高考数学一轮总复习课件第6章立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质（含解析）

这是一份高考数学一轮总复习课件第6章立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质（含解析），共54页。PPT课件主要包含了答案外内垂，图6-5-2，图D47，又∵BE，题后反思，图D48，图6-5-7，答案ACD，MN∥CC1，图6-5-10等内容，欢迎下载使用。

1.直线与平面垂直(1)定义
如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作 l⊥α，直线 l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 l 的垂面.
(2)判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0°的角.
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，
就说这两个平面互相垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(3)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
题组一 走出误区1.(多选题)已知两条直线 l，m 及三个平面α，β，γ，下
)B.l⊥α，m⊥β，l⊥mD.l⊂α，m⊂β，l⊥m
列条件中能推出α⊥β的是(A.l⊂α，l⊥βC.α⊥γ，β∥γ答案：ABC
2.(教材改编题)(多选题)下列命题中正确的是(
A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：ABC
3.(教材改编题)P 是△ABC 所在平面α外一点，O 是 P在平面α内的射影.若 P 到△ABC 的三个顶点距离相等，则O 是△ABC 的_______心；若 P 到△ABC 的三边的距离相等，则 O 是△ABC 的_______心；若 PA ，PB，PC 两两垂直，则 O 是△ABC 的________心.
4.(2019 年北京)已知 l，m 是平面α外的两条不同直线.
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_______________________.
答案：如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m
考点一 线面垂直的判定与性质
[例 1](2021 年彭州期中)如图 6-5-1，直四棱柱 ABCD-＝3，E 为 CD 上一点，DE＝1，EC＝3.
(1)证明：BE⊥平面 BB1C1C；(2)求三棱锥 B1-EA1C1 的体积.
【题后反思】证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于
平面的传递性；③面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂
直，则需借助线面垂直的性质.
【变式训练】(2021 年河北期中)如图 6-5-3，在三棱锥 A-BCD 中，
＝2∠CDB＝90°.(1)证明：BC⊥平面 ABD.(2)在侧面 ACD 内作一点 H，使得 BH⊥平面 ACD，写出作法(无须证明)，并求
(1)证明：因为∠CBD＝90°，所以 BC⊥BD，又因为平面 ABC⊥平面 BCD，平面 ABC∩平面 BCD＝BC，所以 BD⊥平面 ABC，所以 BD⊥AB.
可得AC2＝AD2＝BC2＋AB2，则AB⊥BC.又因为 AB∩BD＝B，所以 BC⊥平面 ABD.
(2)解：作法：如图 D47，取 CD 的中点 E，连接 AE，
过 B 作 BH⊥AE，垂足 H 即要求作的点，
因为 AB⊥BD，AB⊥BC，BC∩BD＝B，所以 AB⊥平面 BCD，连接 BE，则 AB⊥BE.
考点二 面面垂直的判定与性质[例 2]如图 6-5-4，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA ⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证：(1)PA ⊥底面 ABCD；(2)BE∥平面 PAD；
(3)平面 BEF⊥平面 PCD.
证明：(1)∵平面 PAD⊥底面 ABCD，且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，PA ⊂平面 PAD，∴PA ⊥底面 ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E 为 CD 的中点，∴AB∥DE，且 AB＝DE.∴四边形 ABED 为平行四边形.∴BE∥AD.
平面 PAD，AD⊂平面 PAD，
∴BE∥平面 PAD.
(3)∵AB⊥AD，而且 ABED 为平行四边形.
∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知 PA ⊥底面 ABCD，
CD⊂平面 ABCD，
∴PA ⊥CD，且 PA ∩AD＝A，PA ，AD⊂平面 PAD，∴CD⊥平面 PAD，
又∵PD⊂平面 PAD，∴CD⊥PD.
∵E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又 BE⊥CD 且 EF∩BE＝E，∴CD⊥平面 BEF，又 CD⊂平面 PCD，∴平面 BEF⊥平面 PCD.
(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理.
(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
(2021 年泸州模拟)如图 6-5-5，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，
(1)求证：平面 SBD⊥平面 SAD；
侧面△SAB 的面积.
