2023年浙江省温州市鹿城区绣山中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年浙江省温州市鹿城区绣山中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在一个不透明的袋中装有个只有颜色不同的球，其中个白球、个黄球和个红球从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在平行四边形中，为上一点，连结，，已知，，记，则用的代数式表示的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  图是一种落地晾衣架，晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图所示，和分别是两根不同长度的支撑杆，其中两支脚，展开角，晾衣臂，则支撑杆的端点离地面的高度为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法项正确的是(    )

A. 若，函数有最大值 B. 若，函数有最小值
C. 若，函数有最小值 D. 若，函数无最大值

10.  如图，在矩形中，，延长至点，使得，以为直径的半圆交延长线于点欧几里得在几何原本中利用该图得到结论：矩形的面积等于的平方即现连结并延长交于点，若，则与矩形的面积之比为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  分解因式：______．

12.  甲、乙两名学生次立定跳远成绩的平均数相同，若甲次立定跳远成绩的方差为，乙次立定跳远成绩的方差为，则甲、乙两名学生次立定跳远成绩比较稳定的是______ 填“甲”或“乙”

13.  不等式组的解为______ ．

14.  如图，正五边形内接于，点在上，则______度．

15.  如图，菱形的边在轴，点在第一象限，且，将这个菱形向右平移个单位得到菱形点和对应若反比例函数的图象恰好经过点，，则的值为______ ．

16.  如图，将一张等腰三角形纸片沿虚线剪开，得到两个全等的三角形和两个全等的四边形小纸片小博按图方式拼接，恰好拼成一个不重叠、无缝隙的矩形；小雅按图方式拼接，也拼出一个矩形，但由于两个四边形纸片有重叠阴影部分，整个面积减少了若：：，则 ______ ，矩形的面积为______ ．

 

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．
化简：．

18.  本小题分
如图，在中，，是的平分线，于点，．
证明：≌．
求的度数．

19.  本小题分
如图，在的方格纸中，请按要求画格点三角形顶点在格点上．
在图中画格点三角形，使其中一个内角为．
在图中画格点直角三角形，使是其一边上的中线．

 

20.  本小题分
今年体育中考后，某校王老师对本校同时报考篮球与排球的全体男学生的单项成绩进行了统计，数据整理如下：

填写下表格．

结合学过的统计量，请你评价该校同时报考篮球与排球的全体男生的单项成绩，哪个项目成绩更好？

21.  本小题分
已知抛物线经过点．
求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
抛物线与轴的另一交点为，将线段向上平移个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点，点在点左侧，若，求的值．

22.  本小题分
如图，在中，为上一点，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，且为的中点，连结，，过点作交于点．
求证：四边形为平行四边形．
若为中点，，求半圆的半径．

23.  本小题分
根据以下素材，探索完成任务：

24.  本小题分
如图，在四边形中，，点，分别在边和边上，，点在上从点匀速运动到点时，点恰好从上某一点匀速运动到点，记，，已知．
求证：．
求的长与的值．
连结．
当直线与一边垂直时，求所有满足条件的的值．
线段绕点顺时针旋转得到线段，当点恰好落在上时，求和的面积比．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意知，该几何体的主视图为，
故选：．
根据三视图的知识得出结论即可．
本题主要考查简单组合体的三视图的知识，熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可求出值．
【解答】
解：原式，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：袋子中共有个小球，其中黄球有个，
摸出一个球是黄球的概率是．
故选：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

5.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面积，
故选：．
根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式，最后对各选项进行判断即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
结合选项只有符合，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，利用平行线的性质和三角形内角和定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
在中，，
故选：．
根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据正弦的定义可得答案．
此题考查的是解直角三角形的应用，掌握等腰三角形的性质及正弦的定义是解决此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，
A、若，在的取值范围内，当时，函数有最大值大于，故选项A错误，不合题意；
B、若，在的取值范围内，当时，函数有最小值，故选项B错误，不合题意；
C、若，在的取值范围内，当时，函数有最小值，故选项C正确，符合题意；
D、若，在的取值范围内，当时，函数有最大值，故选项D错误，不合题意．
故选：．
把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
∽，
，
，
，
设，，，，
，，
，
，
矩形的面积，
，
，
的面积，矩形的面积，
与矩形的面积之比．
故选：．
由矩形的性质得到，因此∽，推出，令，，，，得到，，，由矩形的面积，得到，由三角形、矩形面积公式，即可求解．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由∽，得到，应用矩形的面积，即可解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的倍，本题可用完全平方公式分解因式．
本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．
 

12.【答案】乙 

【解析】解：，，
，
甲、乙两名学生次立定跳远成绩的平均数相同，
甲、乙两名学生次立定跳远成绩比较稳定的是乙，
故答案为：乙．
根据方差的意义可直接求解．
此题主要考查了方差，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

13.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，．
五边形是正五边形，
，
，
故答案为：．
连接，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长交轴于点，过点作轴，垂足为，
，，
≌，
．
，
，
．
设菱形的边长为，则，
点的坐标为，
菱形向右平移个单位得到菱形，
，
的图象恰好经过点，，
，
解得：．
．
故答案为：．
设菱形的边长为，利用含有的直角三角形，用的代数式表示出点、、的坐标，利用点、的坐标之积相等列出关于的方程，最后求出值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积等于常数值．
 

