2023年湖南省衡阳市衡山县九年级中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年湖南省衡阳市衡山县九年级中考二模数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省衡阳市衡山县九年级中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列运算结果为正数的是(   )
A．1+(–2) B．1–(–2) C．1×(–2) D．1÷(–2)
3．下列食品图案中，是中心对称图形的是（　）
A．   B．   C．   D．  
4．嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是（　　）
A． B．
C． D．
5．甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“”，丙说他看到的是“”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是（   ）

A．甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边
B．丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙
C．甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁
D．甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边
6．我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法将此方程化为．从而得到两个一元一次方程：或，进而得到原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（    ）
A．函数思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．公理化思想
7．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
8．已知，，则的值是（　 ）
A． B．6 C． D．1
9．若一元一次不等式组的解集是，则“”表示的不等式可以是（    ）
A． B． C． D．
10．如图是一块矩形ABCD的场地，长AB＝99米，宽AD＝41米，从A，B两处入口的路宽都为1米，两小路汇合处路口宽为2米，其余部分种植草坪面积为（    ）

A．3783米2 B．3880米2 C．3920米2 D．4000米2
11．中世纪意大利数学家斐波那契（1175年-1250年），编写的《计算之书》记载一道数学题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第二次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为x人，则可列方程为（　 　）

A． B．
C． D．
12．方程的根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断方程的实根所在的范围是（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
13．已知单项式与是同类项，则 ．
14．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%，小彤的这两项成绩依次是90，80．则小彤这学期的体育成绩是 ．
15．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为(-4,0)，点D的坐标为(-1,4)，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为 .

17．如图，点G是△ABC的重心，GE∥BC，如果BC=12，那么线段GE的长为 ．

18．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为


三、解答题
19．已知：a是方程的一个根，求代数式的值．
20．初中阶段有五种基本尺规作图，分别是：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作一个角的平分线；④作一条线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线．
数学课上，老师出示了如下题目：如图1，已知线段m，n．运用尺规作图画出，使斜边，一条直角边．

(1)如图2是小亮所作的，并保留了作图痕迹．小亮的作图过程用到的基本作图有____________；（填序号）
(2)请你用一种与小亮不同的尺规作图方法再作一个，使满足上述条件．（不写作法，但保留作图痕迹）
21．图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，．

(1)求此滑雪运动员的小腿的长度；
(2)求此运动员的身高．（参考数据：，，）
22．“大千故里，文化内江”，我市某中学为传承大千艺术精神，征集学生书画作品．王老师从全校20个班中随机抽取了4个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）王老师采取的调查方式是　　（填“普查”或“抽样调查”），王老师所调查的4个班共征集到作品　　件，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角的度数为　　；
（3）如果全校参展作品中有4件获得一等奖，其中有1名作者是男生，3名作者是女生．现要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率．（要求用树状图或列表法写出分析过程）
23．如图，已知中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接．

(1)下列条件：
①D是边的中点；
②是的角平分线；
③点E与点F关于直线对称．
请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程；
(2)若四边形是菱形，且，求的长．
24．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．

(1)若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；
(2)若，求阴影部分的面积．（结果保留）
25．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
例2如图，在中，，是斜边上的中线．求证：．
证明：延长至点E，使，连结、．
  (1)请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
(2)【应用】如图②，直角三角形纸片中，，点D是边上的中点，连结，将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，那么　 　．
(3)【拓展】如图③，在等腰直角三角形中，，D是边中点，E，F分别是边上的动点，且，当点E从点A运动到点C时，的中点M所经过的路径长是多少？
26．已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点
  
(1)直接写出点的坐标为 ；
(2)如图，若、两点在原点的两侧，且，四边形为正方形，其中顶点、在轴上，、位于抛物线上，求点的坐标；
(3)若线段，点为反比例函数与抛物线在第一象限内的交点，设的横坐标为，当时，求的取值范围．

