直线右侧任意一点，且满足.当点落在线段上时，线段的长度为 .

4. 如图，在中，，，，点在边上，且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则当点在线段上时，线段的长度为 .




5. 如图 1，在中，，，.已知直线与边交于点，与边交于点，将沿直线进行翻折，使点恰好落在边的中点处，那么的长为（ ）


A.13
B.
C.

D.12





图1
图2（备用）

6. 如图 1，在四边形中，，，点在边上.
（1）判断四边形的形状并加以证明.
（2）若，以过点的直线为对称轴，将四边形折叠，使点， 分别落在点，处，且线段经过点，折痕与四边形的另一交点为.
①在图2中作出四边形（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；
②如果，那么为何值时，？




图1
图2










7. 如图1，在平面直角坐标系中，坐标原点是正方形的一个顶点，已知点的坐标为，过点（）作轴，与边交于点（异于点，），将四边形沿翻折，点，分别是点，的对应点.若点恰好落在直线上，则的值为 .



图1
图2（备用）

8. 把两个直角三角形纸板按如图1所示的方式放置，其中，，，斜边，若将三角形绕点逆时针旋转得到，则点到的距离为 ；整个旋转过程中，线段扫过的面积为 .



图1
图2（备用）

9. 如图，的半径为 5，是圆上任意两点，且，以为边作正方形（点，分别在直线的两侧），若边绕点旋转一周，则扫过的面积为 .

10. 如图 1，已知，，AC=DF=3，BC=EF=4. 绕着斜边的中点旋转， DE，分别交 AC，所在的直线于点，.当时，的长为 .




图1
图2（备用）

11. 如图，矩形中，，，是的中点.直线，且直线与直线之间的距离为2，点在矩形边上，将矩形沿直线折叠，使点恰好落在直线上，则的长为 .




第11题图
第12题图

12. 如图，四边形中，，，，点是四边形四条边上的一个动点，若点到的距离为，则满足条件的点有 .
13. 如图1，在矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的平分线上时，的长为 .




图1
图2（备用）






第03讲 几何最值及路径长
课前预习
1. 如图，已知，为定点，为直线上一动点，若点恰好使最短，请画出点的位置.
提示：①分析定点，动点（在直线上移动），不变特征；
②为对称轴利用轴对称进行转化；
③由“两点之间，线段最短”确定位置.

2. 如图，，为定点，为直线上一可以移动的线段，且长度固定，若点恰好使最短，请画出点的位置.
提示：①分析定点，动点 （，在上移动，且长度固定），不变特征；
②先平移，使平移后的点与重合，将其转化为问题1；
③为对称轴，利用轴对称进行转化；
④由“两点之间，线段最短”确定位置.

3. 如图，，点在的平分线上，，点，分别是两边，上的动点，当的周长最小时，点到的距离是 .
提示：①分析定点（），动点 （在上移动，在上移动），不变特征；
②分别以，为对称轴，作出点的对称点，；
③连接，由 “两点之间，线段最短” 确定位置，进而求解到的距离.

知识精讲
一、 几何最值问题的处理思路
1. 分析定点、动点，寻找不变特征；
2. 若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；
若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题。
（1）转化原则：
尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标。
（2）基本定理：
两点之间，线段最短（已知两个定点）
垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）
三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）
过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦
（3）常用模型、结构示例：
①轴对称最值模型




求的最小值，使点在线异侧
求的最大值，使点在线同侧


固定长度线段在直线上滑动，求的最小值，需平移（或），转化为（或）解决.
②折叠求最值结构

求的最小值，转化为求的最小值（利用为定值）.
二、 解决路径长问题的思路
1. 分析定点、动点，寻找不变特征；
2. 确定运动路径；
通过“起点、终点、特殊点”猜测运动路径，并结合不变特征进行验证。
3. 设计方案，求出路径长。
精讲精练
1. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，点的坐标为，点为斜边上一动点，则的最小值为 .

2. 如图，在矩形中，，，为边的中点.若，为边上的两动点，且，则当 时，四边形的周长最小.








3. 如图，在边长为 2 的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 .

4. 如图 1，菱形的边，，是上一点，，是边上一动点，将梯形沿直线折叠，的对应点为，当的长度最小时，的长度为 .




