云南省红河哈尼族彝族自治州2022_2023学年高一数学下学期期末学业质量监测试题含解析

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数（其中i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）．
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的运算法则化简复数，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】∵，∴，
∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D．
2. 已知集合，，则（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式、绝对值不等式的解法，及交集的定义进行求解即可.
【详解】，
∵，
∴，
∴.
故选：C
3. 已知平面向量，，其中，若，则（）．
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示得出，结合角的范围求解即可.
【详解】,
，
，
或，
或，
故选:B.
4. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边落在直线上，则（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的定义，诱导公式及二倍角的正切公式可得答案.
【详解】∵角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边落在直线上，
∴，
∴，
故选：B．
5. 函数的定义域为（）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.
【详解】由题得，解得且.
故选：A.
6. 已知函数的一个零点为．要得到偶函数的图象，可将函数的图象（）．
A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】首先代入，求的值，再化简函数，再结合平移规律，以及偶函数的性质，即可求解.
【详解】，得，
所以，
若向左平移个单位得到函数，函数为偶函数，
即，，得，，AC都不符合；
若向右平移个单位得到函数，函数为偶函数，
即，，得，，当时，，只有D成立.
故选：D
7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中且，，设，边上的两条中线分别为，，则（）．
A. B. 5C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合正弦定理及两角和的正弦公式求得，利用向量的线性运算及数量积的运算得，求解即可.
【详解】由结合正弦定理得，
则，又，
则，又，则.
.
故选：C.
8. 2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目．该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量N随时间t（单位：年）衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（）．（参考数据：，）
A. 8037年B. 8138年C. 8237年D. 8337年
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，，即，根据对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意，，即，
∴，∴，
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京顺利召开．为迎接党的二十大召开，某完中举办了以“喜迎二十大，永远跟党走，奋进新征程”为主题的演讲比赛．演讲比赛由11名高中学生和11名初中学生分别组成两个参赛组，将两组学生的得分情况绘制成如图所示的折线图，则下列说法正确的是（）．
A. 高中组得分分值的众数为70
B. 高中组得分分值去掉一个最高分，去掉一个最低分后的平均得分为73
C. 初中组得分分值的极差为33
D. 初中组得分分值的方差小于高中组得分分值的方差
【答案】AC
【解析】
【分析】根据众数的概念判断A；计算出平均数判断B；根据极差的定义判断C，根据方差的意义判断D.
【详解】高中组得分分值依次为：72，75，70，68，70，76，75，80，81，70，77，则众数为70，故A正确；
高中组得分分值去掉一个最高分，去掉一个最低分后分值为：72，75，70，70，76，75，80，70，77，
平均得分为，故B错误；
初中组得分分值的极差为，故C正确；
初中组得分分值比高中组得分分值的波动性大，则初中组得分分值的方差大于高中组得分分值的方差，故D错误.
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（）．
A. 命题“，”的否定是“，”
B. “”是“”成立的充分不必要条件
C. 若，则
D. 若，，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定形式判断A；根据充分必要条件的定义，结合基本不等式与解分式不等式，即可判断B；利用作差法，判断CD.
【详解】A.根据全称量词命题的否定形式可知，命题“，”的否定是“，”，故A正确；
B.当时，，所以，
当且仅当时，即时，等号成立，即充分性成立；
反之，当时，则，
所以，即，解得，即必要性成立；
综上：所以“”是“”成立的充要条件，故B错误；
C. ，
因为，所以，，
所以，故C正确；
D. ，
因为，，所以，
即，故D正确.
故选：ACD.
11. 在棱长为2的正方体中，M，E，F分别为，，的中点，P为正方体表面上的一个动点，下列说法正确的是（）．
A. 平面
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 满足平行于平面的点P的轨迹总长度为
D. 异面直线与所成角的正弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意可得，四点共面，结合勾股定理可判断与不垂直，即可判断A；平面截正方体所得的截面，为等腰梯形，求出面积可判断B；取的中点，可证得平面平面，由题意知，满足平行于平面的点P的轨迹为等腰梯形，即可判断C；由可知为异面直线与所成的角，由余弦定理求解可判断D.
【详解】连接，
∵E，F分别为，的中点，∴，
又，∴，四点共面，
连接，
∴，
∵，∴与不垂直，∴与平面不垂直，故A错误；
平面截正方体所得的截面，为等腰梯形，
，梯形的高为，
截面面积为，故B正确；
取的中点，∴，
又，∴，四点共面，
∵平面，平面，∴平面，
同理，平面，又，平面，
∴平面平面，
由题意知，满足平行于平面的点P的轨迹为等腰梯形，
，
则点P的轨迹总长度为，故C正确；
∵，∴为异面直线与所成的角，
，
由余弦定理得，，则，
即异面直线与所成角的正弦值为，故D正确．
故选：BCD．
12. 函数的定义域为R，为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（）．
A. 在上单调递增
B.
