福建省福州部分学校教学联盟2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份福建省福州部分学校教学联盟2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年第一学期福州市部分学校教学联盟九年级暑假开学考试数学
（数学试卷共4页，25小题；完卷时间：120分钟；满分：150分）
友情提示：请将所有答案填涂在答题卡的相应位置上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A. B. C. D. ≤-1
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题．
2. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”
根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.
故选：B.

3. 下列对于一次函数的描述错误的是（ ）
A. y随x的增大而减小 B. 图像经过点
C. 图像与直线相交 D. 图像可由直线向上平移2个单位得到
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的性质，一次函数上的点以及交点，一次函数的平移分别判断即可．
【详解】解：A、∵-3＜0，∴y随x的增大而减小，故选项正确，不合题意；
B、当x=2时，y=-3×2+2=-4，则图像经过点，故选项错误，符合题意；
C、令-3x+2=3x，则x=，则图像与直线相交，故选项正确，不合题意；
D、图像可由直线向上平移2个单位得到，故选项正确，不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数上的点以及交点，一次函数的平移，属于一次函数基本知识．
4. 初二年级位同学参加学校举行的诗歌朗诵比赛，其成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛，小东已知自己的成绩，想判断能否进入决赛，还需知道这位同学成绩的（ ）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数的定义判定即可．
【详解】参加歌唱比赛的位同学成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛，小东要知道自己是否进入决赛，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较，所以需知道位同学成绩的中位数是多少．
故选：C．
【点睛】此题主要考查数据集中趋势中的平均数、众数、中位数以及方差在实际问题中的正确应用，解题的关键是中位数在生活中的应用．
5. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：A．中未知数的指数不是2，故不是一元二次方程，不符合题意；
B．中含有2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意；
C．，该方程是分式方程，故本选项不合题意；
D、，该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
6. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ）
A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人
【答案】C
【解析】
【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为C.
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
7. 对于抛物线，下列判断正确的是(    )
A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是
C. 对称轴为直线 D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论．
【详解】解：A、∵，∴抛物线的开口向下，本选项错误，
B、抛物线的顶点为，本选项错误，
C、抛物线的对称轴为：，本选项正确，
D、把代入，解得：，本选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论．
8. 如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在直线BC上，则旋转角的度数为( )

A. 70° B. 80° C. 90° D. 100°
【答案】D
【解析】
【分析】利用旋转的性质得到△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质可知AB=AD，进而得到∠ADB=∠B=40°，再利用三角形内角和定理即可解答.
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE
∴△ABC≌△ADE
∴AB=AD
∴∠ADB=∠B=40°
∵∠ADB+∠B+∠BAD=180°
∴∠BAD=180°-40°-40°=100°
故选D
【点睛】本题考点涉及旋转的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
9. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． B. 对角线互相垂直的矩形是正方形．
C. 对角线相等的菱形是正方形． D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形．
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的各种判定方法逐项分析即可．
【详解】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
对角线相等的菱形是正方形，正确；
对角线互相垂直平分且相等四边形是正方形；
可知选项D是错误的．
故选：D．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

10. 将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（　　）
A. ﹣或﹣12 B. ﹣或2 C. ﹣12或2 D. ﹣或﹣12
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示，过点B作直线y=2x+b，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=2x+b在这两个位置时，两个图象有3个交点，即可求解．
【详解】如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，

令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），
将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
△＝49+4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣；
故选A．
【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式、翻折的性质等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 写出一个比1大且比2小的无理数______．
【答案】答案不唯一，如、等
【解析】
【分析】根据无理数的大小比较和无理数的定义写出范围内的一个数即可．
【详解】解：一个比1大且比2小的无理数有，等，
故答案为：答案不唯一，如、等．
【点睛】本题考查了对估算无理数和无理数的定义的应用，注意：答案不唯一．
12. 已知函数y=(k-1)x-1，若y随x的增大而减小，则k的取值范围为______．
【答案】k<1
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可得结论．
【详解】解：∵一次函数y=(k-1)x-1，y随x的增大而减小，
∴k-1<0，
∴k<1．
故答案为：k<1．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握一次函数的性质．
13. 《九章算术》是我国最重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何”．译文大意是：“有一根竹子高一丈（十尺），竹梢部分折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问竹干还有多高”，若设未折断的竹干长为x尺，根据题意可列方程为_____．

