第28讲 三角恒等变换（2）-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（原卷版）

第28讲 三角恒等变换（2）

知识梳理

1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．

2. 要注意对“1”的代换：

如1＝sin2α＋cos2α＝tan，还有1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.

3. 对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：

如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±.

4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等．

5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：

(1)y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.则－≤y≤.

(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．

(3)y＝(或y＝)

可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．

6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：

(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．

(2)y＝asinx＋(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．

1、【2023年新高考1卷】 已知，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

2、【2021年新高考1卷】若，则（       ）

A． B． C． D．

3、【2018年新课标1卷文科】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则

A． B． C． D．

4、【2018年新课标1卷文科】已知函数，则

A．的最小正周期为，最大值为

B．的最小正周期为，最大值为

C．的最小正周期为，最大值为

D．的最小正周期为，最大值为

1、若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝        .

2、已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)

A.   B.或

C.   D．2kπ＋(k∈Z)

3、已知，，则的值为_______．

4、设为锐角，若，则的值为    ．

5、 （2022年福建诏安县模拟试卷）已知，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

考向一　变角的运用

例1、已知α为锐角，若cos ＝，求 sin 的值．

变式1、（1）（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知，若，则（       ）

A． B． C． D．

（2）（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.

变式2、（1）（2021·山东烟台市·高三二模）已知，，则的值为______．

（2）已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.

方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。

考向二  求角

例2、已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值．

变式1、已知α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．

变式2、若sin 2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值为__________．

变式3、（1）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知且，则=（   ）

A． B．

C． D．或

（2）（2022·河北张家口·高三期末）（多选题）已知，，则（    ）

A． B． C． D．

方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。

考向三 公式的综合运用

例3、已知函数f(x)＝sin (x＋θ)＋a cos (x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.

(1) 当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；

(2) 若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．

变式1、(1) 函数f(x)＝sin (x＋φ)－2sin φcos x的最大值为　　　　；

(2) 函数f(x)＝sin －2sin2x的最小正周期是　　　　．

变式2、（2022·山东青岛·高三期末）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．是图象的一条对称轴

C．的最小正周期为

D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称

方法总结：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．

1、（2022·广东韶关·一模）若，则__________.

2、（2022年福建连城县模拟试卷）已知，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

3、（2022年广东揭阳市模拟试卷）已知，则

A.  B.  C.  D. .

4、（2022年福建上杭县模拟试卷）已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 0

5、（2022·江苏宿迁·高三期末）已知，则____________.

6、（2022·江苏通州·高三期末）若，则α的一个可能角度值为__________.

7、（2022·江苏如东·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθ＝的θ＝_________.

8、（2022·江苏南京·模拟预测）已知，．

(1)求的值；

(2)若，，求的值．