【中职专用】高中数学 （北师大版2021）基础模块上册2.3.2一元二次不等式的基本解法（教案）-

2.3.2一元二次不等式的基本解法

课  型

新授课

课  时

1

授课班级

授课时间

授课教师

教材分析

教材来源：“十四五”职业教育国家规划教材，人民教育出版社出版，高中一年级基础模块上册第二章；

教材内容：包括不等式的基本性质、区间、一元二次不等式、含绝对值的不等式、不等式的应用；

地位与作用：不等式是数学中的重要内容，它具有应用广泛、变换灵活的特点，是研究数量大小关系的必备知识，与数学的其他分支内容有着密切的联系，也是学习高等数学的基础和工具.本单元在初中学习的基础之上，进一步学习不等式的基本性质、区间、一元二次不等式、含绝对值的不等式等，学习根据数量关系列出相应的不等式，并利用这些不等式找到问题的解决方案，提升数学运算、直观想象、逻辑推理和数学建模等核心素养．

学情分析

1. 14~16岁年龄段学生身心都有较大程度发展，情感更加丰富，认知发展变化迅速，逻辑思维、记忆能力逐步提高；

2.通过一元二次不等式的概念学习，本节课将学习一元二次不等式的基本解法；

3.职业高考学生在初中学业水平中处于中下游，因此教学中需从实际生活实例出发，加强前后知识的衔接性、串联性，回顾一元二次不等式的概念的基础上学会一元二次不等式的基本解法.

学习目标

1.了解一元二次不等式的解集概念，掌握运用二次函数图象求解一元二次方程不等式的方法；

2.学生运用自主探讨、合作学习，探究二次函数图象、一元二次方程的解、一元二次方程不等式的解集之间的关系，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力；

3.通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质

学习重难点

1.   理解一元二次不等式的解集概念
2.   掌握一元二次方程不等式的求解方法；
3.   探究二次函数图象、一元二次方程的解、一元二次方程不等式的解集之间的关系.

教学方法

讲授法、谈话法、谈论法

课前准备

教师：认真备课，设计教学方法，创设问题情境，做好授课过程中出现的突发状况预案；

学生：认真预习教材，标记预习中不清楚、模糊的知识点，准备笔记本；

教学媒体

教学课件PPT、多媒体展板

教学过程

第一课时

教学环节

教师活动设计

学生活动设计

设计意图

活动一：

创设情境

生成问题

问题提出

如何解不等式0.007x2+0.2x-50≤0？

根据问题思考，

并尝试利用初中所学知识解

通过创设问题情境，使学生回忆初中所学知识，并引出本节课所讲内容。

活动二：

调动思维

探究新知

分析理解
当x变化时，不等式的左边可以看作x的二次函数

y=0.007x2+0.2x-50．这样解不等式0.007x2+0.2x-50≤0

的问题就可以转化为求二次函数y=0.007x2+0.2x-50的

图像上y≤0所对应点的x的取值范围问题．
二次函数y=0.007x2+0.2x-50的图像是开口向上的

抛物线．因为△=b2-4ac=(0.2)2-4×0.007×(-50)=1.44

＞0，所以抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是方

程0.007x2+0.2x-50=0的两个解，解方程

0.007x2+0.2x-50=0得x1=-100,x2=.所以图像与x轴

的交点坐标（-100,0）（，0）.对称轴方程为

，顶点坐标为，即

（，）.
故二次函数y=0.007x2+0.2x-50的简图如图2-4所

示．

观察图像可知：
当y=0时，对应抛物线与x轴的两个交点，此时

x1=-100,x2=；

当y＜0时，对应抛物线在x轴下方的所有点，此时

x的取值范围是-100＜x＜.
故满足不等式0.007x2+0.2x-50≤0的x所在的区间

为［-100，].
考虑到高速公路上的最低速度为60km/h ，如果希

望该汽车急刹车的停车距离不超过50m，那么其行驶速度

的范围是［60，]，行驶速度的最大值为≈

71(km/h).

抽象概括
一般地，使一元二次不等式成立的值叫作这个一元

二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合，

叫作这个一元二次不等式的解集．
上面的情形表明，二次函数图像的开口方向及其与x

轴的交点坐标，可以确定其对应的一元二次不等式的解

集．

分组讨论，分析问题情境，理解一元二次不等式的本质，探索一元二次不等式的解法

探索一元二次不等式的求解思路及解法

    讲授中穿插小组讨论、问题解答，更利于课堂高效化；

活动三：

巩固练习

素质提升

例 1 利用二次函数的图像解下列一元二次不等式．
(1)-x2+3x+4＜0；
(2)x2-2x+3＞0.

解  (1）△=b2-4ac=32-4×(-1)×4=25＞0，所以函

数y=-x2+3x+4的图像与x轴有两个交点，解方程一x2+3x+4=0可得，x1=-1,x2=4.
    函数y=-x2+3x+4的图像是开口向下的抛物线，与x轴的交点坐标是（-1,0),(4,0)，函数y=-x2+3x+4的图像如图2-5所示．
              

观察图像可得，不等式﹣x2+3x+4＜0的解集是（-∞,-1)∪(4,+∞).

(2)    △=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8＜0，所以函数y=x2-2x+3的图像与x轴无交点.
    函数y=x2-2x+3的图像是开口向上的抛物线，与x轴无交点，其简图如图2-6所示．

观察图像可得，不等式x2-2x+3＞0的解集为R.

特别提示
    例（1）中，注意到不等式﹣x2+3x+4＜0x2-3x-4＞0，从而可将问题转化成解不等式x2-3x-4＞0，即当一元二次不等式的二次项系为负数时，可以利用不等式的性质将不等式化成二次项系数为正数的一元二次不等式，再求解.

探究发现
通过上面的分析，发现二次函数的图像、一元二次

方程的解、一元二次不等式的解集之间有着密切的联系，

可以总结成表2-5.

表2-5.

合作交流
表2-5中要求a＞0，如果a＜0，应该怎样分析呢？

请结合具体的例子进行思考，并将你的发现与同学进行

交流讨论．

抽象概括
一般地，与二次函数y=ax2+bx+c(a＞0）对应的一元

二次不等式有四种情形，分别是ax2+bx+c＞0,ax2+bx+c

≥0,ax2+bx+c＜0,ax2+bx+c≤0．利用二次函数

y=ax2+bx+c(a＞0）的图像求解相应的一元二次不等式，

可以分为三步．
第一步：确定相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的判

别式△=b2-4ac，从而确定二次函数的图像与x轴的相交

情况；如果有交点，则利用方程ax2+bx+c=0解出交点的

横坐标．

第二步：画出二次函数y=ax2+bx+c的简图．
第三步：观察简图，写出不等式的解集．

学生分组讨论、交流，并请同学上台黑板作答，并进行讲解

阅读并理解“特别提示”中内容

阅读并讨论“合作交流”中内容

通过课后习题的解答，巩固学生对本节课知识的掌握，及时纠正学习过程中的错误

活动四：

课堂小结作业布置

（一）课堂小结

（二）作业布置

完成课本中P47  ——练习1.

活动五：

板书设计

2.3.2一元二次不等式的解法

一、一元二次不等式的解集概念                     练习                 小结

二、特别提示                                     练习                 作业    

三、解题步骤                                      

活动六：

教学反思

（留白）

教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。