【答案】x2+32＝（10﹣x）2
【解析】
【分析】根据勾股定理即可得出结论．
【详解】设未折断的竹干长为x尺，
根据题意可列方程为：x2＋32＝（10−x）2．
故答案为x2＋32＝（10−x）2．

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
14. 已知抛物线的对称轴为直线，点、都在该抛物线上，那么______．(填“”或“”或“”)．
【答案】
【解析】
【分析】因为抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可判断．
【详解】解：抛物线的图象的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
15. 如图，已知菱形，，，点，点分别是边，上的动点，，则四边形 的面积为_____________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，证明，得出，再利用四边形的面积即可得出答案．
【详解】解：连接，如图，

四边形为菱形，
和都是等边三角形，
，，
在和中

，
，
四边形的面积
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，将四边形的面积转化为是解题的关键．
16. 如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，斜边AC＝4，点P是三角形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是 _____．

【答案】
【解析】
【分析】将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N．证明△是等边三角形，得，所以，推出当A，P，G，H′共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值=AG的长，再运用勾股定理求出AG的长即可．
【详解】解：将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，连接PH，AG，过点G作AB的垂线，交AB的延长线于N，如图，

∵∠，

由勾股定理得：
∵将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BHG，
∴△
∴，，∠
∴△是等边三角形，
∴
∴
∴当点A，点P，点G，点H共线时，有最小值，最小值为，
∵∠
∴∠
∴∠
∵
∴，
由勾股定理得，
∴
∴
∴最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用旋转变换添加辅助线，用转化的思想思考问题．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：
（2）解方程
【答案】（1）12；（2），．
【解析】
【分析】（1）先把二次根式化简，再合并同类二次根式，最后作乘法；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】解：（1）


；
（2），
因式分解得，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握运算法则和因式分解法．
18. 如图，在矩形中，点为的中点，连接和，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出，根据点为的中点，得出，进而根据，即可证明．
【详解】证明：∵在矩形中，点为的中点，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握矩形的性质与全等三角形的判定定理是解题的关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，已知△ABC，
（1）△ABC与△A1B1C1关于原点O对称，写出△A1B1C1各顶点的坐标，画出△A1B1C1；
（2）以O为旋转中心将△ABC顺时针旋转90°得△A2B2C2，画出△A2B2C2并写出△A2B2C2各顶点的坐标．

【答案】（1）A1（2，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣2），作图见解析；（2）作图见解析，A2（3，2），B2（1，4），C2（2，1）.
【解析】
【分析】（1）根据关于原点对称的点的特点，求出A、B、C的坐标，然后连线即可；
（2）根据旋转的性质，先确定各已知点的坐标与原点的位置关系，然后找到旋转90°位置即可求解.
【详解】
（1）A1（2，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣2），△A1B1C1如图；
（2）△A2B2C2如图，A2（3，2），B2（1，4），C2（2，1）．
【点睛】此题主要考查了中心对称的性质和旋转变换的性质，明确关于原点对称的点的特点和旋转变换的点的特点是解题关键.
20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围；
（2）若此方程的两实数根满足，求的值
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2k−1）2−4k2＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1＋x2＝2k−1，x1x2＝k2，再根据（x1−1）（x2−1）＝5得到k2−（2k−1）＋1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．
【详解】解：（1）根据题意得△＝（2k−1）2−4k2＞0，
解得k＜；
（2）根据题意得x1＋x2＝2k−1，x1x2＝k2，
∵（x1−1）（x2−1）＝5，
∴x1x2−（x1＋x2）＋1＝5，
即k2−（2k−1）＋1＝5，
整理得k2−2k−3＝0，解得k1＝−1，k2＝3，
∵k＜，
∴k＝−1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝−，x1x2＝．也考查了根的判别式．
21. 已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示

