湖南省衡阳市衡山县2023届九年级下学期中考二模数学试卷

这是一份湖南省衡阳市衡山县2023届九年级下学期中考二模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


2023年湖南省衡阳市中考数学第二次模拟试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B． C． D．
2. 下列运算结果为正数的是（　　）
A．1+（﹣2） B．1﹣（﹣2） C．1×（﹣2） D．1÷（﹣2）
3. 下列食品图案中，是中心对称图形的是（　）
A． B． C． D．
4. 芳芳同学在计算4﹣2++3时，运算过程正确且比较简便的是（　　）
A．（4+3）﹣（2+） B．（4﹣2）+（+3）
C．（4+3）﹣（2﹣） D．（4﹣3）﹣（﹣2）
5. 甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“”，丙说他看到的是“”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是（　　）
A．甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边
B．丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙
C．甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁
D．甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边
6. 我们解一元二次方程（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0时，可以运用因式分解法将此方程化为（x﹣3）（x﹣3﹣4）＝0．从而得到两个一元一次方程：x﹣3＝0或x﹣7＝0．进而得到原方程的解为x1＝3，x2＝7．这种解法体现的数学思想是（　）
A．函数思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．公理化思想
7. 下列运算正确的是（　　）
A．（a5）2＝a7 B．x4•x4＝x8 C．＝±3 D．﹣＝2
8. 已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（　 ）
A．﹣6 B．6 C．﹣1 D．1
9. 若一元一次不等式组的解集是﹣3＜x＜2，则“⊕”表示的不等式可以是（　 　）
A．x+3＞0 B．x﹣3＜0 C．x+3＜0 D．x﹣3＞0
10. 如图是一块矩形ABCD的场地，长AB＝99米，宽AD＝41米，从A，B两处入口的路宽都为1米，两小路汇合处路口宽为2米，其余部分种植草坪面积为（　 　）
A．3783米2 B．3880米2
C．3920米2 D．4000米2
11. 中世纪意大利数学家斐波那契（1175年﹣1250年），编写的《计算之书》记载一道数学题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第二次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为x人，则可列方程为（　 　）
A．90x＝120（x+6） B．
C．90（x﹣6）＝120x D．
12. 方程x2+2x﹣1＝0的根可视为直线y＝x+2与双曲线y＝交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围是（　 　）
A．0＜x0＜1 B．1＜x0＜2 C．2＜x0＜3 D．3＜x0＜4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．已知单项式2a4b﹣2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m+n＝　 　．
14. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%，小彤的这两项成绩依次是90，80．则小彤这学期的体育成绩是　 　．
15. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　 　（结果用含m的式子表示）．
16.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（﹣4，0），点D的坐标为（﹣1，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为 　 　．
17. 如图，点G是△ABC的重心，GE∥BC，如果BC＝12，那么线段GE的长为　　．

18. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（6分）已知：a是方程x2+2023x﹣1＝0的一个根，求代数式a（a+1）（a﹣1）+2023a2+1的值．

20.（6分）初中阶段有五种基本尺规作图，分别是：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④作一条线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线．
数学课上，老师出示了如下题目：如图1，已知线段m，n．运用尺规作图画出Rt△ABC，使斜边AB＝m，一条直角边BC＝n．
（1）如图2是小亮所作的Rt△ABC，并保留了作图痕迹．小亮的作图过程用到的基本作图有 　 　．（填序号）
（2）请你用一种与小亮不同的尺规作图方法再作一个Rt△ABC，使满足上述条件．（不写作法，但保留作图痕迹）

21.（8分）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°．
（1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度；
（2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）


22.（8分）“船山故里，文化衡阳”，我市某中学为传承船山精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了A、B、C、D四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是　 　（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品　 　件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角的度数为　 　；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）

23.（8分）如图，已知△ABC中，D是BC边上一点，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F，连接AD．
（1）下列条件：
①D是BC边的中点；
②AD是△ABC的角平分线；
③点E与点F关于直线AD对称．
请从中选择一个能证明四边形AEDF是菱形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形AEDF是菱形，且AE＝2，CF＝1，求BE的长．

24.（8分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．
（1）若AB＝90cm，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；
（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留π）


25.（10分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．求证：CD＝AB．
证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE．
（1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
（2）【应用】如图②，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若BC＝3，那么CE= 　．
（3）【拓展】如图③，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是边AB中点，E，F分别是边AC，BC上的动点，且DE⊥DF，当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径长是多少？


26.（12分）已知抛物线y＝ax2+2ax+a﹣4的顶点为点P，与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C
（1）直接写出点P的坐标为；
（2）如图，若A、B两点在原点的两侧，且OA＝3OB，四边形MNEF为正方形，其中顶点E、F在x轴上，M、N位于抛物线上，求点E的坐标；
（3）若线段AB＝2，点Q为反比例函数y＝与抛物线y＝ax2+2ax+a﹣4在第一象限内的交点，设Q的横坐标为m，当1＜m＜3时，求k的取值范围．









答 案
1-6. ABACDC 7-12.BAABDA
13.3 14.83 15. m2+1 16. 16 17. 4 18. 4
19. 解：∵a是方程x2+2023x﹣1＝0的一个实数根，∴a2+2023a＝1，..........2分
∴原式＝a3+2023a2﹣a+1
＝a（a2+2023a）﹣a+1.......................................................................................4分
＝a﹣a+1
＝1． .....................................................................................6分
20. 答案：解：（1）亮的作图过程用到的基本作图有①⑤．...............3分
故答案为：①⑤；
（2）如图，△ABC即为所求．................................................................6分