16.【答案】  

【解析】解：设图中的水平虚线与交于，与交于，如图：

依题意得：为等腰三角形底边上的高，，
：：，
：：，
∽，
：：：，
设，，
由图可知：，
在中，，，
由勾股定理的：，
，
在图中，，，，
：：：，
，，
对比图和图得：，，，
，
对比图和图得：，，，
，
，
，
即：，
整理得：，
，
，
，，
．
故答案为：，．
设图中的水平虚线与交于，与交于，先证和相似得：：：，设，，由图可知，进而得，据此可得的值；先由，，得，，对比图和图得，，，，再对比图和图得，，，，然后根据列出关于的方程，解方程求出即可得出矩形的面积．
此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义等，熟练掌握等腰三角形个矩形的性质，相似三角形的判定方法，准确地找出原图与拼成的矩形之间的相等线段是解答此题的关键，也是解答此题的难点和易错点．
 

17.【答案】解：

；


． 

【解析】先算负整数指数幂，二次根式的化简，零指数幂，绝对值，再算加减即可；
利用分式的减法的法则进行运算即可．
本题主要考查分式的加减法，实数的运算，解答的关键是对相应的运算的掌握．
 

18.【答案】证明：，
，
是的平分线，，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
是的平分线，
，
，
，
，
的度数为． 

【解析】根据角平分线的性质可得，然后利用即可得≌；
结合证明，再根据直角三角形内角和定理即可求的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图：

即为所求；
即为所求． 

【解析】根据网格线的特点及等腰三角形的性质作图；
根据网格线的特点、直角三角形的性质及中线的意义作图；
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及勾股定理是截图的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：篮球项目的平均数为：分，中位数为分；
排球项目的平均数为：分，
故答案为：，，；
篮球项目成绩更好，理由如下：
因为篮球项目的平均数比排球项目的平均数高，满分人数也比排球项目多，所以篮球项目成绩更好．
分别根据加权平均数的计算公式以及中位数的定义解答即可；
比较平均数、中位数以及满分人数即可．
本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：抛物线经过点，
，
解得，
，
该抛物线的顶点坐标为，
即抛物线的函数表达式是，顶点坐标为；
由知：，
该抛物线的对称轴为直线，
抛物线经过点，抛物线与轴的另一交点为，
点的坐标为，
，
将线段向上平移个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点，点在点左侧，，
，
点的横坐标为，
点的纵坐标，
，
即的值为． 

【解析】根据抛物线经过点，可以求得的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标；
根据中的抛物线解析式，可以得到该抛物线的对称轴，从而可以得到点的坐标，进而求得的值，然后即可得到的值，即可写出点的横坐标，再代入抛物线解析式，求出相应的的值，此时的值就是的值．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

22.【答案】证明：连接，，
与相切，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
四边形为平行四边形；
解：如图，设与交于，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
为中点，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
设，
则，
，
，
，
，
，
，
，
解得负值舍去，
半圆的半径为． 

【解析】连接，，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；如图，设与交于，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据垂径定理得到，得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，垂径定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：人先下单，三种团购优惠方案的条件均不满足，
设这人中选择套餐的有人，
，
则选则套餐的有人，，
，
，
．
答：选择套餐的有人，选择套餐的有人．
两种套餐皆可的人中有人选择套餐，
当套餐人数不少于人时，，
，
则选择套餐人数为，不满足优惠方案二的条件，
订餐总费用为：；
两种套餐皆可的人中有人选择套餐，
当时，由得：，
，
随的增大而增大，
当时总费用最小为元，
当时，，，
订餐总费用，
，
随的增大而增大，
时，最小为元，
若选择优惠方案三，订餐总费用为，
总费用满元立减元，
当时，订餐费用最小为元．
综上所述，当订购套餐份，订购套餐份时，订餐总费用最低元． 

【解析】根据题意列出方程，进而求解；
根据题意列出一次函数，求出解析式，进而求出总费用；
分情况进行计算，最后进行比较，求出最小值．
本题主要考查了一次函数的综合运用，有一定的难度．
 

24.【答案】证明：，，，
≌，
，
，
，
，
．

解：令，得，
，
由得≌，
，
，
，
，，
，，
，
．

解：如图，当时，

，
，
，
，
≌，
，即，
，
；
(ⅱ)如图，当时，作，

，，
，
，
，，
，
∽，
，即，
，
．
由图可知，不可能垂直，
综上所述，当或时，直线与一边垂直；
如图，作于点，于点，于点，

根据题意可得，
由可得，，，
，，
，
，，
≌，
，
．
，
，
，
，
． 

【解析】通过证明≌得到，再由三角形内角和定理可得，即可得证；
令，得，可得，由得≌，得到，由勾股定理可得，从而可得，根据等角的余角相等可得，即，即可得到答案；
分两种情况：当时，当时，分别讨论求解即可得到答案；作于点，于点，于点，通过证明≌，以及解直角三角形，进行计算即可得到答案．
本题主要考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、解直角三角形、勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题．