参考答案：
1．A
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
A选项是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
2．B
【分析】分别根据有理数的加、减、乘、除运算法则计算可得．
【详解】解：A、1+(﹣2)＝﹣(2﹣1)＝﹣1，结果为负数；
B、1﹣(﹣2)＝1+2＝3，结果为正数；
C、1×(﹣2)＝﹣1×2＝﹣2，结果为负数；
D、1÷(﹣2)＝﹣1÷2＝﹣，结果为负数；
故选B．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．
3．A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【详解】根据中心对称图形定义
即寻找对称中心，旋转后与原图重合
得A符合题意，B、C、D均不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
4．C
【分析】原式利用加法交换律和结合律将分母相同的结合即可．
【详解】解：嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是．
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法交换律与加法结合律是解本题的关键．
5．D
【分析】根据图形分析出四个人在桌子边的位置进而判断即可．
【详解】解：由题意可得，∵甲说他看到的是“6，丁说他看到的是“9”，
说明两人做对面，乙和丙做对面，
又∵乙说他看到的是“”，
∴乙在甲右边，则丙在丁右边．
故选D．
【点睛】此题主要考查了推理与论证，利用得到的视图培养了学生的空间想象能力．
6．C
【分析】由题意可知，题目中所给的解方程的方法是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，由此解答即可．
【详解】解：这种解法体现的数学思想是转化思想．
故选：C
【点睛】本题考查了解一元二次方程运用的数学思想，利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程，运用了转化的数学思想．
7．B
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，算术平方根，以及实数的运算法则逐一判断．
【详解】A、(a5)2=a10，故A错，
B、x4⋅x4=x8，故B正确，
C、，故C错，
D、−=-3- ，故D错，
故选：B
【点睛】本题考查了算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键．
8．A
【分析】先将因式分解，再把，代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解，求代数式的值，解题的关键是正确找出各项的公因式进行因式分解．
9．A
【分析】利用一元一次不等式的解法，求出各选项的解集，再结合题中所给的解集，即可得出答案．
【详解】解：解不等式x-1<1，得x<2，
若一元一次不等式组的解集是，则“”表示的不等式的解集是x>-3，
解不等式x+3>0，得x>-3，则“”表示的不等式可以是选项A；
解不等式x- 3<0，得x<3，则“”表示的不等式不可以是选项B；
解不等式x+3<0，得x <-3，则“”表示的不等式不可以是选项C；
解不等式x-3>0，得x>3，则“”表示的不等式不可以是选项D．
故选： A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解集．
10．B
【分析】根据平移的性质可得，种植草坪的部分可以看作是长为（99﹣2）米，宽为（41﹣1）米的矩形，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
（99﹣2）×（41﹣1）
＝97×40
＝3880（平方米），
∴种植草坪面积为3880平方米，
故选：B．
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
11．D
【分析】根据第二次每人所得硬币与第一次相同，即可列出分式方程．
【详解】解：∵第一次分硬币的人数为x人，
∴设第二次分硬币的人数为人，
∵第二次每人所得与第一次相同，
∴列出分式方程：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系列出分式方程是解题的关键．
12．A
【分析】首先根据题意推断方程的实根是抛物线与双曲线的图象交点的横坐标，画出两函数的草图可判定推断方程的实根所在范围．
【详解】解：根据题意，方程的实根是抛物线与双曲线交点的横坐标，
∵抛物线位于第一、二象限，双曲线位于第一、三象限，
∴它们的交点在第一象限，
可画出两个函数在第一象限的草图，如图，
  
