2023绍兴高一下学期期末数学试题含解析

2022学年第二学期高中期末调测

高一数学

注意事项：

1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.

2.全卷满分100分，考试时间120分钟.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知复数在复平面内对应的点是，则（    ）

A  B.  C.  D.

2. 某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知向量，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知m，n是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（    ）

A. 若，，则 B. 若，，则

C. 若，，则 D. 若，，则

5. 抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件： “正面向上的硬币数为i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（    ）

A. 与B相互独立 B. 与B对立

C.  D.

6. 轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧的中点，则异面直线PB与AC所成角的大小为（    ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

7. 已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，P是棱上的一个动点，若，，则三棱锥外接球的表面积是（    ）

A. 144π B. 36π C. 9π D. 6π

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分）

9. 下列等式成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 5月21日，2023世界珍珠发展论坛在浙江诸暨举办，大会见证了诸暨珍珠开拓创新、追求卓越的坚实步伐.据统计，今年以来，诸暨珍珠线上线下销售总额达250亿元，已超去年全年的60%，真正实现了“生于乡间小湖，远销五洲四海”.某珍珠商户销售A，B，C，D四款珍珠商品，今年第一季度比去年第一季度营收实现翻番，现统计这四款商品的营收占比，得到如下饼图.同比第一季度，下列说法正确的是（    ）

A. 今年商品A的营收是去年的4倍

B. 今年商品B的营收是去年的2倍

C. 今年商品C营收比去年减少

D. 今年商品B，D营收的总和与去年相比占总营收的比例不变

11. 如图，在边长为的正方形中，为的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且二面角为.若、分别为、的中点，则（    ）

A.  B. 平面

C. 平面平面 D. 点到平面的距离为

12. 在中，D为BC的中点，点E满足.若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13. 函数的最小正周期是_____________.

14. 某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为_____________米.

15. 已知一组样本数据，，，，的方差为5，且满足，则样本数据的方差为____________.

16. 直三棱柱中，，，、分别为线段、的动点，则周长的最小值是____________.

四、解答题（本大题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 记、、平面单位向量，且.

（1）求；

（2）若，求.

18. 在正方体中，棱长为3，是上底面的一个动点.

（1）求三棱锥的体积；

（2）当是上底面的中心时，求与平面ABCD所成角的余弦值.

19. 为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，，，点E为BC上一点，且，过点D作于点F，设，.

（1）利用图中边长关系，证明：；

（2）若，求.

20. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如下频率分布直方图.

（1）求值，并估计这80名候选者面试成绩平均值，众数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1）

（2）乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率.

21. 如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，.

（1）已知，且

（i）当时，求的面积；

（ii）若，求.

（2）已知，且，求AC的最大值.

22. 如图，在正三棱台中，，D，E分别为，的中点.

（1）证明：平面；

（2）设P，Q分别为棱AB，BC上的点，且，D，P，Q均在平面上，若与的面积比为3:8，

（i）证明：

（ii）求与平面所成角的正弦值.