C. 若关于x的方程在区间上的所有实数根之和为，则
D. 函数有2个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】先根据题干中的轴对称，点对称的条件可以推出周期性，奇偶性，A选项根据奇偶函数的性质结合周期性判断，B选项，由于函数的周期性可将待求表达式分组求和，CD选项需借助画出的图像，数形结合来处理.
【详解】由于为偶函数，则关于对称，则，故，
结合可得，，用取代，得到，
用取代，得到，于是的周期为，
由可得，结合可得，故为奇函数.
A选项，根据幂函数的性质，在上递增，根据奇函数性质，在上递增，
又关于对称，则在上递减，又的周期为，故在上递减，A选项错误；
B选项，奇函数的定义域为，故，由于的周期为，故，
由，取得到，取，得到，
故，由于的周期为，故
C选项，先作出在上的图像，
若时，横坐标交点之和为，
若时，横坐标交点之和为
若，根据的对称性可得，交点的横坐标之和为，
故，除了交点之外，根据对称性，其余四个点的横坐标之和为：，
设的横坐标为，则，解得，当时，，，
根据周期性，，C选项错误；
D选项，在同一坐标系下作出和的图像如下，由图像可知有两个交点，故有2个零点，D选项正确.
故选：BD
【点睛】本题综合考察了幂函数的性质，抽象函数中，点对称，轴对称，周期性，奇偶性的推导，由此可作出函数图像，数形结合是解题的关键.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若为偶函数，则实数__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据偶函数的定义求解即可.
【详解】若为偶函数，
则，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
当时，，定义域，关于原点不对称，不符合，舍去，
当时，，定义域或，关于原点对称，符合，
综上，.
故答案为：3.
14. 如图所示的电路中，电器元件，，正常工作的概率分别为，，，则此电路不发生故障的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】电路不发生故障，则需电器元件正常工作且电器元件，至少有一个能正常工作，然后求解即可．
【详解】电器元件，至少有一个能正常工作的概率为，
此电路不发生故障的概率为，
故答案为：．
15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知条件：①，，；②，，．由条件①与条件②分别计算得到角B的解的个数为m，n，且正数x，y满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理找到①②两组情况的角B分别有两个解和一个解，所以，再由代“1”法，利用基本不等式求解.
详解】①由正弦定理，，
故满足条件的B角有两个，一个钝角一个锐角，角B有两个解；
②由正弦定理，，所以，只有一个解；
故，
当且仅当时取到等号，
故答案为：.
16. 现有一个高为2的三棱锥被一个平行于底面的平面截去一个高为1的三棱锥，得到棱台．已知，，，则该棱台的外接球体积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理得，由正弦定理得外接圆的半径，进而得外接圆的半径，根据球心与棱台上下底面的位置关系讨论，列出关于外接球半径的方程，求出，进而得出答案.
【详解】由题意，，且，
设外接圆的圆心分别为，半径分别为，则，
，，，
由余弦定理得，，则，
由正弦定理得，∴，
设棱台的外接球球心为，半径为，
若球心在棱台上下底面之间时，
在直角中，，∴，
在直角中，，∴，
∵，∴，此方程无解；
若球心不在棱台上下底面之间时，
在直角中，，∴，
在直角中，，∴，
∵，∴，解得，
则该棱台的外接球体积为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数，．
（1）求的值；
（2）从下列问题中选1个作答．
①，定义，求的解析式并写出的最小值；
②，定义，求解析式并写出的最大值．
【答案】（1）
（2）若选择①，的最小值为2，若选择②，的最大值为2.
【解析】
【分析】（1）先计算，再代入求值；
（2）不管选择①还是②，均先写出函数的解析式，根据函数的单调性，判断函数的最值.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
若选择①，函数的定义域是，单调递增，
在上单调递减，并且，
所以当时，，当时，，
所以，
函数在区间上单调递减，在区间单调递增，
所以函数的最小值为；
若选择②，，
函数在区间上单调递增，在区间单调递减，
所以函数的最大值为；
18. 在中，，，点D在上，满足．
（1）若的面积为，求；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据面积公式求，再根据余弦定理求；
（2）首先表示向量，再平方后求，根据面积公式，即可求解.
