福建省福州市部分学校2024-2025学年九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份福建省福州市部分学校2024-2025学年九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的周长为（ ）
A．20B．21C．14D．7
2、（4分）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
3、（4分）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）某超市今年二月份的营业额为82万元，四月份的营业额比三月份的营业额多20万元，若二月份到四月份每个月的月销售额增长率都相同，若设增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．82（1+x）2＝82（1+x）+20B．82（1+x）2＝82（1+x）
C．82（1+x）2＝82+20D．82（1+x）＝82+20
5、（4分）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，则ED的长为
A．B．3C．1D．
7、（4分）龙华区某校改造过程中，需要整修校门口一段全长2400m的道路，为了保证开学前师生进出不受影响，实际工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务，若设原计划每天整个道路x米，根据题意可得方程（ ）
A．B．
C．D．
8、（4分）如图所示，在平行四边形中，对角线相交于点，，，，则平行四边形的周长为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若，则的值为________.
10、（4分）如图，“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5，股(长直角边)长为12，河该直角三角形能容纳的如图所示的正方形边长是多少?”，该问题的答案是______．
11、（4分）如图所示，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF＝50°，则∠C的度数是____．
12、（4分）有意义，则实数a的取值范围是__________．
13、（4分）如图，在口ABCD中，E为边BC上一点，以AE为边作矩形AEFG.若∠BAE=40°，∠CEF=15°，则∠D的大小为_____度.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在中，，从点为圆心，长为半径画弧交线段于点，以点为圆心长为半径画弧交线段于点，连结．
(1)若，求的度数：
(2)设．
①请用含的代数式表示与的长；
②与的长能同时是方程的根吗？说明理由．
15、（8分）（1）计算：；
（2）已知，求代数式的值．
16、（8分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝5，AB＝6，AB⊥y轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．
（1）若OA＝8，求k的值；
（2）若CB＝BD，求点C的坐标．
17、（10分）A粮仓和B粮仓分别库存粮食12吨和6吨，现决定支援给C市10吨和D市8吨．已知从A粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为300元和500元．
（1）设B粮仓运往C市粮食x吨，求总运费W（元）关于x的函数关系式．（写出自变量的取值范围）
（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
18、（10分）（1）解不等式组：3x﹣2＜≤ 2x+1
（2）解分式方程：
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为_____．
20、（4分）勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形EFGH组成的．若小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3，则大正方形ABCD的面积是_____．

21、（4分）如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．若∠MBD=40°，则∠NCD的度数为_____．
22、（4分）二项方程在实数范围内的解是_______________
23、（4分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则非正整数k的值是______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.其中、、.
（1）将沿轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的；
（2）将绕着点顺时针旋转90°，画出旋转后得到的，、、的对应点分别是、、；
25、（10分）已知关于x的一元二次方程3x2﹣6x+1﹣k=0有实数根，k为负整数．
（1）求k的值；
（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．
26、（12分）如图，直线y＝x+b分别交x轴、y轴于点A、C，点P是直线AC与双曲线y＝在第一象限内的交点，PB⊥x轴，垂足为点B，且OB＝2，PB＝1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△APB的面积；
（3）求在第一象限内，当x取何值时一次函数的值小于反比例函数的值？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
分点E在AB段运动、点E在AD段运动时两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：当点E在AB段运动时，
y＝BC×BE＝BC•x，为一次函数，由图2知，AB＝3，
当点E在AD上运动时，
y＝×AB×BC，为常数，由图2知，AD＝4，
故矩形的周长为7×2＝14，
故选：C．
本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、图形面积计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
2、C
【解析】
设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【详解】
设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为C.
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
3、D
【解析】
A.从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解；
B.右边不是整式积的形式，不是因式分解；
C.分解时右边括号中少了一项，故不正确，不符合题意；
D. 是因式分解，符合题意，
故选D.
本题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
4、A
【解析】
根据题意找出等量关系：，列出方程即可.
【详解】
由二月份到四月份每个月的月营业额增长率都相同，二月份的营业额为82
万元，若设增长率为，则三月份的营业额为，四月份的营业额为， 四月份的营业额比三月份的营业额多20万元，
则，
故选A
考查一元二次方程的应用，增长率问题，明确等量关系正确列出方程是解题关键.
5、A
【解析】
分析：完全平方公式是指：，根据公式即可得出答案．
详解：．故选A．
点睛：本题主要考查的完全平方公式，属于基础题型．理解公式是解决这个问题的关键．
6、A
【解析】
首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2=（4﹣x）2，再解方程即可
【详解】
∵AB=3，AD=4，∴DC=3
∴根据勾股定理得AC=5
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C=DC=3，DE=D′E
设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，即22+x2=（4﹣x）2，
解得：x=
故选A.
