第28讲 三角恒等变换（2）-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（解析版）

第28讲 三角恒等变换（2）

知识梳理

1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．

2. 要注意对“1”的代换：

如1＝sin2α＋cos2α＝tan，还有1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.

3. 对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：

如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±.

4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等．

5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：

(1)y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.则－≤y≤.

(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．

(3)y＝(或y＝)

可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．

6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：

(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．

(2)y＝asinx＋(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．

1、【2023年新高考1卷】 已知，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为，而，因此，

则，

所以.

故选：B

2、【2021年新高考1卷】若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．

【详解】

将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

3、【2018年新课标1卷文科】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.

【详解】

由三点共线，从而得到，

因为，

解得，即，

所以，故选B.

4、【2018年新课标1卷文科】已知函数，则

A．的最小正周期为，最大值为

B．的最小正周期为，最大值为

C．的最小正周期为，最大值为

D．的最小正周期为，最大值为

【答案】B

【解析】

【分析】

首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.

【详解】

根据题意有，

所以函数的最小正周期为，

且最大值为，故选B.

1、若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝        .

【答案】　

【解析】　tan β＝tan[(α＋β)－α]

＝

＝＝.

2、已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)

A.   B.或

C.   D．2kπ＋(k∈Z)

【答案】　C

【解析】　由sin α＝，cos β＝，

且α，β为锐角，

可知cos α＝，sin β＝，

故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×

＝，

3、已知，，则的值为_______．

【答案】3

【解析】．

4、设为锐角，若，则的值为    ．

【答案】

【解析】 因为为锐角，cos(=，∴sin(=，∴sin2(cos2(，所以sin(

5、 （2022年福建诏安县模拟试卷）已知，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

因为，则，所以，，

所以，.

故选：B.

考向一　变角的运用

例1、已知α为锐角，若cos ＝，求 sin 的值．

【解析】 设β＝α＋，则β∈，

所以sin β＝，sin 2β＝2sin βcos β＝，

cos 2β＝2cos2β－1＝，

所以sin＝sin

＝sin （2β－）＝sin 2βcos －cos 2βsin ＝.

变式1、（1）（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

.

故选：C.

（2）（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.

【答案】

【解析】因为，，

所以，

故答案为：

变式2、（1）（2021·山东烟台市·高三二模）已知，，则的值为______．

【答案】

【解析】，而，

∴，

∴.

故答案为：.

（2）已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.

【答案】　－

【解析】　由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－＜0，

所以cos(α＋β)＝，因为β－∈，

所以cos＝－，

cos＝cos

＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin

＝－.

方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。

考向二  求角

例2、已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值．

【解析】 因为α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，

所以cos α＝＝＝，sinβ＝＝＝，

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.

由0＜α＜，0＜β＜，得0＜α＋β＜π.

又cos (α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，

所以α＋β＝.

变式1、已知α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．

【解析】 因为α，β为锐角，

所以由sin α＝，cos β＝，

得cos α＝，sin β＝，所以α＜β，

所以－＜α－β＜0，

所以cos (α－β)＝×＋×＝，

故α－β＝－.

变式2、若sin 2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值为__________．

【答案】

【解析】 因为α∈，所以2α∈.又sin 2α＝，所以2α∈，则α∈，故cos 2α＝－.又β∈，所以β－α∈，故cos (β－α)＝－，所以cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos (β－α)－sin 2αsin (β－α)＝－×（－）－×＝.又α＋β∈，故 α＋β＝.

变式3、（1）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知且，则=（   ）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【解析】因，则，

，

因，，则，又，有，

于是得，因此，，

所以.

故选：C

（2）（2022·河北张家口·高三期末）已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【解析】，

故，

所以或，

故或.

又，所以或，

故选：BD.

方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。

考向三 公式的综合运用

例3、已知函数f(x)＝sin (x＋θ)＋a cos (x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.

(1) 当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；

(2) 若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．

【解析】 (1) 由题意，得f(x)＝sin ＋cos（x＋）＝(sin x＋cos x)－sin x＝cos x－sin x＝sin .

因为x∈[0，π]，所以－x∈，

故f(x)在区间[0，π]上的最大值为，最小值为－1.

(2) 由得

由θ∈知cos θ≠0，解得

变式1、(1) 函数f(x)＝sin (x＋φ)－2sin φcos x的最大值为　　　　；

【答案】  1

【解析】 因为f(x)＝sin (x＋φ)－2sin φcos x＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin (x－φ)，且－1≤sin (x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.

(2) 函数f(x)＝sin －2sin2x的最小正周期是　　　　．

【答案】 π

【解析】f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－＝sin （2x＋）－，所以T＝＝π.

变式2、（2022·山东青岛·高三期末）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．是图象的一条对称轴

C．的最小正周期为

D．将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称

【答案】AC

【解析】，A正确；

，由于在对称轴处函数值要取到最值，故B错误；

，C正确；

将的图象向左平移个单位后得

，其为偶函数，不关于原点对称，D错误.

故选：AC.

方法总结：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解题技巧．

1、（2022·广东韶关·一模）若，则__________.

【答案】

【分析】

先求出，利用两角差的正切公式即可求出.

【详解】

因为，所以，所以，所以.

故答案为：

2、（2022年福建连城县模拟试卷）已知，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

，，又，，

，

，

.

故选：A.

3、（2022年广东揭阳市模拟试卷）已知，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

，

解得，

，故.

4、（2022年福建上杭县模拟试卷）已知，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 0

【答案】D

【解析】因为，

所以，所以，

所以，所以或，

因为，所以，所以，

所以

.

故选：D

5、（2022·江苏宿迁·高三期末）已知，则____________.

【答案】

【解析】

因为，所以，

因为，所以，

所以，

所以，

所以，

故答案为：.

6、（2022·江苏通州·高三期末）若，则α的一个可能角度值为__________.

【答案】等答案较多

【解析】

则，故，或

故答案为：等均符合题意.

7、（2022·江苏如东·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθ＝的θ＝_________.

【答案】（答案不唯一）．

【解析】

，

因此（实际上）．

故答案为：（答案不唯一）．

8、（2022·江苏南京·模拟预测）已知，．

(1)求的值；

(2)若，，求的值．

【解析】

解：因为，，

又，所以，

所以.

(2)解：因为，

，

又因为，所以，

由（1）知，，

所以．

因为，，则，所以．