【中职专用】高中数学 （北师大版2021）基础模块上册2.3.1一元二次不等式的概念（教案）-

2.3.1一元二次不等式的概念

课  型

新授课

课  时

1

授课班级

授课时间

授课教师

教材分析

教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第二章；

教材内容：包括不等式的基本性质、区间、一元二次不等式、含绝对值的不等式、不等式的应用；

地位与作用：不等式是数学中的重要内容，它具有应用广泛、变换灵活的特点，是研究数量大小关系的必备知识，与数学的其他分支内容有着密切的联系，也是学习高等数学的基础和工具.本单元在初中学习的基础之上，进一步学习不等式的基本性质、区间、一元二次不等式、含绝对值的不等式等，学习根据数量关系列出相应的不等式，并利用这些不等式找到问题的解决方案，提升数学运算、直观想象、逻辑推理和数学建模等核心素养．

学情分析

1. 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；

2.通过区间学习，本节课将学习一元二次不等式的概念；

3.职业高考学生在初中学业水平中处于中下游，因此教学中需从实际生活实例出发，加强前后知识的衔接性、串联性，回顾不等式的基本性质的基础上学会一元二次不等式的概念.

学习目标

1.了解一元二次不等式的概念及基本表达式与条件，回顾一元二次方程、二次函数相关知识；

2.学生运用自主探讨、合作学习，掌握二次函数图象的简洁画法，参照图象直观的解决二次函数反应的现实问题，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力；

3.通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质

学习重难点

1. 了解一元二次不等式的概念及基本表达式与条件
2.   回顾一元二次方程、二次函数相关知识；
3.   掌握二次函数图象的简洁画法，参照图象直观的解决二次函数反应的现实问题.

教学方法

讲授法、谈话法、谈论法

课前准备

教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；

学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；

教学媒体

教学课件PPT、多媒体展板

教学过程

第一课时

教学环节

教师活动设计

学生活动设计

设计意图

活动一：

创设情境

生成问题

问题提出

汽车急刹车的停车距离
汽车行驶过程中，由于惯性的作用，急刹车后会继

续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为汽车“急刹车的停车距离”．急刹车的停车距离y(m）与车速x(km/h）之间具有确定的关系．不同车型的汽车急刹车的停车距离与车速之间的关系不同，同一车型的汽车急刹车的停车距离与车速之间的关系也会因为天气条件、道路状况等因素的不同而发生变化．
    在正常天气条件下，某汽车在高速公路上急刹车的停车距离y(m）与车速x(km/h）之间的函数关系为y=0.007x2+0.2x，如果希望该汽车急刹车的停车距离不超过50m，那么其行驶速度的范围是多少？（注：高速公路上的最低速度为60km/h)

根据问题思考，

并尝试利用初中所学知识解

通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容。

活动二：

调动思维

探究新知

分析理解
以上述问题要求“汽车急刹车的停车距离不超过

50m”，即y≤50．而该汽车急刹车的停车距离与车速之

间的关系为y=0.007x2+0.2x，因此得到
0.007x2+0.2.x≤50.

为了求出行驶速度的范围，我们需要对这个不等式

进行求解．这个不等式可以进一步整理为
0.007x2+0.2x-50≤0.

这个不等式只含有一个未知数x，并且未知数x的最高次数为2．像这样的不等式还有很多，如2x2+5x-3＜0,3x2+6x-1＞0等.

抽象概括
一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数

为2的整式不等式，叫作一元二次不等式.一元二次不

等式的一般表达式为ax2+bx+c＞0(≥0）或ax2+bx+c＜

0(≤0)，其中a,b,c均为常数，且a≠0.

知识回顾
1．一元二次方程
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的实数解的情况与

求解公式如表2-3所示.

表2-3

当△=b2-4ac＞0时，有些一元二次方程也可以用因

式分解法写成a(x-x1)(x-x2)=0(a≠0)，然后再求解．

    2.二次函数
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图像是一条抛物线．当

a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．抛物线与x轴共有3种位置关系．

(1）当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；

(2）当△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴只有一个交点； 

(3）当△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点．
抛物线与 轴的3种位置关系如表2-4所示．

表2-4

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图像的对称轴方程为，顶点坐标为，与y轴的交点坐标为（0,c).

分组讨论，分析问题情境，理解一元二次不等式的概念、一般不等式及条件，回顾一元二次方程与二次函数知识，探索其求解方法、解集与其图象与x交点的意义

探索运用二次函数的图象与x轴交点的数量及现实存在的意义

    讲授中穿插小组讨论、问题解答，更利于课堂高效化；

活动三：

巩固练习

素质提升

例 1 已知二次函数y=x2-2x-3,
(1）画出该函数图像；
(2）指出该函数图像上纵坐标分别为y=0,y＞0,y＜0

的所有点；
(3）根据函数图像写出y=0,y＞0,y＜0时所对应的x

的值或取值范围．

分析  ①根据x2的系数判断函数图像（抛物线）的

开口方向；②用判别式判定出一元二次方程x2-2x-3=0的

解的情况，从而确定二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的

交点个数和交点坐标；③计算二次函数图像的顶点坐标、

与y轴的交点坐标；④求出二次函数图像的对称轴方程，

并利用函数图像的对称性再找出一些点；⑤最后根据上

述信息画出函数图像.
画出图像后，y=0,y＞0,y＜0分别对应函数图像与x

轴相交、函数图像在x轴上方、函数图像在x轴下方三

种情形，根据图像完成（2)(3)两个问题.

解  (1）因为a=1＞0，所以函数图像为开口向上的

抛物线．

因为△=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,
所以一元二次方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数

解．

解方程，得x1=-1,x2=3.
所以抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0),(3,0).
抛物线的顶点坐标为，即（1,-4).
抛物线的对称轴方程为，即x=1．抛物线

与y轴的交点坐标为（0,c)，即（0,-3).根据函数的对称性，可以再取一些点，如（2，-3).

根据以上信息，就可以画出函数y=x2-2x-3的图像（如图2-3所示）.

(2）观察图像可知，满足y=0的点是抛物线与x轴

的交点；满足y＞0的点是抛物线在x轴上方的所有点；满足y＜0的点是抛物线在x轴下方的所有点．
    (3）观察图像可知，当y=0时，对应抛物线与x轴的两个交点，此时x有两个取值，x1=-1,x2=3；
    当y＞0时，对应抛物线在x轴上方的所有点，此时x的取值范围是x＜-1或x＞3；

当y＜0时，对应抛物线在x轴下方的所有点，此时x的取值范围是-1＜x＜3.
合作交流
    同学互相交流如何画二次函数的简图． 

学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解

阅读并理解“合作交流”中内容

通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误

活动四：

课堂小结作业布置

（一）课堂小结

（二）作业布置

完成课本中P44  ——练习1.

活动五：

板书设计

2.3.1一元二次不等式的概念

一、一元二次不等式的概念                         练习                 小结

二、一般不等式                                   练习                 作业    

三、二次函数性质                                      

活动六：

教学反思

（留白）

教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。