高考数学一轮复习第8章立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质课件

这是一份高考数学一轮复习第8章立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质课件，共41页。PPT课件主要包含了直线与平面垂直，平面与平面垂直，⇒l⊥α，成的角等于0°，二面角，下列三个论断，l∥α，考点1，答案①②④，图D83等内容，欢迎下载使用。

3.直线与平面所成的角
(1)如果直线与平面平行或者在平面内，那么直线与平面所
(2)如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角等 于
(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0°，90°).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.
从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
1.(2019 年北京)已知 l，m 是平面α外的两条不同直线.给出
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：____________________________.
解析：将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个
(1)如果 l⊥α，m∥α，那么 l⊥m.正确；
(2)如果 l⊥α，l⊥m，那么 m∥α.不正确，有可能 m 在平面
(3)如果 l⊥m，m∥α，那么 l⊥α.不正确，有可能 l 与α斜交，
答案：如果 l⊥α，m∥α，那么 l⊥m
2.(2017 年新课标Ⅲ)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱
CD 的中点，则(A.A1E⊥DC1C.A1E⊥BC1
B.A1E⊥BDD.A1E⊥AC
3.在如图所示的四个正方体中，能得出 AB⊥CD 的是(
4.(2019 年浙江模拟)已知互相垂直的平面α，β交于直线 l.
解析：∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选 C.
若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥β，则(A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
直线与平面垂直的判定与性质
例 1：(1)如图 8-5-1，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AE⊥PC，AF⊥PB.给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC.其中真命题的序号是__________.图 8-5-1
解析：①AE⊂平面 PAC ，BC⊥AC，BC⊥PA ⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面 PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面 AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③若 AF⊥BC⇒AF⊥平面 PBC，则 AF∥AE，与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确.
(2)(多选)如图 8-5-2，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°，侧面 PAD 为正三角形，且平面 PAD ⊥平
面 ABCD，则下列说法正确的是(
图 8-5-2A.在棱 AD 上存在点 M，使 AD⊥平面 PMBB.异面直线 AD 与 PB 所成的角为 90°C.二面角 P-BC-A 的大小为 45°D.BD⊥平面 PAC
解析：对于 A 项，如图 D83，取 AD 的中点 M，连接 PM，
BM.∵侧面 PAD 为正三角形，
∴PM⊥AD.又底面 ABCD 是∠DAB＝ 60°的菱形，∴△ABD 是等边三角形.
∴AD⊥BM.∴AD⊥平面 PBM.故 A 项正确；对于 B 项，∵AD⊥平面 PBM，∴AD⊥PB.
即异面直线 AD 与 PB 所成的角为 90°.故 B 项正确；对于 C 项，由 A 项知，AD⊥平面 PBM，∴BC⊥平面 PBM.则∠PBM 是二面角 P-BC-A 的平面角.
∴二面角 P-BC-A 的大小为 45°，故 C 项正确.答案：ABC
(3)(2019 年新课标Ⅱ)如图 8-5-3，长方体 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1.
①证明：BE⊥平面 EB1C1；
②若 AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥 E-BB1C1C 的体积.
①证明：由已知得 B1C1⊥平面 ABB1A1，BE⊂平面 ABB1A1，故 B1C1⊥BE.
又 BE⊥EC1，∴BE⊥平面 EB1C1.②解：由①知∠BEB1＝90°.
由题设知 Rt△ABE≌ RtA1B1E，∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，
故 AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.
作 EF⊥BB1 ，垂足为 F，则 EF⊥平面 BB1C1C，且 EF＝
AB＝3(如图 D84).
【规律方法】直线与直线垂直⇒直线与平面垂直⇒平面与平面垂直⇒直线与平面垂直⇒直线与直线垂直，通过直线与平面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题.出现中点时，平行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆周上的点时，联想到直径所对的圆周角为直角.
平面与平面垂直的判定与性质
例2：(1)(2018 年新课标Ⅰ)如图 8-5-4，在平行四边形 ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以 AC 为折痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA.①证明：平面 ACD⊥平面 ABC；②Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝DQ图 8-5-4
①证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.又 BA⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面 ACD.又 AB⊂平面 ABC，∴平面 ACD⊥平面 ABC.
