2022-2023学年黑龙江省绥化市安达市火石山中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省绥化市安达市火石山中学八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  函数的图象不经过(    )

A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限

2.  由下列三条线段组成的三角形不是直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.  在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某特警队为了选拔“神枪手”举行射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，两人各射靶次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是环，甲的方差是，乙的方差是，则下列说法中，正确的是(    )

A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定
C. 甲、乙两人成绩的稳定性相同 D. 无法确定谁的成绩更稳定

5.  正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在平行四边形中，：：：：，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，两个一次函数图象的交点坐标为，则关于，的方程组的解为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 或

10.  如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，那么阴影部分的面积是矩形的面积的(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，平行四边形中，，分别为，边上的一点，增加下列条件，不一定能得出的是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  如图，、分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论；；；中，正确结论的个数为(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

13.  若直角三角形的两直角边长为、，且满足，则该直角三角形的斜边长为______．

14.  若直线和直线的交点坐标为，则______．

15.  当 ______ 时，二次根式有意义．

16.  如图，，的坐标为，，若将线段平移至，则的值为______．

17.  在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围为______．

18.  如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点、同时出发，点以的速度向移动，一直到达为止；点以的速度向移动．当、两点从出发开始到______秒时，点和点的距离是．

19.  平面直角坐标系中，已知点和点，则线段的长为______ ．

20.  已知，，则代数式的值是______ ．

21.  如图，边长为的菱形中，连结对角线，以为边作第二个菱形，使连结，再以为边作第三个菱形使按此规律所作的第个菱形的边长是______．

22.  如图，在中，，，，点在线段上一动点，以为对角线的平行四边形中，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共6小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

23.  本小题分
计算题：

 

24.  本小题分
文美书店决定用不多于元购进甲乙两种图书共本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本元、元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的倍，若用元在文美书店可购买甲种图书的本数比用元购买乙种图书的本数少本．
甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低元，乙种图书售价每本降低元，问书店应如何进货才能获得最大利润？购进的两种图书全部销售完．

25.  本小题分
两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式例如：与、与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；
；

请仿照上述过程，化去下列各式分母中的根号．
；
为正整数

26.  本小题分
如图，在中，，．
请用尺规作图的方法在边上确定点，使得点到边的距离等于的长；保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，求证：．

27.  本小题分
如图，点、是线段同侧两点，且，，连接，交于点 ．
求证：；
如图，与关于直线对称，连接．
判断四边形的形状，并说明理由；
若，，，求线段的长．

 

28.  本小题分
如图，在菱形中，，，是的中点，过点作，垂足为，将沿点到点的方向平移，得到．
求的长；
设，分别是，的中点，当点与点重合时，求证四边形是平行四边形，并求出四边形的面积．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意，得：，，
故直线经过第一、二、三象限．即不经过第四象限．
故选：．
根据，的符号判断一次函数的图象所经过的象限．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，用到的知识点为：，函数图象经过第一、三象限，，函数图象与轴正半轴相交．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；
B、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．
故选：．
根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知的三边满足，则是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
解：点关于轴对称点的坐标为．
故选：．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】
解：甲的方差是，乙的方差是，
，
乙的成绩比甲的成绩稳定，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、二、三象限．
先根据正比例函数的函数值随的增大而增大判断出的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
【解答】
解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
，
一次函数的图象经过一、二、三象限，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．根据平行四边形的性质及为角平分线可知：，又有，可求的长．
【解答】
解：根据平行四边形的对边相等，得：，．
根据平行四边形的对边平行，得：，
，
又，
．
，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查四边形的内角和定理及平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，邻角互补．
利用平行四边形的内角和是度，平行四边形对角相等，则平行四边形的四个角之比为，：：：：：：，则的值可求出．
【解答】
解：在▱中，：：：：：：，
设每份比为，则得到，
解得
则．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【解答】
解：两个一次函数图象的交点坐标为，
关于，的方程组的解为．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是两条直线相交问题，关键是利用数形结合思想，观察图象．
首先由已知两个函数相交于，两点，再观察图象即可求出的取值范围．
【解答】
解：当时，，，
两直线的交点为，
当时，，，
两直线的交点为，
由图象可知：当时，的取值范围为：或．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，
，
在与中，
，
≌，
阴影部分的面积，
与同底且的高是高的，
．
故选：．
本题主要根据矩形的性质，得≌，再由与同底等高，与同底且的高是高的得出结论．
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
A、，
，
四边形是平行四边形，
，故本选项能判定；
B、，
四边形有可能是等腰梯形，
本选项不一定能判定；
C、，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，故本选项能判定；
D、，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，故本选项能判定．
故选：．
由四边形是平行四边形，可得，，然后由，，均可判定四边形是平行四边形，则可证得，利用排除法即可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定与性质．
 

