2023红河哈尼族彝族自治州高一下学期期末数学试题含解析

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红河州2023年中小学学业质量监测高一数学（全卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数（其中i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（    ）．A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则化简复数，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】∵，∴，∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.故选：D．2. 已知集合，，则（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式、绝对值不等式的解法，及交集的定义进行求解即可.【详解】，∵，∴，∴.故选：C3. 已知平面向量，，其中，若，则（    ）．A.  B. 或C.  D. 或【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示得出，结合角的范围求解即可.【详解】,，，或，或，故选:B.4. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边落在直线上，则（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义，诱导公式及二倍角的正切公式可得答案.【详解】∵角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边落在直线上，∴，∴，故选：B．5. 函数的定义域为（    ）．A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.【详解】由题得，解得且.故选：A.6. 已知函数的一个零点为．要得到偶函数的图象，可将函数的图象（    ）．A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】首先代入，求的值，再化简函数，再结合平移规律，以及偶函数的性质，即可求解.【详解】，得，所以，若向左平移个单位得到函数，函数为偶函数，即，，得，，AC都不符合；若向右平移个单位得到函数，函数为偶函数，即，，得，，当时，，只有D成立.故选：D7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中且，，设，边上的两条中线分别为，，则（    ）．A.  B. 5 C. 3 D. 【答案】C【解析】【分析】结合正弦定理及两角和的正弦公式求得，利用向量的线性运算及数量积的运算得，求解即可.【详解】由结合正弦定理得，则，又，则，又，则..故选：C.8. 2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目．该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量N随时间t（单位：年）衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（    ）．（参考数据：，）A. 8037年 B. 8138年 C. 8237年 D. 8337年【答案】B【解析】【分析】由题意，，即，根据对数的运算性质求解即可.【详解】由题意，，即，∴，∴，故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京顺利召开．为迎接党的二十大召开，某完中举办了以“喜迎二十大，永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛．演讲比赛由11名高中学生和11名初中学生分别组成两个参赛组，将两组学生的得分情况绘制成如图所示的折线图，则下列说法正确的是（    ）．    A. 高中组得分分值的众数为70B. 高中组得分分值去掉一个最高分，去掉一个最低分后的平均得分为73C. 初中组得分分值的极差为33D. 初中组得分分值的方差小于高中组得分分值的方差【答案】AC【解析】【分析】根据众数的概念判断A；计算出平均数判断B；根据极差的定义判断C，根据方差的意义判断D.【详解】高中组得分分值依次为：72，75，70，68，70，76，75，80，81，70，77，则众数为70，故A正确；高中组得分分值去掉一个最高分，去掉一个最低分后分值为：72，75，70，70，76，75，80，70，77，平均得分为，故B错误；初中组得分分值的极差为，故C正确；初中组得分分值比高中组得分分值的波动性大，则初中组得分分值的方差大于高中组得分分值的方差，故D错误.故选：AC.10. 下列说法正确的是（    ）．A. 命题“，”的否定是“，”B. “”是“”成立的充分不必要条件C. 若，则D. 若，，则【答案】ACD【解析】【分析】根据全称量词命题的否定形式判断A；根据充分必要条件的定义，结合基本不等式与解分式不等式，即可判断B；利用作差法，判断CD.