第27讲 三角恒等变换（1）-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）（原卷版）

第27讲 三角恒等变换（1）

知识梳理

1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式

sin(α±β)＝                      ，简记作S(α±β)；

cos(α±β)＝                      ，简记作C(α±β)；

tan(α±β)＝                      ，简记作T(α±β)．

2. 二倍角公式

sin2α＝                      ；

tan2α＝                      ；

cos2α＝                      ＝                      ＝                      ．

3. 辅助角公式

y＝asinx＋bcosx＝                      ，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.

4. 公式的逆用及有关变形

tanα±tanβ＝                      ；

sinα±cosα＝                      )；

sinα·cosα＝                      ；

1＋sin2α＝                      ；

1－sin2α＝                      ；

sin2α＝                      ；

cos2α＝                      ；

tan2α＝                      (降幂公式)；

1－cos2α＝                      ；

1＋cos2α＝                      (升幂公式)

1、【2022年新高考2卷】若，则（       ）

A． B．

C． D．

2、【2022年浙江】若，则__________，_________．

3、【2021年甲卷文科】若，则（       ）

A． B． C． D．

4、【2021年乙卷文科】（       ）

A． B． C． D．

5、【2020年新课标1卷理科】已知，且，则（       ）

A． B．

C． D．

6、【2020年新课标3卷理科】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（       ）

A．–2 B．–1 C．1 D．2

1、sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝(　　)

A.1   B.    C.     D.－

2、知cos α＝－，α∈，则sin等于(　　)

A.－   B.   C.－   D.

3（2022·福建三明·模拟预测）若，则（       ）

A． B． C． D．

4、（2022·湖南·雅礼中学二模）已知，则（       ）

A． B． C． D．

考向一　利用两角和(差)公式运用

例1、（1）（2022·福建·模拟预测）已知为锐角，且，则（       ）

A． B． C． D．

（2）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角的终边过点，则（       ）

A． B． C． D．

 变式1、（2022年湖南常德市高三模拟试卷）（多选题）下列选项中，与的值相等的是（    ）

A.  B.

C.  D.

变式2、（1）若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝　　　　．　

(2) 在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan Atan B，则C＝　　　　；

变式3、（1）已知是第二象限角，且，，则____.

（2）已知sin α＝sin＋，则cos的值为(　　)

A.   B.－    C.     D.－

方法总结：考查两角和差的三角函数．公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解．本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想．

考向二  二倍角公式的运用

例2、（2022年深圳市深圳中学高三模拟试卷）（多选题）下列各式的值等于的是（  ）

A.  B.  C.  D.

变式1、(1) 化简： （－tan ）·（1＋tan α·tan ）＝　　　　；　

(2) 求证：＝sin 2α.

变式2、已知coscos＝－，α∈.

(1)求sin 2α的值；

(2)求tan α－的值．

变式3、（2022·江苏如皋·高三期末）已知，则的值为（    ）

A． B． C．－ D．

方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用．三角函数式的化简要注意以下3点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．本题考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．

考向三  公式的综合运用

例3、化简：(0<θ<π)．

变式1、（1）（2022·湖北江岸·高三期末）计算（    ）

A．1 B．﹣1 C． D．

（2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）______．

变式2、（1）（2022年福建龙岩市高三模拟试卷）（多选题）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

（2）（2023·江苏南通·统考一模）已知，则（    ）

A． B． C． D．

方法总结：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

一看角，二看名，三看式子结构与特征.

(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.

1、（2022·福建·模拟预测）已知为锐角，且，则（       ）

A． B． C． D．

2、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知，则（       ）

A． B． C．3 D．

3、（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.

4、（2022·广东韶关·一模）若，则__________.

5、（2022年湖北宜昌市高三模拟试卷） （    ）

A.  B.  C.  D.

6、（2022年湖北黄冈市高三模拟试卷）已知，，则 (    )

A．         B．         C．      D．

7、（2021·山东青岛市·高三三模）若，则___________.