7、A
【解析】
直接利用施工时间提前8天完成任务进而得出等式求出答案．
【详解】
解：设原计划每天整修道路x米，根据题意可得方程：
．
故选：A．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
8、D
【解析】
由▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，易得DE是△ABC的中位线，即可求得BC的长，继而求得答案．
【详解】
∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD=5，
∵AE=EB，OE=3，
∴BC=2OE=6，
∴▱ABCD的周长=2×（AB+BC）=1．
故选：D．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意证得DE是△ABC的中位线是关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据比例设a=2k，b=3k，然后代入比例式进行计算即可得解．
【详解】
∵，
∴设a=2k，b=3k，
∴ .
故答案为：
此题考查比例的性质，掌握运算法则是解题关键
10、
【解析】
根据锐角三角函数的定义以及正方形的性质即可求出答案．
【详解】
解：设正方形的边长为x，
∴CE=ED=x，
∴AE=AC-CE=12-x，
在Rt△ABC中，
，
在Rt△ADE中，
，
∴，
∴解得：x=，
故答案为：.
本题考查三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及正方形的性质，本题属于中等题型．
11、100°.
【解析】
根据直角三角形两锐角互余，平行四边形的性质即可解决问题.
【详解】
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∵∠DAF＝50°，
∴∠ADF＝90°﹣50°＝40°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADF＝80°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠ADC＝180°，
∴∠C＝100°
故答案为100°.
本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12、
【解析】
根据二次根式被开方数为非负数解答即可．
【详解】
依题意有，解得，
即时，二次根式有意义，
故的取值范围是．
故答案为：．
本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是根据题意构造不等式进行解答．
13、1
【解析】
想办法求出∠B，利用平行四边形的性质∠D=∠B即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形AEFG是正方形，
∴∠AEF=90°，
∵∠CEF=15°，
∴∠AEB=180°-90°-15°=75°，
∵∠B=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-75°=1°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=1°
故答案为：1．
本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）①，；②是，理由见解析
【解析】
（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC是等边三角形，即可得到结论；
（2）①根据线段的和差即可得到结论；
②根据方程的解得定义，判断AD是方程的解，则当AD=BE时，同时是方程的解，即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵，
，
又，
是等边三角形．
．
（2）①∵
又，
．
②∵
∴线段的长是方程的一个根．
若与的长同时是方程的根，则，
即，
，
，
∴当时，与的长同时是方程的根．
本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．
15、（1）;（2）0.
【解析】
(1)先进行二次根式的乘除法运算，然后再进行减法运算即可；
(2)将原式利用完全平方公式进行变形，然后将x的值代入进行计算即可.
【详解】
(1)原式
；
(2)原式
=
，
将代入原式得，.
本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的性质进行解题是关键．
16、（1）1；（2）（3，2）
【解析】
（1） 过C作CM⊥AB，CN⊥y轴，利用勾股定理求出CM的长，结合OA的长度，则C点坐标可求，因C在图象上，把C点代入反比例函数式求出k即可；
（2）已知CB=BD，则AD长可求，设OA=a, 把C、D点坐标用已知数或含a的代数式表示，因C、D都在反比例函数图象上，把C、D坐标代入函数式列式求出a值即可.
【详解】
（1）解：过C作CM⊥AB，CN⊥y轴，垂足为M、N，
∵CA＝CB＝5，AB＝6，
∴AM＝MB＝3＝CN，
在Rt△ACD中，CD＝ ＝4，
∴AN＝4，ON＝OA﹣AN＝8﹣4＝4，
∴C（3，4）代入y＝ 得：k＝1，
答：k的值为1．
（2）解：∵BC＝BD＝5，
∴AD＝6﹣5＝1，
设OA＝a，则ON＝a﹣4，C（3，a﹣4），D（1，a）
∵点C、D在反比例函数的图象上，
∴3（a﹣4）＝1×a，
解得：a＝6，
∴C（3，2）
答：点C的坐标为（3，2）
本题主要考查反比例函数的几何应用，解题关键在于能够做出辅助线，利用勾股定理解题.