图1
图2（备用）

5. 如图，有一矩形纸片，，，将此矩形纸片折叠，使顶点落在边的处，折痕所在直线同时与边，（包括端点）相交，设，则的取值范围是 .

6. 如图，，是正方形的边上的两个动点，且满足.连接交于点，连接交于点，连接.若正方形的边长为2，则长度的最小值是 .











7. 如图，，均是边长为2的等边三角形，点是边，的中点，直线，相交于点.当绕点旋转时，线段长的最小值是




第7题图
第8题图

8. 如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点.若的半径为7，则的最大值为 .
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，（），点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则的最大值是 .

10. 如图，边长为2的正方形的两条对角线交于点，把与分别绕点和点逆时针旋转相同的角度，此时正方形随之变成四边形.设，交于点，若旋转了，则点运动到点所经过的路径长为 .


11. 如图1，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是 .




图1
图2（备用）

12. 已知等边三角形的边长为4，点是边的中点，点在线段上由点向点运动，连接，以为边在右侧作等边三角形.设的中心为，则点由点向点运动的过程中，点运动的路径长为 .

13. 如图，点是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点，交直线于点.若点是线段上的一个动点，，，则点在线段上运动时，点不变，点随之运动.当点从点运动到点时，点运动的路径长是 .

第04讲 类比探究
课前预习
1. 小明同学碰到如下问题：
如图 1，在正方形和正方形（）中，点，，在同一直线上，点是的中点.
（1） 探究线段，的位置关系及数量关系，并证明.
（2） 若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使，，三点在同一直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.



图1
图2

（3） 若将图 1 中的正方形绕点顺时针旋转，使正方形的对角线恰好与正方形的边在同一直线上，如图3，其他条件不变，则（1） 中得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.
小明同学分析第（1）问发现，问题关键在于中点的应用.经过尝试，小明成功解决了第（1）问，并将思路记录如下：
图3

仿照小明的证明方法，你能解决 （2） （3） 问吗？







2. （1） 如图，在中，，延长至点，使得，则提示：求比例，找相似.利用平行线构造“型”或“型”相似是我们常用的一种做法 .

（2） 如图，，射线和相互垂直，点是上的一个动点，点在射线上，，作并截取，连接并延长交射线于点.设，，则关于的函数解析式是 （ ）
A.
B.
C.
D.
提示：结合直角特征考虑分析，可构造一线三等角，利用相似整合信息.

















知识精讲
一、 类比探究问题的处理思路
1. 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决。
类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行结构。
2. 若不属于常见结构类型：
（1）根据题干条件，结合 先解决第一问。
（2）类比解决下一问，如果不能，分析条件变化，寻找 。
（3）结合所求目标，依据 ，大胆猜测、尝试、验证。
精讲精练
1. 已知梯形，，，，，.
（1） 如图1，为边上的一点，以，为边作，则当点与点重合时，的长为 .
（2） 如图2，若为边上任意一点，以，为边作，请问对角线的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由.




图 2
图4（备用）
（3） 若为边上任意一点，延长到，使，再以，为边作，请探究对角线的长是否也存在最小值.如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由.
（4） 如图3，若为直线 $D C$ 上任意一点，延长到，使（为常数），以，为边作，请探究对角线的长是否也存在最小值.如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由.




图3
图5（备用）

2. 已知为直角三角形，，点是射线上一点 （点不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交射线于点.
（1）如图 1，当，点在线段上时，线段，的数量关系是 .
（2）如图 2 ，当，点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由.
（3）如图 3 ，若，点在线段的延长线上时，，，求的面积.

图1

图2

图3





3. （1） 问题发现
如图 1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接.填空：
（1）的度数为 .
（2）线段，之间的数量关系为 .

图1
（2） 拓展探究
如图 2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接.请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由.

图2
（3） 解决问题
如图 3，在正方形中，.若点满足，且，请直接写出点到的距离.

图3



4. 如图 1，在中，，，点，分别是边，的中点，连接.将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为.
（1） 问题发现
①当时， ；②当时， .
（2） 拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明.
（3） 问题解决
当旋转至，，三点共线时，直接写出线段的长.

图1

图2

图3（备用）