2022-2023学年山东省烟台市牟平区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市牟平区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为这体现了数学中的(    )

A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 黄金分割

3.  在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是(    )

 

A. 四边形 B. 四边形 C. 四边形 D. 四边形

4.  已知，化简二次根式为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若，是方程的两个实数根，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

6.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在同一平面直角坐标系中，函数与为常数且的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如果，，那么下面各式：，，，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  某厂家年月份的口罩产量统计如图所示．设从月份到月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，根据题意可得方程(    )

 

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，则与的相似比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

11.  在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 或个

12.  如图，点是反比例函数上的一点，过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于点，点是轴上的动点，则的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  若，则______．

14.  若与最简二次根式能够合并，则 ______ ．

15.  若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为______ ．

16.  根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该物体承受的压强的值为          ．

17.  如图，在中，，，为中点，在线段上，，则          ．
 

18.  如图，平行四边形的顶点在轴上，点在上，且轴，的延长线交轴于点若，则 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
化简：；
计算：．

20.  本小题分
解方程：；
用配方法求一元二次方程的实数根．

21.  本小题分
如图，在中，为上一点，，求：的值．

22.  本小题分
建设美丽城市，改造老旧小区．某市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
年老旧小区改造的平均费用为每个万元．年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加如果投入资金年增长率保持不变，求该市在年最多可以改造多少个老旧小区？

23.  本小题分
观察下列等式：；
；
；

根据以上规律，写出第个等式______ ；
计算：的值．

24.  本小题分
我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义如图所示，现将一高为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着方向移动米至的位置，此时测得其影长为米，求灯杆的高度．

25.  本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
根据函数图象，直接写出不等式的解集；
若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．

26.  本小题分

阅读材料：

材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，

材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．

解：一元二次方程的两个实数根分别为，，

，，则

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______；_______．

类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．

思维拓展：已知实数、满足，，且，求的值．

27.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
求，的值；
直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．
求的面积；
点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式


．
故选：．
根据二次根式的乘法法则和减法法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

2.【答案】 

【解析】解：每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为，
又黄金分割比为，
其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为这体现了数学中的黄金分割，
故选：．
利用黄金分割比的意义解答即可．
本题主要考查了数学与自然界与数学知识的联系，熟悉线段的黄金分割是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了位似变换、勾股定理等知识；熟练掌握位似中心，找出对应点是解题的关键．
设网格中每个小方格的边长为，则，，，，，，，，，，由，得点对应点，点对应点，点对应点，点对应点，即可得出结果．
【解答】
解：设网格中每个小方格的边长为，
则，，，
，，，
，，，，
，且以点为位似中心，
点对应点，点对应点，点对应点，点对应点，
以点为位似中心，四边形的位似图形是四边形，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：因为有意义，
所以、异号，
又，
所以，，
所以，
故选：．
根据二次根式有意义的条件确定、的取值范围，再进行化简即可．
本题考查二次根式的性质与化简，理解二次根式有意义的条件是解决问题的前提，掌握二次根式化简的方法是正确解答的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
，时，，
，时，，
故选：．
先用因式分解法解出方程，然后分情况讨论，然后计算．
本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，掌握因式分解法解出方程的步骤，分情况讨论是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，．
，
故选：．
根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，则，一次函数图象经过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，所以选项正确，选项错误；
当时，一次函数图象经过第一、二，四象限，所以、选项错误．
故选：．
根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．
本题考查了反比例函数图象：反比例函数为双曲线，当时，图象分布在第一、三象限；当时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，原计算错误；
，正确；
，正确．
故选：．
先根据题意判断出，的符号，再对各小题进行解答即可．
本题考查的是分母有理化，根据题意判断出，是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：从月份到月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为，
根据题意可得方程：．
故选：．
本题考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果设这个增长率为，根据“月份的产量是万只，月份的产量是万只”，即可得出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题为增长率问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，．
，．
以原点为位似中心放大后得到．
与的相似比是：：．
故选：．
根据信息，找到与的比值即可．
本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．
 

11.【答案】 

【解析】解：直线不经过第一象限，
，
当时，方程是一次方程，有一个根，
当时，
关于的方程，
，
关于的方程有两个不相等的实数根，
故选：．
由直线解析式求得，然后确定的符号即可．
本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数系数的几何意义：即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即也考查了三角形的面积．
连接、、由于轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数的几何意义得到，，然后利用进行计算．
【解答】
解：如图，连接、、，

