高考数学第一轮复习导学案(新高考)第27讲三角恒等变换(1)(原卷版+解析)

这是一份高考数学第一轮复习导学案(新高考)第27讲三角恒等变换(1)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了 二倍角公式， 辅助角公式， 公式的逆用及有关变形等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
sin(α±β)＝ ，简记作S(α±β)；
cs(α±β)＝ ，简记作C(α±β)；
tan(α±β)＝ ，简记作T(α±β)．
2. 二倍角公式
sin2α＝ ；
tan2α＝ ；
cs2α＝ ＝ ＝ ．
3. 辅助角公式
y＝asinx＋bcsx＝ ，其中φ为辅助角，且其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，tanφ＝eq \f(b,a).
4. 公式的逆用及有关变形
tanα±tanβ＝ ；
sinα±csα＝ )；
sinα·csα＝ ；
1＋sin2α＝ ；
1－sin2α＝ ；
sin2α＝ ；
cs2α＝ ；
tan2α＝ (降幂公式)；
1－cs2α＝ ；
1＋cs2α＝ (升幂公式)
1、【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cs(α+β)=22csα+π4sinβ，则（ ）
A．tan(α−β)=1B．tan(α+β)=1
C．tan(α−β)=−1D．tan(α+β)=−1
2、【2022年浙江】若3sinα−sinβ=10,α+β=π2，则sinα=__________，cs2β=_________．
3、【2021年甲卷文科】若，则（ ）
A．B．C．D．
4、【2021年乙卷文科】（ ）
A．B．C．D．
5、【2020年新课标1卷理科】已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6、【2020年新课标3卷理科】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
1、sin 45°cs 15°＋cs 225°sin 165°＝( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.－eq \f(1,2)
2、知cs α＝－eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.－eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10) C.－eq \f(7\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)
3（2022·福建三明·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
4、（2022·湖南·雅礼中学二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
考向一 利用两角和(差)公式运用
例1、（1）（2022·福建·模拟预测）已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
（2）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
变式1、（2022年湖南常德市高三模拟试卷）（多选题）下列选项中，与的值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
变式2、（1）若α＋β＝ eq \f(3π,4)，则(1－tan α)(1－tan β)＝ ．
(2) 在△ABC中，tan A＋tan B＋ eq \r(3)＝ eq \r(3)tan Atan B，则C＝ ；
变式3、（1）已知是第二象限角，且，，则____.
（2）已知sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值为( )
A.eq \f(1,3) B.－eq \f(1,3) C.eq \f(2\r(3),3) D.－eq \f(2\r(3),3)
方法总结：考查两角和差的三角函数．公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解．本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想．
考向二 二倍角公式的运用
例2、（2022年深圳市深圳中学高三模拟试卷）（多选题）下列各式的值等于的是（ ）
A. B. C. D.
变式1、(1) 化简： （ eq \f(1,tan \f(α,2))－tan eq \f(α,2)）·（1＋tan α·tan eq \f(α,2)）＝ ；
(2) 求证： eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan \f(α,2))＝ eq \f(1,4)sin 2α.
变式2、已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))).
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－eq \f(1,tan α)的值．
变式3、（2022·江苏如皋·高三期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．－D．
方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用．三角函数式的化简要注意以下3点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．本题考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．
考向三 公式的综合运用
例3、化简：eq \f(（1＋sinθ＋csθ）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2))),\r(2＋2csθ))(0<θ<π)．
变式1、（1）（2022·湖北江岸·高三期末）计算（ ）
A．1B．﹣1C．D．
（2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）______．
变式2、（1）（2022年福建龙岩市高三模拟试卷）（多选题）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
（2）（2023·江苏南通·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
方法总结：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
1、（2022·福建·模拟预测）已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
2、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．3D．
3、（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.
4、（2022·广东韶关·一模）若，则__________.
5、（2022年湖北宜昌市高三模拟试卷） （ ）
A. B. C. D.
6、（2022年湖北黄冈市高三模拟试卷）已知，，则 ( )
A． B． C． D．
7、（2021·山东青岛市·高三三模）若，则___________.