∵当时，，，则此时抛物线在双曲线的上方，
当时，，，则此时抛物线在双曲线的下方，
又∵在第一象限内，函数随x的增大而增大，函数随x的增大而减小，
∴结合图象，两函数图象的交点只有一个，且交点的横坐标应在0和1之间，
故方程的实根所在的范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数与反比例函数的交点问题，理解题意，得到所求方程是一个二次函数和一个反比例函数的图象交点的横坐标是解答的关键．还考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．
13．3
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m，n的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴2m=4，n+2=-2m+7，
解得：m=2，n=1，
则m+n=2+1=3．
故答案是：3．
【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点．
14．83分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：
90×30%+80×70%=83（分）；
答：小彤这学期的体育成绩是83分．
故答案为：83分．
【点睛】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道常考题．
15．m2+1
【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】∵2m为偶数，
∴设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，
解得a=m2-1，
∴弦长为m2+1，
故答案为：m2+1．
【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．16
【分析】过点D作DH⊥x轴，垂足为H，由已知则可得H(-1，0)，DH=4，根据点A(-4，0)，可得AH=3，要卖勾股定理可求得AD长，再根据菱形的性质可得DC=AD=5，DC//AB，根据平移的性质可得C(4，4)，再利用待定系数法即可求得答案.
【详解】过点D作DH⊥x轴，垂足为H，则∠AHD=90°，
又∵D(-1，4)，
∴H(-1，0)，DH=4，
∵A(-4，0)，
∴AH=3，
∴AD==5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=AD=5，DC//AB，
∴C(4，4)，
∵反比例函数的图象恰好经过点C，
∴4=，
∴k=16，
故答案为16.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，点的平移等知识，求出菱形的边长是解题的关键.
17．4
【分析】先根据三角形重心性质得到AG=2GD，AD=CD=BC=6，再证明△AGE∽△ADC，然后利用相似比可计算GE的长．
【详解】∵点G是△ABC的重心，
∴AD为中线，AG=2GD，
∴AD=CD=BC=6，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△ADC，
∴，即，
∴GE=4．
故答案为4
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．解决本题的关键是理解三角形重心的性质．
18．
【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长．
【详解】解：如图：连接AE、AF、EN，

四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a，，
在与中，

，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分EF，
，
又，
，
在中，，
，
解得a=20，
，，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得垂直平分EF是解决本题的关键．
19．1
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴
∴原式



．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．(1)①⑤
(2)见解析

【分析】（1）如图可知，先作直线的垂线MC，垂足为C，以C为圆心以n为半径作弧，交CM于点B，再以B为圆心，以m为半径画弧，交直线于点A，△ABC即为求作的三角形；
（2）①作射线AM，②以A为圆心以m为半径画弧，交AM于点B，③分别以AB为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，并连接两交点，交AB与点O，④以O为圆心，OA为半径画圆，⑤以B为圆心，n为半径画弧，交于点C，连接AC、BC，△ABC即为所求做的三角形．
【详解】（1）根据作图过程，可知用到的基本作图有过一点作已知直线的垂线．作一条线段等于已知线段，
故答案为①⑤；
（2）如图，即为所求．（作图不唯一）

【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握尺规作图基本技巧是解题的关键，另外要注意保留作图痕迹．
21．(1)
(2)

【分析】（1）在中，，，，即可得出；
（2）由（1）得，，则，在中，，，解得，，根据运动员的身高为可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
∴．
故滑雪运动员的小腿的长度为；
（2）由（1）得，，∴．
∵，∴．
在中，，，．
∴，即：，
，即：，
解得，，
∴运动员的身高为（）
【点睛】本题考查解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
22．（1）抽样调查；24；条形统计图见解析；（2）150°；（3）恰好抽中一男一女的概率为．
【分析】（1）根据只抽取了4个班可知是抽样调查，根据A在扇形图中的角度求出所占的份数，再根据A的人数是4，列式进行计算即可求出作品的件数，然后减去A、C、D的件数即为B的件数,即可补全统计图
（2）利用C得数量除以总数再乘以360度，计算即可得解；
（3）画出树状图或列出图表，再根据概率公式列式进行计算即可得解．
【详解】（1）王老师采取的调查方式是抽样调查，
，
所以王老师所调查的4个班共征集到作品24件，
班的作品数为（件），
条形统计图为：