轴，
，，
．
故选：．  

13.【答案】或 

【解析】解：当时，，则；
当时，根据等比性质可以得到：．
则或．
本题利用等比性质即可求解．
在利用等比性质时，要注意分母的和不等于．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
与最简二次根式能够合并，
，
，
故答案为：．
先化简，根据题意可得，进行计算即可解答．
本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
，
，解得，
故答案为：．
把常数项移项后，在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方得，可得，解方程即可得的值．
此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
设，把代入得到反比例函数的解析式，再把代入解析式即可解决问题．
本题考查反比例函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：设，
函数图象经过，
，
，
当时，物体所受的压强，
故答案为：．  

17.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行线分线段成比例．
利用平行线分线段成比例及等边三角形的判定及性质，分两种情况解答即可．
【解答】
解：为中点，
．

当时，
．
当与不平行时，
，
在中，，，
，，
是等边三角形，
，，
，
．

故答案是：或．

18.【答案】 

【解析】解：设与轴交于点，连接、，
四边形为平行四边形，
，
，，
，
，
故答案为：．
连接、，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，，进而求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、平行四边形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，
；




． 

【解析】先变形得出，再根据二次根式的性质进行计算即可；
先根据二次根式的性质进行计算，再根据平方差公式和二次根式的性质进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

20.【答案】解：，
开方得，，
故，；
，
整理得，，
即，
配方得，，
故，
开方得，，
故，． 

【解析】利用直接开平方法求出的值即可；
先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用配方法求出的值即可．
本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法和直接开平方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，，
，
又，
∽，
，
：：． 

【解析】由，得，，易证∽，根据相似三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，根据已知条件找到相似三角形是解题的关键．
 

22.【答案】解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为．
设该市在年可以改造个老旧小区，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
的最大值为．
答：该市在年最多可以改造个老旧小区． 

【解析】设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用年投入资金金额年投入资金金额年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
设该市在年可以改造个老旧小区，根据年改造老旧小区所需资金不多于年投入资金金额，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】 

【解析】解：由题干中等式可得第个等式为，
故答案为：；
原式



．
根据题干中的三个等式中被开方数与序号的关系及开方后的结果与序号的关系总结规律即可；
结合中总结所得的规律进行计算即可．
本题考查数式规律问题，结合已知条件总结出等式规律是解题的关键．
 

24.【答案】解：由题意得：米，，，，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
，
，
，
解得：，
，
解得：，
灯杆的高度为米． 

【解析】根据题意可得：米，，，，从而可得，然后证明字模型相似三角形∽，∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，中心投影，平移的性质，数学常识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：反比例函数的图象过点，，
，，
解得，，
，，
一次函数的图象过点和点，
，
解得，
一次函数的表达式为，
描点作图如下：

由中的图象可得，
不等式的解集为：或；
由题意作图如下：

由图知中边上的高为，，
． 

【解析】根据反比例函数解析式求出点和点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
根据图象直接得出不等式的解集即可；
根据对称求出点坐标，根据点、点和点坐标确定三角形的底和高，进而求出三角形的面积即可．
本题主要考查反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，三角形面积公式等知识是解题的关键．
 

26.【答案】解：，；
一元二次方程的两根分别为、，
，，




；
实数、满足，，
与看作是方程的两个实数根，
，，
，
，
，
，




． 

【解析】一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：，；
见答案；
见答案；
根据根与系数的关系进行求解即可；
根据根与系数的关系可得：，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可；
可把与看作是方程的两个实数根，则有，，再利用分式的化简求值的方法进行运算即可．
本题主要考查根与系数的关系，分式的化简求值，解答的关键是把，看作是相应的方程的两个实数根．
 

27.【答案】解：点在一次函数的图象上，
代入得，，
，
把代入得，
，
；
点，点的纵坐标是，，
点的纵坐标是，
把代入得，
，
如图，

作轴于，交于，
当时，，
，
，
，
；
如图，

当是对角线时，即：四边形是平行四边形，
，，点的纵坐标为，
，
当时，，
，
，
当为边时，即：四边形是平行四边形图中的▱，
由得，
，
，
当时，，
，
综上所述：或． 

【解析】将点的坐标代入求得，再把点坐标代入求出；
先求出，，三点坐标，作轴于，交于，求出点坐标，从而求得的长，进而求得三角形的面积；
当为对角线时，先求出点的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当为边时，同样先求出点的纵坐标，再代入求得点的横坐标．
本题主要考查了求二次函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，全面分类．