第27讲 三角恒等变换（1）
知识梳理
1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ，简记作S(α±β)；
cs(α±β)＝csαcsβ∓sinαsinβ，简记作C(α±β)；
tan(α±β)＝eq \f(tanα±tanβ,1∓tanα·tanβ)，简记作T(α±β)．
2. 二倍角公式
sin2α＝2sinα·csα；
tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)；
cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α．
3. 辅助角公式
y＝asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中φ为辅助角，且其中csφ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，tanφ＝eq \f(b,a).
4. 公式的逆用及有关变形
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)；
sinα±csα＝eq \r(2)sin(α±eq \f(π,4))；
sinα·csα＝eq \f(1,2)sin2α；
1＋sin2α＝(sinα＋csα)2；
1－sin2α＝(sinα－csα)2；
sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)；
cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；
tan2α＝eq \f(1－cs2α,1＋cs2α)(降幂公式)；
1－cs2α＝2sin2α；1＋cs2α＝2cs2α(升幂公式)
1、【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cs(α+β)=22csα+π4sinβ，则（ ）
A．tan(α−β)=1B．tan(α+β)=1
C．tan(α−β)=−1D．tan(α+β)=−1
【答案】C
【解析】
由已知得：sinαcsβ+csαsinβ+csαcsβ−sinαsinβ=2(csα−sinα)sinβ,
即：sinαcsβ−csαsinβ+csαcsβ+sinαsinβ=0，
即：sinα−β+csα−β=0,
所以tanα−β=−1,
故选：C
2、【2022年浙江】若3sinα−sinβ=10,α+β=π2，则sinα=__________，cs2β=_________．
【答案】 31010 45
【解析】α+β=π2，∴sinβ=csα，即3sinα−csα=10，
即1031010sinα−1010csα=10，令sinθ=1010，csθ=31010，
则10sinα−θ=10，∴α−θ=π2+2kπ，k∈Z，即α=θ+π2+2kπ，
∴sinα=sinθ+π2+2kπ=csθ=31010 ，
则cs2β=2cs2β−1=2sin2α−1=45．
故答案为：31010；45．
3、【2021年甲卷文科】若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
4、【2021年乙卷文科】（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】
由题意，
.
故选：D.
5、【2020年新课标1卷理科】已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】
，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
6、【2020年新课标3卷理科】已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2B．–1C．1D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】
，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
1、sin 45°cs 15°＋cs 225°sin 165°＝( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.－eq \f(1,2)
【答案】B
【解析】 sin 45°cs 15°＋cs 225°sin 165°＝sin 45°·cs 15°＋(－cs 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
2、知cs α＝－eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.－eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10) C.－eq \f(7\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)
【答案】 C
【解析】 ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，且cs α＝－eq \f(4,5)，∴sin α＝－eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
3（2022·福建三明·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】.
故选：A.
4、（2022·湖南·雅礼中学二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可得，
解得（舍去），或.
故选：A.
考向一 利用两角和(差)公式运用
例1、（1）（2022·福建·模拟预测）已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值
【详解】
因为，所以，
所以，所以.
故选：B
（2）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由任意三角形的定义求出，由两角差的正弦公式代入即可求出.
【详解】
因为角的终边过点，由任意三角形的定义知：，
.
故选：D.
变式1、（2022年湖南常德市高三模拟试卷）下列选项中，与的值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC
变式2、（1）若α＋β＝ eq \f(3π,4)，则(1－tan α)(1－tan β)＝ ．
【答案】 2
【解析】 因为tan eq \f(3π,4)＝tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝－1，所以tan αtan β－1＝tan α＋tan β，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1－tan α－tan β＋tan α·tan β＝2.
(2) 在△ABC中，tan A＋tan B＋ eq \r(3)＝ eq \r(3)tan Atan B，则C＝ ；
【答案】 eq \f(π,3)
【解析】 由已知，得tan A＋tan B＝ eq \r(3)(tan Atan B－1)，所以tan (A＋B)＝ eq \f(tan A＋tan B,1－tan A tan B)＝－ eq \r(3).又0变式3、（1）已知是第二象限角，且，，则____.
【答案】
【解析】由是第二象限角，且，可得，，
由，可得，代入，
可得，
故答案为：.