（2）在扇形统计图中，表示班的扇形周心角；
故答案为抽样调查；6；150°；
（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结果数为6，
所以恰好抽中一男一女的概率．
【点睛】此题考查扇形统计图，列表法与树状图法，条形统计图，解题关键在于看懂图中数据
23．(1)见解析
(2)4

【分析】（1）选择条件②：先由角平分线的定义得到，再由，，可得四边形是平行四边形，，进一步证明，得到，即可证明平行四边形是菱形；选择条件③：同理可证四边形是平行四边形，再由轴对称的性质得到，即可证明平行四边形是菱形；
（2）由菱形的性质得到，则，证明，得到，则．
【详解】（1）证明：选择条件②：
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
选择条件③：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵点E与点F关于直线对称，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，轴对称的性质等等，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．
24．(1)45cm；
(2)．

【分析】（1）连接AD，证明，即圆心O到EF的距离为OD，再求出OD即可；
（2）设，求出，作交AB于点H，求出，，即可求出阴影面积．
【详解】（1）解：连接AD，

∵D为弧BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即圆心O到EF的距离为OD，
∵，
∴；
（2）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
作交AB于点H，

∴，
∵，
∴，
∴S阴影．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，等弧所对的圆周角相等，解直角三角形，分割法求阴影部分的面积，（1）的关键是证明；（2）的关键是求出DH，OA的长度，理解阴影部分的面积包括扇形和三角形两部分．
25．(1)见解析
(2)
(3)的中点M所经过的路径长为

【分析】（1）证明四边形为矩形，利用矩形的性质，即可得证；
（2）设交于点O，根据斜边上的中线的性质和折叠的性质，求出，进而得到，证明为等腰三角形，得到，即可得出结果；
（3）过点D作，，证明四边形为正方形，进而推出，得到为等腰直角三角形，推出的中点M所经过的路径为，中点的连线，进行求解即可．
【详解】（1）证明：延长到E，使，连接，则，
  
∵是斜边上的中线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴；
（2）解：如图2中，设交于点O．
  
∵，
∴，
∴，
由翻折的性质可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）过点D作，，如图，
  
∵，
∴．
∴，
∵D是边中点，
∴是边中点，
∴，
同理：，
∵，
∴．
∴四边形为正方形，
∴．  
∴，
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形，  
∴当点与点重合时，此时于点重合，点与点重合，
当点与点重合时，此时于点重合，点与点重合，
连接，
  
∵，
∴四点共圆，且为直径，
∴为圆心，
∴，即点在的中垂线上，
∵四边形为正方形，
∴是的中垂线，
∴在线段上运动，路径即为的长，即M所经过的路径为，
∵，
∴，
∴的中点M所经过的路径长为．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，直线三角形斜边上的中线，三角形的中位线，等腰三角判定和性质，平行线分线段成比例，圆周角定理的推论，解直角三角形．本题的综合性强，难度较大，准确的添加辅助线，是解题的关键．
26．(1)；
(2)；
(3)．

【分析】（1）利用配方把解析式配成顶点式即可；
（2）根据正方形的性质则可以得出，再由抛物线点的特征列出一元二次方程，求解即可得出点坐标；
（3）利用二次函数和反比例函数的增减性即可求解．
【详解】（1）∵，
∴顶点，
故答案为：，
（2）设，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
将代入，解得，
∴抛物线解析式为：，
设，则，
∴，，
根据题意，得：，
解得：，(舍去)，
∴点，
（3）∵线段，抛物线对称轴为直线，
∴，，
∴，解得，
∴抛物线解析式为：，
当时，
对于抛物线，随的增大而增大，
对于反比例函数，随的增大而减小，
∴时，双曲线在抛物线上方，
即：，解得：，
∴当时，双曲线在抛物线下方，
即：，解得：，
∴的取值范围：．
【点睛】此题考查了二次函数的图象及其性质、反比例函数的性质，熟练运用二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．