2022-2023学年山东省烟台市莱山区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省烟台市莱山区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省烟台市莱山区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是(    )
A. (x+1)2=2(x+1) B. 1x2+1x−2=0
C. ax2+bx+c=0 D. x2+2x=x2−1
2. 关于某个函数的表达式，小明、小刚和小华三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
小明：函数图象经过(1,1)；
小刚：函数图象经过第三象限；
小华：当x>0时，y随x增大而减小．则这个函数表达式是(    )
A. y=x B. y=1x C. y=−1x D. y=x2
3. 下列计算正确的是(    )
A. 4+9=2+3 B. ( −3)2=3
C. (−3)2=−3 D. 4 3−3 3= 3
4. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 5−12，下列估算正确的是(    )





A. 0< 5−12<25 B. 25< 5−12<12
C. 12< 5−12<1 D. 5−12>1
5. 若点A(1,y1)，B(−2,y2)，C(−3,y3)都在反比例函数y=6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(    )
A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y3>y2>y1 D. y2>y1>y3
6. 如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD，AB=4AD=4，则AC的长为(    )


A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
7. 一次函数y=kx+k2+1与反比例函数y=−kx在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )
A. B.
C. D.
8. 某学校计划在一块长8米，宽6米的矩形草坪中央划出面积为30平方米的矩形地块栽花，使这矩形地块四周的留地宽度都一样，求这宽度应为多少？设矩形地块四周的留地宽度为x米，根据题意，下列方程不正确的是(    )
A. 48−(16x+12x−4x2)=30
B. 16x+2x(6−2x)=18
C. 48−x(8−x)−x(6−x)−4x2=30
D. (8−2x)(6−2x)=30
9. 若关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−4m−1=0有两个实数根x1，x2且满足(x1+2)(x2+2)−2x1x2+4=0，则m的值为(    )
A. 9或−1 B. 1或8 C. 9 D. −1
10. 如图，∠AOB=60°，点A1在射线OA上，且OA1=1，过A1点作A1B1⊥OA交射线OB于B1，在射线OA上截取A1A2，使A1A2=A1B1；过点A2作A2B2⊥OA交射线OB于B2，在射线OA上截取A2A3，使A2A3=A2B2.按照此规律，线段A2023B2023的长为(    )

A. ( 3+1)2022 B. 3( 3+1)2022 C. ( 3+1)2023 D. 3( 3+1)2023
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 如果式子 x+1+x0有意义，那么x的取值范围是______ ．
12. 若关于x的方程x2+x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为______．
13. 我们把形如a x+b(a,b为有理数， x为最简二次根式)的数叫做 x型无理数，如3 5+1是 5型无理数，则( 2+ 3)2是______ 型无理数．
14. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的4倍得到△A′B′C′，若点A的坐标为(2.5,4)，则A′的坐标为______ ．
15. 如图，在△ABC中，BC=3，AC=4，∠C=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长为______ ．


16. 如图，在△ABC中，AB 17. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(−2,6)和(7,0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为______．


18. 如图，点A是反比例函数y=kx图象上一点，AB⊥y轴于点B，C是y轴负半轴上一点，且满足OCCB=23，连接AC交x轴于点D，若S△ABC=9，则k= ______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：
(1) 18− 3× 23；
(2)|− 3|−1 3+2 3−1− 12．
20. (本小题6.0分)
解方程：
(1)(2x+3)2=(3x+2)2；
(2)2x2−3x−2=0．
21. (本小题6.0分)
阅读下列材料：
解方程：x2+2x+4 x2+2x−5=0．
分析：我们可以用“换元法”解方程．
解：设 x2+2x=t(t≥0)，则x2+2x=t2原方程可化为：t2+4t−5=0请你将剩下的解题过程补充完整，并求出x的值．

22. (本小题6.0分)
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”，小明利用此定律，要制作一个杠杆撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200N和0.5m．
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？
(2)若想使动力F不超过(1)题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
23. (本小题8.0分)
小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．





24. (本小题8.0分)
如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
(1)小岛D和小岛F相距多少海里？
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里，参考数据， 6≈2.45)