变式3、（2）已知sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值为( )
A.eq \f(1,3) B.－eq \f(1,3) C.eq \f(2\r(3),3) D.－eq \f(2\r(3),3)
【答案】 B
【解析】由sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋eq \f(1,3)，得sin α＝sin αcs eq \f(π,3)＋cs αsin eq \f(π,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(1,3)，则eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(1,2)sin α＝－eq \f(1,3)，即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(1,3)
方法总结：考查两角和差的三角函数．公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解．本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想．
考向二 二倍角公式的运用
例2、（2022年深圳市深圳中学高三模拟试卷）（多选题）下列各式的值等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】】，故错误
，故正确
，故正确
，故错误
综上所述，故选
变式1、(1) 化简： （ eq \f(1,tan \f(α,2))－tan eq \f(α,2)）·（1＋tan α·tan eq \f(α,2)）＝ ；
【答案】 eq \f(2,sin α)
【解析】 原式＝ eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs \f(α,2))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(sin α,cs α)·\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2))))
＝ eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs \f(α,2))· eq \f(cs αcs \f(α,2)＋sin αsin \f(α,2),cs αcs \f(α,2))＝ eq \f(2cs α,sin α)· eq \f(cs \f(α,2),cs αcs \f(α,2))＝ eq \f(2,sin α).
(2) 求证： eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan \f(α,2))＝ eq \f(1,4)sin 2α.
【解析】 左边＝ eq \f(cs2α,\f(cs\f(α,2),sin \f(α,2))－\f(sin \f(α,2),cs \f(α,2)))＝ eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs \f(α,2)))＝ eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs \f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))
＝ eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs \f(α,2),cs α)＝cs αsin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝ eq \f(1,2)sin αcs α＝ eq \f(1,4)sin 2α＝右边，
所以原式成立．
变式2、已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2))).
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－eq \f(1,tan α)的值．
【解析】(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,4)，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2).
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(4π,3)))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)，
∴ sin 2α＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))cseq \f(π,3)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))sineq \f(π,3)
＝－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2).
(2)∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))，
又由(1)知sin 2α＝eq \f(1,2)，∴cs 2α＝－eq \f(\r(3),2).
∴tan α－eq \f(1,tan α)＝eq \f(sin α,cs α)－eq \f(cs α,sin α)
＝eq \f(sin2α－cs2α,sin αcs α)＝eq \f(－2cs 2α,sin 2α)＝－2×eq \f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2eq \r(3).
变式3、（2022·江苏如皋·高三期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．－D．
【答案】B
【解析】
，
故选：B
方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用．三角函数式的化简要注意以下3点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．本题考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．
考向三 公式的综合运用
例3、化简：eq \f(（1＋sinθ＋csθ）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2))),\r(2＋2csθ))(0<θ<π)．
【解析】 由θ(0，π)，得00．
因此eq \r(2＋2csθ)＝eq \r(4cs2\f(θ,2))＝2cseq \f(θ,2)．
又(1＋sinθ＋csθ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(θ,2)cs\f(θ,2)＋2cs2\f(θ,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))
＝2cseq \f(θ,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(θ,2)－cs2\f(θ,2)))＝－2cseq \f(θ,2)csθ．
故原式＝eq \f(－2cs\f(θ,2)csθ,2cs\f(θ,2))＝－csθ．
变式1、（1）（2022·湖北江岸·高三期末）计算（ ）
A．1B．﹣1C．D．
【答案】B
【解析】
故选：B
（2）（2022·山东省淄博实验中学高三期末）______．
【答案】
【解析】因为 ．
故答案为：
变式2、（1）（2022年福建龙岩市高三模拟试卷）已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为，，其中，为锐角，故
所以：，故A正确；
因为，
所以
，故B错误；
可得，故C正确；
可得，所以，故D错误．
故选:AC
（2）（2023·江苏南通·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
所以，
所以
故选:B.
方法总结：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
1、（2022·福建·模拟预测）已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因为，所以，
所以，所以.
故选：B
2、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】
由于且，则有．
由得，，故，
故选：D．
3、（2022·广东湛江·二模）若，，则___________.
【答案】
【解析】
因为，，
所以，
故答案为：
4、（2022·广东韶关·一模）若，则__________.
【答案】
【解析】
因为，所以，所以，所以.
故答案为：
5、（2022年湖北宜昌市高三模拟试卷） （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】：
．
故选：．
6、（2022年湖北黄冈市高三模拟试卷）已知，，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
:∵，∴，∴，，
，而，
∴，选B.
7、（2021·山东青岛市·高三三模）若，则___________.
【答案】
【解析】因为，，
所以，
因为，所以，
所以
.
.
故答案为：.