【小问1详解】
三角形的面积，
所以，
根据余弦定理，
，
所以
【小问2详解】
，
即，
所以
，
整理为：，得或（舍），
所以，
.
19. 每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．A校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了n名学生，发现这些学生的课外日均阅读时间（单位：分钟）均在．根据这n名学生的课外日均阅读时间，将样本数据分组为：，，，，，，并绘制出如下频率分布表．
（1）求n，的值；
（2）若采用分层随机抽样的方法从课外日均阅读时间为，，的学生中抽取10人，再从抽取的10名学生中随机抽取1名学生进行阅读经验分享，求抽到做阅读经验分享的学生的课外日均阅读时间不少于80分钟的概率；
（3）现从这n名学生中评出课外日均阅读时间较长的10人为“阅读达人”，请算出要成为“阅读达人”至少需要的课外日均阅读时间．
【答案】（1）100，016
（2）
（3）94分钟
【解析】
【分析】（1）根据频率与频数的关系求解n，的值；
（2）根据分层抽样的定义求出日均阅读时间在，，的人数分别为，再利用古典概型概率公式求解即可；
（3）先判断“阅读达人”至少需要的课外日均阅读时间在内，再结合比例关系列方程求解即可.
【小问1详解】
因为数据在内的频数为10，频率为0.1，所以，
则，
所以；
【小问2详解】
因为课外日均阅读时间在，，的学生比例为，
所以采用分层随机抽样的方法从课外日均阅读时间为，，的学生中抽取10人，
日均阅读时间在，，的人数分别为，则课外日均阅读时间不少于80分钟的人数为6人，
抽到做阅读经验分享的学生的课外日均阅读时间不少于80分钟的概率为；
【小问3详解】
这n名学生中评出课外日均阅读时间较长的10人为阅读达人，日均阅读时间在的学生人数为4人，
再从日均阅读时间在的学生中选出6个阅读时间较长的人即可，
设6个人中阅读时间最短的是分钟，则，
所以成为“阅读达人”至少需要的课外日均阅读时间至少94分钟.
20. 函数的相邻两条对称轴之间的距离为，且．
（1）求的单调递减区间；
（2）当时，方程有解，求实数a的取值范围．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据周期求，再代入，求，然后利用三角函数的性质即得；
（2）参变分离后，转化为求函数在时，求函数的值域.
【小问1详解】
由题意可知，函数的周期，得，
所以，，得，
所以，
令，解得：，；
所以函数的单调递减区间是，，
【小问2详解】
方程有解，即，，
，所以，
所以实数的取值范围是.
21. 如图，四棱锥中，底面为菱形，且，，G为的中点，在方向上的投影向量为．
（1）求证：；
（2）若，，求点C到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，推导出，从而平面PGB，由此能证明；
（2）利用勾股定理推导出，从而平面ABCD，设点C到平面PBD的距离为h，进而由求出点C到平面PBD的距离．
【小问1详解】
连接PG，BG，BD，
G为的中点，在方向上的投影向量为，
，
在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且，
为等边三角形，又G为的中点，，
，平面，平面，
平面，．
【小问2详解】
，，为等边三角形，，
，
，
平面ABCD，平面ABCD，
设点到平面PBD的距离为，
,
，
点到平面PBD的距离为
22. 某商场经营一批商品，在市场销售中发现A，B两种商品的销售单价与日销售利润的关系如下：
①A商品的销售单价x（单位：元）与其日销售利润（单位：元）之间有如下表所示的关系：
②B商品的销售单价x（单位：元）与其日销售利润（单位：元）的关系近似满足．
（1）根据①中表格提供的数据在直角坐标系中描出对应的点，根据画出的点猜想与x之间的函数关系，并写出一个函数解析式；
（2）由（1）中的，计算函数取最大值时x的值．
【答案】（1）描点见解析，猜想与x之间的函数关系是一次函数关系，
（2）当时，.
【解析】
【分析】（1）根据①中表格提供的数据在直角坐标系中描出对应的点，猜想与x之间的函数关系是一次函数关系，设，代入数据计算得到答案；
（2），分段讨论去掉绝对值，根据基本不等式与函数的单调性得到最值.
【小问1详解】
根据①中表格提供的数据在直角坐标系中描出对应的点，如图，
如图，猜想与x之间的函数关系是一次函数关系，设,
将代入得，解得，
故.
【小问2详解】
，
当时，，
当且仅当时取等号，此时；
当时，，
因为均是减函数，所以是减函数，
当时，；
综上，当元时，元.
分组
频数
频率
4
10
0.1
46
a
20
4
x
…
20
35
50
80
…
…
20
15
10
0
…