第8章 立体几何与空间向量 第5节 空间向量及其运算 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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研考点 精准突破
强基础 固本增分
抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向
1.空间向量的有关概念
微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.
2.空间向量中的有关定理
{a,b,c}叫做空间的一个基底
微点拨1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题.
(1)两个向量有相同的起点;(2)向量的方向
微点拨向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·b=b·a, (a+b)·c=a·c+b·c成立,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
|a||b|cs
4.空间向量的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决
a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
题组二 回源教材5.(人教A版选择性必修第一册习题1.2第2题)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是(　　)A.b+c,b,b-cB.a,a+b,a-bC.a+b,a-b,cD.a+b,a+b+c,c
6.(人教A版选择性必修第一册1.3.2节练习第2题改编)已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),且a⊥b,则x的值为__________. 
题组三 连线高考8.(2010·广东,理10)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(c-a)·2b=-2,则x=__________. 
解析 ∵c-a=(0,0,1-x),∴(c-a)·2b=(0,0,1-x)·(2,4,2)=2-2x=-2,解得x=2.
考点一 空间向量的运算
解析 如图,取AC的中点M,连接ME,MF,如图.
[对点训练1](1)已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,1,-2),则a+4b-3c=(　　)A.(4,-4,6)B.(-6,-6,-5)C.(10,0,7)D.(10,-6,19)
解析 a+4b-3c=(2,-3,1)+(8,0,12)-(0,3,-6)=(10,-6,19).
考点二 空间向量有关定理的应用
A.O,A,B,C四点必共面B.P,A,B,C四点必共面C.O,P,B,C四点必共面D.O,P,A,B,C五点必共面
考点三 空间向量的数量积及其应用(多考向探究预测)
考向2 空间向量数量积的应用例4如图,已知空间四边形ABCD每条边长和对角线长都等于1,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点.
(1)求证:EG⊥AB;(2)求EG的长;(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.
规律方法空间向量数量积的三个应用
[对点训练4]已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积;