(2)(2017 年新课标Ⅰ)如图 8-5-5，在四棱锥 P-ABCD 中，
AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.①证明：平面 PAB⊥平面 PAD ；
①证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于 AB∥CD，故 AB⊥PD.
又 AP∩PD＝P，∴AB⊥平面 PAD .
又 AB⊂平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PAD .
【规律方法】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想
①证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.②证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.③证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
④证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证
例 3：(2018 年新课标Ⅰ)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30°，则该长方体的
解析：如图 8-5-6，∠AC1B 为 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30°，
答案：C【规律方法】求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：AB⊥平面 BB1C1C，从而直线 AC1 与平面 BB1C1C 所成角即为∠AC1B.
1.(2019 年天津) 如图 8-5-7 ，在四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面 PAC ⊥平面PCD，PA ⊥CD，CD＝2，AD＝3.
(1)设 G，H 分别为 PB，AC 的中点，求证：GH∥平面 PAD ；(2)求证：PA ⊥平面 PCD；
(3)求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值.
(1)证明：如图 D87，连接 BD，易知 AC∩BD＝H，BH＝
又由 BG＝PG，故 GH∥PD.
又∵GH⊄ 平面 PAD ，PD⊂平面 PAD，∴GH∥平面 PAD .
(2)证明：取棱 PC 的中点 N，连接 DN.依题意，得 DN⊥PC，
又∵平面 PAC ⊥平面 PCD，平面 PAC ∩平面 PCD＝PC，∴DN⊥平面 PAC ，又 PA ⊂PAC，故 DN⊥PA .又 PA ⊥CD，CD∩DN＝D，∴PA ⊥平面 PCD.(3)解：连接 AN，由(2)中 DN⊥平面 PAC ，知∠DAN 为直线 AD 与平面 PAC 所成的角，
∵△PCD 为等边三角形，CD＝2，且 N 为 PC 的中点，
难点突破⊙面面所成的角例题：(2018 年浙江)已知四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点(不含端点)，设 SE 与 BC所成的角为θ1，SE 与平面 ABCD 所成的角为θ2，二面角 S-AB-C
的平面角为θ3，则(A.θ1≤θ2≤θ3C.θ1≤θ3≤θ2
B.θ3≤θ2≤θ1D.θ2≤θ3≤θ1
解析：设 O 为正方形 ABCD 的中心，M 为 AB 中点，过 E作 BC 的平行线 EF，交 CD 于 F，过 O 作 ON⊥EF 于 N，连接SO，SN，OM，则 SO⊥底面 ABCD，OM⊥AB，因此∠SEN＝θ1，∠SEO＝θ2，∠SMO＝θ3，
∵SN≥SO，EO≥OM，∴tan θ1≥tan θ3≥tan θ2，即θ1≥θ3≥θ2.故选 D.答案：D
【跟踪训练】2.(2019 年浙江)设三棱锥 V-ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点(不含端点)，记直线 PB 与直线 AC所成角为α，直线 PB 与平面 ABC 所成角为β，二面角 P-AC-B
的平面角为γ，则(A.β<γ，α<γC.β<α，γ<α
B.β<α，β<γD.α<β，γ<β
方法二，由最小角定理β<α，记 V-AB-C 的平面角为γ′(显然γ′＝γ)由最大角定理β<γ′＝γ，故选 B.
1.证明线面垂直的方法.
(1)用线面垂直的定义：若一直线垂直于平面内任一直线，
这条直线垂直于该平面；
(2)用线面垂直的判定定理：若一直线垂直于平面内两条相
交直线，这条直线垂直于该平面；
(3)用线面垂直的性质定理：若两平行直线之一垂直于平
面，则另一条直线也垂直于该平面；
(4)用面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，在一个平面
内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面；
(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂
(6)如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面
的交线也垂直于第三个平面.
2.判定面面垂直的方法.
(1)定义法.首先找二面角的平面角，然后证明其为直角；(2)利用面面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的
3.垂直于同一个平面的两条直线平行，是判定两条直线平行的又一重要方法，是实现空间中平行关系和垂直关系在一定条件下相互转化的一种手段.
(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)垂直于同一直线的两个平面互相平行.