…

0
1
2
3
…

…
0




…

（1）________；并在如图所给的平面直角坐标系中画出该抛物线；
（2）若直线与两坐标轴分别交于点和，请直接写出抛物线在直线上方时对应的的取值范围．
【答案】（1），画图见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据表格得到顶点坐标，设抛物线表达式为，将表格中的数据代入，求出a值，得到表达式，再令，求出y值，可得m，再画出函数图像；
（2）根据图像直接可得结果．
【小问1详解】
解：由表可知：抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴抛物线表达式为，
令，则，即；
画图如下：
【小问2详解】
由图可知：抛物线在直线上方时对应的的取值范围是或．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数与不等式的关系．
22. 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）求图1中的____________，本次调查数据的中位数是____________h，本次调查数据的众数是____________h；
（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？
（3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数．
【答案】（1）
（2）此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时
（3）估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人
【解析】
【分析】（1）用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出的值，根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
（2）根据平均数的定义结合条形统计图即可求解；
（3）用2000乘以3小时及以上的人数的占比即可求解．
【小问1详解】
解：，
∴，
中位数为第与个数的平均数，即，
由条形统计图可知，众数为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时；
【小问3详解】
解：（人）
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23. 攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市．某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元千克，售价不低于15元千克，且不超过40元每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量（千克）与该天的售价（元千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系．
销售量（千克）

32.5
35
35.5
38

售价（元千克）

27.5
25
24.5
22


（1）求芒果一天的销售量与该天售价之间的一次函数关系式，写出的取值范围．
（2）设某天销售这种芒果获利元，写出与售价之间的函数关系式．如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
【答案】（1）
（2），20元
【解析】
【分析】（1）设一次函数关系式为，由待定系数法求得答案即可．
（2）先根据利润等于销售量乘以每千克的利润得出关于的二次函数，再根据水果店该天获利400元，可得关于的一元二次方程，解得的值，然后结合的取值范围即可得出答案．
小问1详解】
解：设一次函数关系式为，将表中数据代入得：
，
解得：．
．
【小问2详解】
解：由题知

，
当时，，
整理得：，
解得：，．
，
．
这天芒果的售价为20元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在实际问题中的应用及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及一元二次方程的解法是解题的关键．
24. 将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．

（1）直接写出抛物线，的解析式；
（2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；
（3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点．
【答案】（1）抛物线解析式为： y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；
（2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况；
（3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可．
【详解】解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，
∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2，
抛物线解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6．
（2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，

∵是等腰直角三角形，
∴∠BOA =45°，
又∵∠BDO=∠BAO=90°，
∴点A、B、O、D四点共圆，
∴∠BDA=∠BOA=45°，
∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，
∴是等腰直角三角形，
∴DC=AC．
∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，
∴抛物线的对称轴为x=2，
设点A的坐标为（x，x2-4x-2），
∴DC=x-2，AC= x2-4x-2，
∴x-2= x2-4x-2，
解得：x=5或x=0（舍去），
∴点A的坐标为（5，3）；
同理，当点B、点A在x轴的下方时，
x-2= -(x2-4x-2)，
x=4或x=-1（舍去），
∴点的坐标为（4，-2），
综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）．
（3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点，
∴，
∴x2-kx-6=0，
设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF，
∴xE+xF=k，
∴中点M的横坐标xM==，
中点M的纵坐标yM=kx=，
∴点M的坐标为（，）；
同理可得：点N的坐标为（，），
设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0），
将M（，）、N（，）代入得：
，
解得：，
∴直线MN的解析式为y= ·x+2（），
不论k取何值时（），当x=0时，y=2，
∴直线经过定点（0，2）．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．
25. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形垂美四边形吗？请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：；
(3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长．
【答案】(1) 四边形是垂美四边形，理由见解析；(2)证明见解析；(3) .
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理，可证直线是线段的垂直平分线，结合“垂美四边形”的定义证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）连接、，先证明，得到，可证，即，从而四边形是垂美四边形，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【详解】(1)四边形是垂美四边形．
证明：连接AC，BD，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，即四边形是垂美四边形；

(2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形中，，垂足为，
求证：
证明：∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
故答案为．
(3)连接、，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，又，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由(2)得，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴．

【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．