25. (本小题12.0分)
【问题提出】
某数学兴趣小组展示项目式学习的研究主题：已知四边形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F、将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90° )得到△E′BF′，探究DF′与AE′的数量关系．
【问题探究】
探究一：若四边形ABCD为正方形
(1)如图1，正方形ABCD中，点E为AB上的一点，EF⊥AB交BD于点F.则DFAE的值为______ ；
(2)如图2.将图1中的△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到ΔE′B′F′，连接AE′、DF′，试求DF′AE′的值；
探究二：若四边形ABCD为矩形
如图3，矩形ABCD中，点E为AB上的一点，EF⊥AB交BD于点F，BC= 2AB；
(3)将图3中的△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90° )得到△E′BF′，连接AE′、DF.请在图4中补全图形，并探究此时DF′AE′的值；
【联系拓广】
(4)如图3，矩形ABCD中，若BC=mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E′BF′，连接AE′、DF′.请直接写出DF′AE′的值．

26. (本小题14.0分)
平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(2,3)，B(6,a)，直线l：y=mx+n经过A，B两点，直线l分别交x轴，y轴于D，C两点．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)当直线l向下平移b个单位时，与y=kx(x>0)的图象有唯一交点，求b的值；
(3)在y轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△CDO相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】
解：下列方程中，关于x的一元二次方程是(x+1)2=2(x+1)，
故选：A．  
2.【答案】B 
【解析】解：把点(1,1)分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项C不符合题意；
又函数图象经过第三象限，而y=x2只经过第一、二象限，故选项D不符合题意；
对于函数y=x，当x>0时，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意．
故选：B．
结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法．

3.【答案】D 
【解析】解：A.∵ 4+9= 13，2+3=5= 25，
∴ 4+9≠2+3，故本选项不符合题意；
B.−3<0，所以 −3没有意义，故本选项不符合题意；
C. (−3)2=3，故本选项不符合题意；
D.4 3−3 3= 3，故本选项符合题意；
故选：D．
先根据二次根式的性质和二次根式的减法法则进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

4.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了无理数的估算，熟练运用算术平方根进行比较是解题的关键．
先根据4<5<9，2< 5<3，推出1< 5−1<2，所以12< 5−12<1，即可得出答案．
【解答】
解：∵4<5<9，
∴2< 5<3，
∴1< 5−1<2，
∴12< 5−12<1．
故选：C．  
5.【答案】B 
【解析】解：∵点A(1,y1)，B(−2,y2)，C(−3,y3)都在反比例函数y=6x的图象上，
∴y1=6，y2=−3，y3=−2，
∴y1>y3>y2．
故选：B．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出y1，y2，y3的值，然后比较大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，理解题意，求出y1，y2，y3的值是解题关键，本题也可以利用反比例函数的性质求解．

6.【答案】B 
【解析】解：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC=△ACD，
∴ABAC=ACAD，
∵AB=4AD=4，
∴AD=1，
∴AC2=4，
解得：AC=2(负值舍去)．
故选：B．
先证明△ABC=△ACD，再求出AD=1，最后代入ABAC=ACAD求值即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：∵一次函数y=kx+k2+1中，k2+1>0，
∴直线与y轴的交点在正半轴，故A、B不合题意，C、D符合题意，
C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知k<0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k>0，两结论相矛盾，故选项C错误；
D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知k>0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k>0，故选项D正确；
故选：D．
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．

8.【答案】C 
【解析】解：中央长方形地的面积=(8−2x)(6−2x)=30，故D符合题意；
中央长方形地的面积=大长方形的面积−(上下两个大长方形的面积+左右两个大长方形的面积−4个小正方形的面积)，
即中央长方形地的面积=48−(16x+12x−4x2)=30，故A符合题意；
中央长方形地的面积=上下两个大长方形的面积+左右两个小长方形的面积，
即中央长方形地的面积=16x+2x(6−2x)=18，故B符合题意；
故选：C．
根据题意，结合每一个选项，利用面积30分别列出等式即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：∵方程x2−2mx+=0有两个实数根，
∴Δ=(−2m)2−4(m2−4m−1)=16m+4≥0，
解得：m≥−14，
∵原方程的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=2m，x1x2=m2−4m−1，
∵(x1+2)(x2+2)−2x1x2+4=0，
∴x1x2+2(x1+x2)+4−2x1x2+4=0，
∴2(x1+x2)−x1x2+8=0，
∴4m−m2+4m+1+8=0，即m2−8m−9=0，
解得：m1=9，m2=−1(舍去)．
故m的值是9．
故选：C．
利用判别式得出m的取值范围，利用根与系数的关系得到x1+x2=2m，x1x2=m2−4m−1，把(x1+2)(x2+2)−2x1x2+4=0变形得到2(x1+x2)−x1x2+8=0，整体代入得到关于m的方程，解方程即可求解．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.也考查了根的判别式．