21. 答案：解：（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，
sin30°＝＝， .............................................2分
解得DE＝0.4，....................................................................3分
∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.4m．
（2）由（1）得，DE＝0.4m，
∴GE＝GD﹣ED＝1.04﹣0.4＝0.64（m），......................4分
∵EF∥AB，
∴∠GEF＝∠EDB＝90°，.............................................5分
在Rt△GEF中，∠GFE＝53°，GE＝0.64m，
tan53°＝≈，...........................................6分
sin53°＝≈，.............................................7分
∴EF＝0.48，FG＝0.8，
∴运动员的身高为GF+EF+DE＝0.8+0.48+0.4＝1.68（m）．..................8分
22. 答案：解：（1）王老师采取的调查方式是抽样调查，..........1分
4÷＝24， ........................................................................2分
所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
B班的作品数为24﹣4﹣10﹣4＝6（件），.....................................3分
条形统计图为：

（2）在扇形统计图中，表示C班的扇形圆心角＝360°×＝150°；
.............................................5分
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率＝＝．..................................8分

23. 答案：解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠ADE＝∠DAF，
能证明四边形AEDF是菱形的条件为：②或③，.....................2分
证明如下：
条件②，∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE＝∠DAF，
∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形；.......................................................4分
条件③，∵点E与点F关于直线AD对称，
∴AE＝AF，
∴平行四边形AEDF是菱形；
（2）∵四边形AEDF是菱形，
∴AF＝DF＝DE＝AE＝2，
∴AC＝AF+CF＝2+1＝3，............................................................6分
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴＝，即＝，解得：BE＝4，..........................8分
即BE的长为4．

24. 答案：解：（1）连接OD，
∵D为弧BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，.......................................1分
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，...........................................2分
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，
∴OD⊥EF，.........................................................3分
∴OD的长是圆心O到“杠杆EF”的距离，
∵AB＝90cm，
∴OD＝OA＝45cm；.....................................................................4分
（2）∵DA＝DF，
∴∠F＝∠BAD，.............................................................................5分
由（1）得：∠CAD＝∠BAD，
∴∠F＝∠BAD＝∠CAD，
∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，.............................6分
∵DF＝6，
∴（2OD）2﹣OD2＝（6）2，解得：OD＝6，
∴S阴影＝S扇形BOD+S△AOD＝+×6××6＝6π+9．...............8分

25. 答案：（1）证明：
延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，则CD＝CE，..................1分
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，................................2分
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACBE是矩形，
∴CE＝AB，
∴CD＝AB；...................................3分
（2）解：如图2中，设CE交AB于点O．
∵∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，.................4分
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠B＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠BCE＝∠A，
∴∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，
∴CO＝CB•cos30°＝，.......................5分
∵DA＝DE，DA＝DC，
∴DC＝DE，
∵DO⊥CE，
∴CO＝OE＝，
∴CE＝3．...............................6分
故答案为：3；
（3）过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，如图，
∵DG⊥AC，AC⊥BC，
∴DG∥BC．
∵D是边AB中点，
∴DG＝BC，
同理：DH＝AC．...........7分
∵AC＝BC，
∴DG＝DH．
∴四边形DGCH为正方形，
∴∠GDH＝90°．
∴∠GDF+∠FDH＝90°．................................................................8分
∵∠EDF＝90°，
∴∠GDF+∠EDG＝90°．
∴∠EDG＝∠FDH．
在△EDG和△FDH中，
，
∴△EDG≌△FDH（SAS）．
∴DE＝DF．
∴△EDF为等腰直角三角形．............................................................9分
当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径为AC，BC中点的连线，
即M所经过的路径为AB．
∵AC＝BC＝4，∠C＝90°，
∴AB＝AC＝4．
∴EF的中点M所经过的路径长为2．.......................................10分
故答案为：2．

26. 答案：解：（1）∵y＝ax2+2ax+a﹣4＝a（x+1）2﹣4，
∴P（﹣1，﹣4）；.................................2分
（2）设A（x1，0），B（x2，0），
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣2，...................................3分
又OA＝3OB，
∴﹣x1＝3x2，
∴x1＝﹣3，x2＝1，.................................4分
∴A（﹣3，0），B（1，0），
将B（1，0）代入y＝ax2+2ax+a﹣4，解得a＝1，
∴y＝x2+2x﹣3，..............................................5分
设E（m，0），则EF＝2（m+1），EN＝﹣（m2+2m﹣3），
根据题意，得 2（m+1）＝﹣（m2+2m﹣3），
解得m1＝﹣2，m2＝﹣2（舍去），
∴E（﹣2，0）；..................................6分
（3）∵线段AB＝2，
∴A（﹣2，0），B（0，0），
∴a×0+2a×0+a﹣4＝0，解得a＝4，
∴y＝4x2+8x，............................................8分
当1＜m＜3时，
对于抛物线y＝4x2+8x，y随x的增大而增大，
对于反比例函数y＝，y随x的增大而减小，
∴x＝1时，双曲线在抛物线上方，
即，解得k＞12，..............................10分
当x＝3时，双曲线在抛物线下方，
即，解得k＜180，..............................11分
所以k的取值范围12＜k＜180．......................................12分