17、（1）w＝200x+8600（0≤x≤6）；（2）有3种调运方案，方案一：从B市调运到C市0台，D市6台；从A市调运到C市10台，D市2台；方案二：从B市调运到C市1台，D市5台；从A市调运到C市9台，D市3台；方案三：从B市调运到C市2台，D市4台；从A市调运到C市8台，D市4台；（3）从A市调运到C市10台，D市2台；最低运费是8600元．
【解析】
（1）设出B粮仓运往C的数量为x吨，然后根据A，B两市的库存量，和C，D两市的需求量，分别表示出B运往C，D的数量，再根据总费用＝A运往C的运费+A运往D的运费+B运往C的运费+B运往D的运费，列出函数关系式；
（2）由（1）中总费用不超过9000元，然后根据取值范围来得出符合条件的方案；
（3）根据（1）中的函数式以及自变量的取值范围即可得出费用最小的方案．
【详解】
解：（1）设B粮仓运往C市粮食x吨，则B粮仓运往D市粮食6﹣x吨，A粮仓运往C市粮食10﹣x吨，A粮仓运往D市粮食12﹣（10﹣x）＝x+2吨，
总运费w＝300x+500（6﹣x）+400（10﹣x）+800（x+2）
＝200x+8600（0≤x≤6）．
（2）200x+8600≤9000
解得x≤2
共有3种调运方案
方案一：从B市调运到C市0台，D市6台；从A市调运到C市10台，D市2台；
方案二：从B市调运到C市1台，D市5台；从A市调运到C市9台，D市3台；
方案三：从B市调运到C市2台，D市4台；从A市调运到C市8台，D市4台；
（3）w＝200x+8600
k＞0，
所以当x＝0时，总运费最低．
也就是从B市调运到C市0台，D市6台；
从A市调运到C市10台，D市2台；最低运费是8600元．
本题重点考查函数模型的构建，考查利用一次函数的有关知识解答实际应用题，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
18、（1）-2≤x＜0；（2）x=-3
【解析】
（1）不等式组整理后，求出解集即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1）不等式组整理得：，
由①得：x＜0，
由②得：x≥-2，
则不等式组的解集为：-2≤x＜0；
（2）去分母得：x2+x=x2-1-2，
解得：x=-3，
经检验：x=-3是分式方程的解．
此题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
分析：首先证明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，设DF=x．由△ADC∽△BDF，推出，构建方程求出x即可解决问题；
详解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，
∵∠BAC=45°，
∴AE=EB，
∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBE，
∴△AEF≌△BEC，
∴AF=BC=10，设DF=x．
∵△ADC∽△BDF，
∴，
∴，
整理得x2+10x﹣24=0，
解得x=2或﹣12（舍弃），
∴AD=AF+DF=12，
∴S△ABC=•BC•AD=×10×12=1．
故答案为1．
点睛：本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
20、25
【解析】
由BF=BE+EF结合“小正方形的边长是1，每个直角三角形的短的直角边长是3”即可得出直角三角形较长直角边的长度，结合三角形的面积公式以及正方形面积公式即可得出结论．
【详解】
∵EF=1，BE=3，
∴BF=BE+EF=4，
∴S正方形ABCD=4⋅S△BCF+S正方形EFGH=4× ×4×3+1×1=25.
故答案为：25.
此题考查勾股定理的证明，解题关键在于掌握勾股定理的应用
21、40°
【解析】
先根据作法证明△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，然后根据三角形外角的性质可证∠NCD=∠MBD=40°.
【详解】
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC,
BD=CD,
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA.
∵∠MBD=∠BAD+∠BDA，∠NCD=∠CAD+∠CDA，
∴∠NCD=∠MBD=40°.
故答案为：40°.
本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解答本题的关键.
22、x=-1
【解析】
由2x1+54=0，得x1=-27，解出x值即可．
【详解】
由2x1+54=0，得x1=-27，
∴x=-1，
故答案为：x=-1．
本题考查了立方根，正确理解立方根的意义是解题的关键．
23、-1
【解析】
根据判别式的意义及一元二次方程的定义得到，且，然后解不等式即可求得k的范围，从而得出答案．
【详解】
解：根据题意知，且，
解得：且，
则非正整数k的值是，
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）的如图所示. 见解析；（2）的如图所示. 见解析.
【解析】
（1）分别画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（2）分别画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可.
【详解】
（1）如图所示,即为所求；
（2）如图所示，即为所示.
考查作图-平移变换，作图-旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
25、（2）k=﹣2，﹣2．（2）方程的根为x2=x2=2．
【解析】
（2）根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的值；
（2）将k的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k的值．
【详解】
解：（2）根据题意，得△=（﹣6）2﹣4×3（2﹣k）≥0，
解得 k≥﹣2．
∵k为负整数，
∴k=﹣2，﹣2．
（2）当k=﹣2时，不符合题意，舍去；
当k=﹣2时，符合题意，此时方程的根为x2=x2=2．
本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：（2）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．
26、（1）；（2）16；（3）0＜x＜2．
【解析】
(1)由OB，PB的长，及P在第一象限，确定出P的坐标，由P在反比例函数图象上，将P的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值；
(2)根据待定系数法求得直线AC的解析式，令y＝0求出对应x的值，即为A的横坐标，确定出A的坐标，即可求得AB，然后根据三角形的面积公式求解即可；
(3)由一次函数与反比例函数的交点P的横坐标为2，根据图象找出一次函数在反比例函数下方时x的范围即可．
【详解】
(1)∵OB＝2，PB＝1，且P在第一象限，
∴P(2，1)，
由P在反比例函数y＝上，
故将x＝2，y＝1代入反比例函数解析式得：1＝，即k＝8，
所以反比例函数解析式为：；
(2)∵P(2，1)在直线y＝x+b上，
∴1＝×2+b，解得b＝3，
∴直线y＝x+3，
令y＝0，解得：x＝﹣6；
∴A(﹣6，0)，
∴OA＝6，
∴AB＝8，
∴S△APB＝AB•PB＝×8×1＝16；
(3)由图象及P的横坐标为2，可知：
在第一象限内，一次函数的值小于反比例函数的值时x的范围为0＜x＜2．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及了待定系数法，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做第三问时注意灵活运用．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分