10.【答案】B 
【解析】解：∵∠AOB=60°，且OA1=1，A1B1⊥OA，
∴A1B1= 3，
∴A1A2=A1B1= 3，
同理：OA2=1+ 3，
 A2B2= 3(1+ 3)，
OA3=OA2+A2B2=1+ 3+ 3(1+ 3)=(1+ 3)2，
同理：A3B3= 3(1+ 3)2，
OA4=OA3+A3B3=(1+ 3)2+ 3(1+ 3)2=(1+ 3)3；
……，
线段A2023B2023的长为： 3(1+ 3)2022，
故选：B．
根据直角三角形的性质，先求出前几个水平线段的长，找出规律再求解．
本题考查了图形的变化类，找到变化规律是解题的关键．

11.【答案】x≥−1且x≠0 
【解析】解：∵式子 x+1+x0有意义，
∴x+1≥0且x≠0，
∴x≥−1且x≠0，
故答案为：x≥−1且x≠0．
根据“负数没有平方根”以及“任何不为0的零次幂都等于0”即可确定x的取值范围．
本题考查二次根式有意义的条件以及零指数幂，掌握负数没有平方根以及零指数幂的定义是正确解答的前提．

12.【答案】14 
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=12−4c=0，
解得c=14．
故答案为：14．
若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ=b2−4ac=0，建立关于c的方程，求出c的值即可．
此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．

13.【答案】 6 
【解析】解：( 2+ 3)2=2+2 6+3=2 6+5，
即( 2+ 3)2是 6型无理数．
故答案为： 6．
先根据完全平方公式和二次根式的性质展开，再算加法，再根据求出的结果得出答案即可．
本题考查了二次根式的乘除法，无理数，最简二次根式和完全平方公式等知识点，能根据完全平方公式展开是解此题的关键．

14.【答案】(10,16)或(−10,−16) 
【解析】解：以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的4倍得到△A′B′C′，点A的坐标为(2.5,4)，
则A′的坐标为(2.5×4,4×4)或[2.5×(−4),4×(−4)]，即(10,16)或(−10,−16)，
故答案为：(10,16)或(−10,−16)．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．

15.【答案】54 
【解析】解：由题意得，BC=BD=6，直线MN为线段AD的垂直平分线，
∵BC=3，AC=4，∠C=90°，
∴AB= 32+42=5，
∴AD=BD−AB=1，
∴AF=12AF=12，
∵∠EAF=∠BAC，∠AFE=∠ACB=90°，
∴△AEF∽△ABC，
∴AEAB=AFAC，
即AE5=14，
解得AE=54．
故答案为：54．
由题意得，BC=BD=6，直线MN为线段AD的垂直平分线，由勾股定理得AB= 32+42=5，进而可得AF=2，证明△AEF∽△ABC，可得AEAB=AFAC，即AE5=14，求出AE，即可得出答案．
本题考查作图−基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．

16.【答案】①②③ 
【解析】解：∵将△ABC以点A为旋转中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，AB=AD，∠E=∠C，
∴∠B=∠ADB，
∴∠ADB=∠ADE，
∴DA平分∠BDE，故②正确；
∵∠AFE=∠CFD，∠E=∠C，
∴△AFE∽△DFC，故①正确；
∴∠CDF=∠EAF，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠CDF=∠BAD，故③正确；
故答案为：①②③．
根据旋转得到∠B=∠ADE，AB=AD，推出∠B=∠ADB，即可判断②；利用两个角对应相等的两个三角形相似判断①；利用相似三角形的性质判断③，即可得到答案．
此题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟记各定理是解题的关键．