由侧面 SAD⊥底面 ABCD.可得 BD⊥平面 SAD，又 BD⊂平面 SBD，可得平面 SBD⊥平面 SAD.
考点三 垂直关系的综合应用
[例 3]如图 6-5-6，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O
所在的平面，C 是圆周上不同于 A，B 的一动点.
(1)证明：△PBC 是直角三角形；
(2)若 PA ＝AB＝2，且当直线 PC 与平面ABC所成角的正切值为 时，求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.
(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于 A，
B 的一动点.∴BC⊥AC，
∵PA ⊥平面 ABC，
∴BC⊥PA ，又 PA ∩AC＝A，PA ，AC⊂平面 PAC，∴BC⊥平面 PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC 是直角三角形.
(2)解：如图 6-5-7，过 A 作 AH⊥PC 于 H，
∵BC⊥平面 PAC，∴BC⊥AH，
又 PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面 PBC，∴AH⊥平面 PBC，
∴∠ABH 是直线 AB 与平面 PBC 所成的角，∵PA ⊥平面 ABC，∴∠PCA 就是 PC 与平面 ABC 所成的角，
(1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化.(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂
直作出所求角，然后在一个直角三角形中求解.
【变式训练】(2021 年台江期中)如图 6-5-8 所示，在四边形 ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝ ，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线 BD 折成四面体 A′-BCD，使平面 A′BD⊥平面
BCD，则下列结论错误的是(图 6-5-8
⊙逻辑推理、直观想象在平行、垂直关系证明中的
逻辑推理在该部分主要体现在空间平行、垂直关系的证明与探究，其理论根据就是空间垂直关系的判定定理和性质定理，需要掌握推理的基本形式，表述论证的过程.平行、垂直关系证明的起点就是平面图形中的线线平行、垂直关系.
[例 4](2020 年全国Ⅱ)如图 6-5-9，已知三棱柱 ABC-
A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
(1)证明：因为 M，N 分别为 BC，B1C1 的中点，所以
又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN.所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化，要熟练掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化.
1.如图 6-5-11，在底面为菱形的四棱锥 P-ABCD 中，
PA ⊥AD，PA ⊥CD，E 为侧棱 PC 上一点.(1)若 BE⊥PC，求证：PC⊥平面 BDE；
(2)若 PA ∥平面 BDE，求平面 BDE 把四棱锥 P-ABCD
(1)证明：如图 D49，连接 AC，因为四边形 ABCD 为
因为 PA ⊥AD，PA ⊥CD，且 AD∩CD＝D，所以 PA ⊥底面 ABCD，所以 PA ⊥BD.
又 PA ∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC ，所以 BD⊥PC.又因为 BE⊥PC，BD∩BE＝B，所以 PC⊥平面 BDE.(2)解：设 AC∩BD＝O，连接 OE，因为四边形 ABCD
为菱形，所以 AO＝OC.
因为 PA ∥平面 BDE，平面 PAC∩平面 BDE＝OE，
所以平面 BDE 把四棱锥 P-ABCD 分成两部分的体积比为 1∶3(或 3∶1).
2.(2021 年定远模拟)如图6­5­12，在三棱柱ABC­A1B1C1
中，AA1⊥底面A1B1C1，D是AB中点.(1)证明：AC1∥平面B1CD；(2)若∠ACB＝90°，AA1＝BC，证明：平面A1C1B⊥平面B1CD.
证明：(1)如图 D50，设 BC1 与 B1C 相交于点 E，连接DE，由题意可得，D，E 分别为 AB，BC1 的中点，所以DE 是△ABC1 的中位线，所以 DE∥AC1，因为 DE⊂平面
平面 B1CD，所以 AC1∥平面 B1CD.图 D50
(2)因为AA1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥底面A1B1C1，所以CC1⊥A1C1，因为∠ACB＝90°，即∠A1C1B1＝90°，所以A1C1⊥B1C1，又因为B1C1，CC1⊂平面BCC1B1且B1C1∩CC1＝C1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C，因为AA1＝BC，AA1＝CC1，所以CC1＝BC，