【详解】A.根据全称量词命题的否定形式可知，命题“，”的否定是“，”，故A正确；B.当时，，所以，当且仅当时，即时，等号成立，即充分性成立；反之，当时，则，所以，即，解得，即必要性成立；综上：所以“”是“”成立的充要条件，故B错误；C. ，因为，所以，，所以，故C正确；D. ，因为，，所以，即，故D正确.故选：ACD.11. 在棱长为2的正方体中，M，E，F分别为，，的中点，P为正方体表面上的一个动点，下列说法正确的是（    ）．A. 平面B. 平面截正方体所得的截面面积为C. 满足平行于平面的点P的轨迹总长度为D. 异面直线与所成角的正弦值为【答案】BCD【解析】【分析】由题意可得，四点共面，结合勾股定理可判断与不垂直，即可判断A；平面截正方体所得的截面，为等腰梯形，求出面积可判断B；取的中点，可证得平面平面，由题意知，满足平行于平面的点P的轨迹为等腰梯形，即可判断C；由可知为异面直线与所成的角，由余弦定理求解可判断D.【详解】连接，∵E，F分别为，的中点，∴，又，∴，四点共面，连接，∴，∵，∴与不垂直，∴与平面不垂直，故A错误；平面截正方体所得的截面，为等腰梯形，，梯形的高为，截面面积为，故B正确；取的中点，∴，又，∴，四点共面，∵平面，平面，∴平面，同理，平面，又，平面，∴平面平面，由题意知，满足平行于平面的点P的轨迹为等腰梯形，，则点P的轨迹总长度为，故C正确；∵，∴为异面直线与所成的角，，由余弦定理得，，则，即异面直线与所成角的正弦值为，故D正确．故选：BCD．12. 函数的定义域为R，为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（    ）．A. 在上单调递增B. C. 若关于x的方程在区间上的所有实数根之和为，则D. 函数有2个零点【答案】BD【解析】【分析】先根据题干中的轴对称，点对称的条件可以推出周期性，奇偶性，A选项根据奇偶函数的性质结合周期性判断，B选项，由于函数的周期性可将待求表达式分组求和，CD选项需借助画出的图像，数形结合来处理.【详解】由于为偶函数，则关于对称，则，故，结合可得，，用取代，得到，用取代，得到，于是的周期为，由可得，结合可得，故为奇函数.A选项，根据幂函数的性质，在上递增，根据奇函数性质，在上递增，又关于对称，则在上递减，又的周期为，故在上递减，A选项错误；B选项，奇函数的定义域为，故，由于的周期为，故，由，取得到，取，得到，故，由于的周期为，故C选项，先作出在上的图像，若时，横坐标交点之和为，若时，横坐标交点之和为若，根据的对称性可得，交点的横坐标之和为，故，除了交点之外，根据对称性，其余四个点的横坐标之和为：，设的横坐标为，则，解得，当时，，，根据周期性，，C选项错误；D选项，在同一坐标系下作出和的图像如下，由图像可知有两个交点，故有2个零点，D选项正确.故选：BD【点睛】本题综合考察了幂函数的性质，抽象函数中，点对称，轴对称，周期性，奇偶性的推导，由此可作出函数图像，数形结合是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若为偶函数，则实数__________．【答案】3【解析】【分析】根据偶函数的定义求解即可.【详解】若为偶函数，则，即，∴，∴，∴，∴，∴，即，当时，，定义域，关于原点不对称，不符合，舍去，当时，，定义域或，关于原点对称，符合，综上，.故答案为：3.14. 如图所示的电路中，电器元件，，正常工作的概率分别为，，，则此电路不发生故障的概率为__________．  【答案】【解析】【分析】电路不发生故障，则需电器元件正常工作且电器元件，至少有一个能正常工作，然后求解即可．【详解】电器元件，至少有一个能正常工作的概率为，此电路不发生故障的概率为，故答案为：．15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知条件：①，，；②，，．由条件①与条件②分别计算得到角B的解的个数为m，n，且正数x，y满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理找到①②两组情况的角B分别有两个解和一个解，所以，再由代“1”法，利用基本不等式求解.详解】①由正弦定理，，故满足条件的B角有两个，一个钝角一个锐角，角B有两个解；②由正弦定理，，所以，只有一个解；故，当且仅当时取到等号，故答案为：.16. 现有一个高为2的三棱锥被一个平行于底面的平面截去一个高为1的三棱锥，得到棱台．已知，，，则该棱台的外接球体积为__________．【答案】【解析】【分析】由余弦定理得，由正弦定理得外接圆的半径，进而得外接圆的半径，根据球心与棱台上下底面的位置关系讨论，列出关于外接球半径的方程，求出，进而得出答案.【详解】由题意，，且，设外接圆的圆心分别为，半径分别为，则，，，，由余弦定理得，，则，由正弦定理得，∴，设棱台的外接球球心为，半径为，若球心在棱台上下底面之间时，在直角中，，∴，在直角中，，∴，∵，∴，此方程无解；若球心不在棱台上下底面之间时，在直角中，，∴，在直角中，，∴，∵，∴，解得，则该棱台的外接球体积为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知函数，．（1）求的值；（2）从下列问题中选1个作答．①，定义，求的解析式并写出的最小值；②，定义，求解析式并写出的最大值．