17.【答案】(2,2) 
【解析】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为(−2,6)和(7,0)，
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′//AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴E′O′AC=BO′BC′，
∴26=BO′9，
∴BO′=3，
∴OC′=7−2−3=2，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为(2,2)，
方法二：设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵顶点A，B的坐标分别为(−2,6)和(7,0)．
∴−2k+b=67k+b=0，
∴k=−32b=143，
∴y=−23x+143，
∵∠ACB=90°，边BC在x轴上，∴C点的坐标为(−2,0)，
∴正方形OCDE的边长为2，
∴E(0,2)，设点E沿x轴平移后落在AB边上的坐标为(a,2)，
由y=−23x+143，得2=−23a+143，
∴a=4，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为(2,2)，
故答案为：(2,2)．
根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，证得△BO′E′∽△BCA是解题的关键．

18.【答案】−6 
【解析】解：如图：连接AO，

∵OCCB=23，
∴OBBC=13，
∴S△ABO=13S△ABC，
∵S△ABC=9，
∴S△ABO=3
∴S△ABO=12lkl=3，
∴k=±6，
∵点A位于第二象限，
∴k=−6．
故答案为：−6．
连接AO，根据OC和BC的比例关系，求得Rt△BAO的面积，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义求得k值即可．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据三角形面积公式和反比例系数k列式即可得出结论．

19.【答案】解：(1) 18− 3× 23
=3 2− 2
=2 2；
(2)|− 3|−1 3+2 3−1− 12
= 3− 33+ 3+1−2 3
=1− 33． 
【解析】(1)先计算二次根式的乘法，再算减法，即可解答；
(2)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．

20.【答案】解：(1)(2x+3)2=(3x+2)2，
移项，得(2x+3)2−(3x+2)2=0，
(2x+3+3x+2)(2x+3−3x−2)=0，
(5x+5)(−x+1)=0，
5x+5=0或−x+1=0，
解得：x1=−1，x2=1；
(2)2x2−3x−2=0，
(2x+1)(x−2)=0，
2x+1=0或x−2=0，
解得：x1=−12，x2=2． 
【解析】(1)移项后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
(2)方程利用因式分解法求出解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

21.【答案】解：x2+2x+4 x2+2x−5=0，
设 x2+2x=t(t≥0)，则原方程化为：x2+2x=t2，
即t2+4t−5=0，
解得：t=−5和1，
当t=−5时， x2+2x=−5，
∵算术平方根不能为负，
∴此时方程无解；
当t=1时， x2+2x=1，
方程两边平方得：x2+2x=1，
即x2+2x−1=0，
x=−b± b2−4ac2a=−2± 22−4×1×(−1)2×1=−1± 2，
经检验：x=−1± 2都是原方程的解，
∴x1=−1+ 2，x2=−1− 2． 
【解析】设 x2+2x=t(t≥0)，则原方程化为x2+2x=t2，求出t2+4t−5=0，求出方程的解，再求出对应的x的值，最后进行检验即可．
本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．

22.【答案】解：(1)Fl=1200×0.5=600，
则F=600l；
当l=1.5m时，F=6001.5=400N；
(2)由题意得，F=600l≤200，
解得：l≥3m，
故至少要加长1.5m．
答：若想使动力F不超过(1)题中所用力的一半，则动力臂至少要加长1.5m． 
【解析】(1)根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，可得出F与l的函数关系式，将l=1.5m代入可求出F；
(2)根据(1)的答案，可得F≤200，解出l的最小值，即可得出动力臂至少要加长多少．
本题考查了反比例函数的应用，结合物理知识进行考察顺应了新课标理念，立意新颖，注意物理学知识：动力×动力臂=阻力×阻力臂．

23.【答案】解：∵AD//EG，
∴∠ADO=∠EGF，
∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG，
∴AOEF=ODFG，即AO1.8=202.4，
∴AO=15，
同理得△BOC∽△AOD，
∴BOAO=OCOD，即BO15=1620，
∴BO=12，
∴AB=AO−BO=15−12=3(米)，
答：旗杆的高AB是3米． 
【解析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定．
先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB的长，最后由线段的差可得结论．

24.【答案】解：(1)由题意可知，AB=BC=200海里，
∵D位于AC的中点，F位于BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=12AB=12×200=100(海里)．
答：小岛D和小岛F相距100海里；
(2)设相遇时补给船航行了x海里，则DE=x海里，AB+BE=2x海里，
由题意可知，AB⊥BC，
由(1)可知，DF是△ABC的中位线，
∴DF//AB，
∴DF⊥BC，
∴∠DFE=90°，
∵F位于BC的中点，
∴CF=12BC=100海里，
∴EF=AB+BC−(AB+BE)−CF=(300−2x)海里，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：x2=1002+(300−2x)2，
整理得：3x2−1200x+100000=0，
解得：x1=200−100 63≈118.3，x2=200+100 63(不合题意，舍去)，
答：相遇时补给船大约航行了约118.3海里． 
【解析】(1)运用三角形的中位线定理求解即可；
(2)设相遇时补给船航行了x海里，则DE=x海里，AB+BE=2x海里，求出EF=(300−2x)海里，然后在Rt△DEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用、方向角以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．

