新高考数学一轮复习专题七立体几何与空间向量7-3直线、平面垂直的判定与性质课件

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题型一　判定或证明直线与平面垂直的方法1.利用线面垂直的判定定理:l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂α⇒l⊥α(主要方法).2.利用平行的传递性:a∥b,a⊥α⇒b⊥α.3.利用面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=a,l⊂β,l⊥a⇒l⊥α(主要方法).4.利用面面平行的性质:α∥β,a⊥β⇒a⊥α.5.利用面面垂直的性质:α⊥γ,β⊥γ,β∩α=l⇒l⊥γ.6.向量法:证明直线的方向向量a与平面的法向量b平行.
例1    (2018课标Ⅱ文,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离. 
  解析    (1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2 .连接OB,因为AB=BC= AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB= AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.(勾股定理的逆定理)由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,知 PO⊥平面ABC. 
(2)作CH⊥OM,垂足为H.由(1)可得OP⊥CH(线面垂直的性质定理),又OM∩OP=O,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC= AC=2,CM= BC= ,∠OCM=45°,所以OM= ,CH= =  S△OCM= CH·OM= OC·CM·sin∠OCM .所以点C到平面POM的距离为 .
题型二　判定或证明平面与平面垂直的方法1.利用面面垂直的判定定理:l⊥α,l⊂β⇒α⊥β(主要方法).2.利用面面垂直的定义(作出两平面所成的二面角的平面角,并计算平面角的大小为90°).3.利用平行的传递关系:α∥β,α⊥γ⇒β⊥γ.4.向量法:证明两个平面的法向量m,n互相垂直,即m·n=0.
例2    (2024辽宁名校联盟联考,17)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E在线段A1D1 上,且∠EDA=∠EAD,F,G分别为线段BC,AD的中点,且底面ABCD为正方形.(1)求证:平面BCC1B1⊥平面EFG;(2)若EF与底面ABCD不垂直,直线ED与平面EBC所成角为45°,且EB=AB=2,求点A到平 面A1B1C1D1的距离. 
  解析    (1)证明:因为∠EDA=∠EAD,所以EA=ED,因为G为AD的中点,所以EG⊥AD,因为AD∥BC,所以EG⊥BC,因为底面ABCD为正方形,所以BC⊥AB.因为F,G分别为线段BC,AD的中点,所以FG∥AB,所以FG⊥BC.又EG∩FG=G,EG,FG⊂平面EFG,
所以BC⊥平面EFG,又BC⊂平面BCC1B1,所以平面BCC1B1⊥平面EFG.(面面垂直的判定定理)(2)以F为坐标原点,过F作与平面ABCD垂直的直线为z轴,以 , 的方向为x,y轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 
则D(1,-2,0),C(1,0,0),B(-1,0,0),则 =(-2,0,0).设E(0,a,h)(a≠0,h>0),则 =(1,-2-a,-h), =(-1,-a,-h).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则 令y=-h,则z=a,所以n=(0,-h,a).