【答案】（1）    （2）若选择①，的最小值为2，若选择②，的最大值为2.【解析】【分析】（1）先计算，再代入求值；（2）不管选择①还是②，均先写出函数的解析式，根据函数的单调性，判断函数的最值.【小问1详解】，；【小问2详解】若选择①，函数的定义域是，单调递增，在上单调递减，并且，所以当时，，当时，，所以，函数在区间上单调递减，在区间单调递增，所以函数的最小值为；若选择②，，函数在区间上单调递增，在区间单调递减，所以函数的最大值为；18. 在中，，，点D在上，满足．（1）若的面积为，求；（2）若，求的面积．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）首先根据面积公式求，再根据余弦定理求；（2）首先表示向量，再平方后求，根据面积公式，即可求解.【小问1详解】三角形的面积，所以，根据余弦定理，，所以【小问2详解】，即，所以，整理为：，得或（舍），所以，.19. 每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．A校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了n名学生，发现这些学生的课外日均阅读时间（单位：分钟）均在．根据这n名学生的课外日均阅读时间，将样本数据分组为：，，，，，，并绘制出如下频率分布表．分组频数频率4100.146a204 （1）求n，的值；（2）若采用分层随机抽样的方法从课外日均阅读时间为，，的学生中抽取10人，再从抽取的10名学生中随机抽取1名学生进行阅读经验分享，求抽到做阅读经验分享的学生的课外日均阅读时间不少于80分钟的概率；（3）现从这n名学生中评出课外日均阅读时间较长的10人为“阅读达人”，请算出要成为“阅读达人”至少需要的课外日均阅读时间．【答案】（1）100，016    （2）    （3）94分钟【解析】【分析】（1）根据频率与频数的关系求解n，的值；（2）根据分层抽样的定义求出日均阅读时间在，，的人数分别为，再利用古典概型概率公式求解即可；（3）先判断“阅读达人”至少需要的课外日均阅读时间在内，再结合比例关系列方程求解即可.【小问1详解】因为数据在内的频数为10，频率为0.1，所以，则，所以；【小问2详解】因为课外日均阅读时间在，，的学生比例为，所以采用分层随机抽样的方法从课外日均阅读时间为，，的学生中抽取10人，日均阅读时间在，，的人数分别为，则课外日均阅读时间不少于80分钟的人数为6人，抽到做阅读经验分享的学生的课外日均阅读时间不少于80分钟的概率为；【小问3详解】这n名学生中评出课外日均阅读时间较长的10人为阅读达人，日均阅读时间在的学生人数为4人，再从日均阅读时间在的学生中选出6个阅读时间较长的人即可，设6个人中阅读时间最短的是分钟，则，所以成为“阅读达人”至少需要的课外日均阅读时间至少94分钟.20. 函数的相邻两条对称轴之间的距离为，且．（1）求的单调递减区间；（2）当时，方程有解，求实数a的取值范围．【答案】（1），；    （2）.【解析】【分析】（1）根据周期求，再代入，求，然后利用三角函数的性质即得；（2）参变分离后，转化为求函数在时，求函数的值域.【小问1详解】由题意可知，函数的周期，得，所以，，得，所以，令，解得：，；所以函数的单调递减区间是，，【小问2详解】方程有解，即，，，所以，所以实数的取值范围是.21. 如图，四棱锥中，底面为菱形，且，，G为的中点，在方向上的投影向量为．  （1）求证：；（2）若，，求点C到平面的距离．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）连接，推导出，从而平面PGB，由此能证明；（2）利用勾股定理推导出，从而平面ABCD，设点C到平面PBD的距离为h，进而由求出点C到平面PBD的距离．【小问1详解】连接PG，BG，BD，  G为的中点，在方向上的投影向量为，，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且，为等边三角形，又G为的中点，，，平面，平面，平面，．【小问2详解】，，为等边三角形，，，，平面ABCD，平面ABCD，设点到平面PBD的距离为，,，点到平面PBD的距离为22. 某商场经营一批商品，在市场销售中发现A，B两种商品的销售单价与日销售利润的关系如下：①A商品的销售单价x（单位：元）与其日销售利润（单位：元）之间有如下表所示的关系：x…20355080……2015100…②B商品的销售单价x（单位：元）与其日销售利润（单位：元）的关系近似满足．  （1）根据①中表格提供的数据在直角坐标系中描出对应的点，根据画出的点猜想与x之间的函数关系，并写出一个函数解析式；（2）由（1）中的，计算函数取最大值时x的值．【答案】（1）描点见解析，猜想与x之间的函数关系是一次函数关系，    （2）当时，.【解析】【分析】（1）根据①中表格提供的数据在直角坐标系中描出对应的点，猜想与x之间的函数关系是一次函数关系，设，代入数据计算得到答案；（2），分段讨论去掉绝对值，根据基本不等式与函数的单调性得到最值.【小问1详解】根据①中表格提供的数据在直角坐标系中描出对应的点，如图，  如图，猜想与x之间的函数关系是一次函数关系，设,将代入得，解得，故.【小问2详解】，当时，，当且仅当时取等号，此时；当时，，因为均是减函数，所以是减函数，当时，；综上，当元时，元.