25.【答案】 2 
【解析】解：(1)∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD=45°，BD= 2AB，∠A=90°，
∴BDAB= 2，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∴EF//AD，
∴DFAE=BDAB= 2．
故答案为： 2；
(2)由(1)知：BF= 2BE，BD= 2AB，
∴BFBE=BDAB= 2，
由旋转可知：∠ABE′=∠DBF′，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴DF′AE′=BDAB= 2，
即DFAE= 2；
(3)补全后的图形如图，

∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC= 2AB，
∴BD= 3AB，
∵EF⊥AB，
∴EF//AD，
∴△BEF∽△BAD，
∴BEAB=BFBD，
∴BFBE=BDBA= 3，
∵△EBF绕点B顺时针旋转α得到△E′BF′，
∴∠ABE′=∠DBF′，BE=BE′，BF=BF′，
∴BF′BE′=BDBA= 3，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴DF′AE′=BDAB= 3，
即DFAE= 3；
(4)∵BC=mAB，
∴BD= 1+m2AB，
即BDAB= 1+m2，
∵EF//AD，
∴DFAE=BDAB= 1+m2，
由旋转可知：∠ABE′=∠DBF′，BE=BE′，BF=BF′，
∴BF′BE′=BDBA= 1+m2，
∴△ABE′∽△DBF′，
∴DF′AE′=BDBA= 1+m2，
即DFAE= 1+m2．
(1)先根据正方形的性质推出BD与AB的关系，然后根据平行线分线段成比例定理推出DFAE=BDAB即可求出DFAE的值；
(2)先用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定△ABE′∽△DBF′，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出结果；
(3)先根据题意画出图形，利用勾股定理求出BD= 3AB，再判定△BEF∽△BAD得到对应边成比例，求出BFBE=BDBA= 3，利用旋转的性质得到∠ABE′=∠DBF′，BE=BE′，BF=BF′，判定△ABE′∽△DBF′，根据相似三角形的性质即可求出结果；
(4)在Rt△ABD中，根据勾股定理得到BD与AB之间的数量关系，然后判定△DMF∽△ABD，得到对应边成比例即可求出结果．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．

26.【答案】解：(1)由函数y=kx(x>0)的图象和直线：y=mx+n经过点A(2,3)，B(6,a)，
由图象知，kx>mx+n时，x的取值范围为06；
(2)设直线AB向下平移b个单位后的解析式为y=−12x+(4−b)，
联立方程组得y=−12x+(4=b)y=6x，
整理得12x2+(b−4)x+6=0，
若函数图象有唯一交点，则Δ=(b−4)2−4×12×6=0，
解得b=4+2 3(舍去)或b=4−2 3，
∴b的值为4−2 3；
(3)存在，当△COD∽△CEA时，

则∠CEA=∠COD=90°，
∵一次函数的解析式为：y=−12x+4，
∴C(0,4)，D(8,0)，
∵△COD∽△CEA，
∴CECO=AEOD，
∴CE4=28，
∴CE=1，
∴E(0,3)，
当△COD∽△CAE时，作AH⊥y轴于H，
则AH=2，

∵∠CEA=∠CDO，∠AHE=∠COD，
∴△COD∽△AHE，
∴COOD=AHHE，
∴48=2HE，
∴HE=4，
∴E(0,−1)，
综上：E(0,−1)或(0,3)． 
【解析】(1)根据图象即可得到结论；
(2)将A(2,3)代入y=kx(x>0)，可得k的值，再将B代入y=6x，可得a=1，再将A(2,3)，B(6,1)代入y=mx+n，可得直线的解析式；
(3)分两种情形，分别是△COD∽△CEA或△COD∽△CAE，利用相似三角形的性质列出比例式，可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，相似三角形的判定与性质等知识，将函数图象的交点问题转化为方程根的情况是解题的关键．