12.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，，
，
，
即，
在和中，，
≌，
，故正确；
，
，
，
在中，，
，故正确；
假设，
已证，
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
在中，，
，这与正方形的边长相矛盾，
所以，假设不成立，，故错误；≌，
，
，
即，故正确；
综上所述，错误的有．
故选：．
根据正方形的性质可得，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而判定出正确；再根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，再得到，从而得出，判断正确；假设，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，再根据直角三角形斜边大于直角边可得，即，从而判断错误；根据全等三角形的面积相等可得，然后都减去的面积，即可得解，从而判断正确．
本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出和全等是解题的关键，也是本题的突破口．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，，
解得，，
直角三角形的两直角边长为、，
该直角三角形的斜边长．
故答案是：．
根据非负数的性质求得、的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．
本题考查了勾股定理，非负数的性质绝对值、算术平方根．任意一个数的绝对值二次根式都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为时，则其中的每一项都必须等于．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线和直线的交点坐标为，
，，
，得，
即，
故答案为．
把点分别代入和，得到关于、、的两个方程，将这两个方程消去，即可得出的值．
本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得．
故答案为：．
根据二次根式的性质和意义，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
本题考查二次根式有意义的条件，关键是熟悉二次根式的被开方数是非负数的知识点．
 

16.【答案】 

【解析】解：由点平移前后的纵坐标分别为、，可得点向上平移了个单位，
由点平移前后的横坐标分别是为、，可得点向右平移了个单位，
由此得线段的平移的过程是：向上平移个单位，再向右平移个单位，
所以点、均按此规律平移，
由此可得，，
，
故答案为：．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．
本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

17.【答案】 

【解析】解：在一次函数中，随的增大而增大，
，
．
故答案是：．
根据一次函数图象的增减性来确定的符号，从而求得的取值范围．
本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
 

18.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于的一元二次方程是解题的关键．设当、两点从出发开始到秒时，点和点的距离是，此时，，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：设当、两点从出发开始到秒时，点和点的距离是，此时，，
根据题意得：，
解得：，．
到达时间为：秒，
答：当、两点从出发开始到秒或秒时，点和点的距离是．
故答案为：或．  

19.【答案】 

【解析】解：点和点，
．
故答案为．
直接根据两点间的距离公式求解．
本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算出线段的长和确定线段与坐标轴的平行关系．也考查了两点间的距离公式．
 

20.【答案】 

【解析】解：，，
，，
则原式，
故答案为：．
由与的值求出与的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
同理可得，，
按此规律所作的第个菱形的边长为，
故答案为．
连接于相交于，根据已知和菱形的性质可分别求得，，的长，从而可发现规律根据规律不难求得第个菱形的边长．
此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力．
 

22.【答案】 

【解析】

【分析】
平行四边形的对角线的交点是的中点，当时，最小，即最小，根据三角形中位线定理即可求解．
此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解最小的条件是关键．
【解答】
解：平行四边形的对角线的交点是的中点，当时，最小，即最小．
，，
，
又，
是的中位线，
，
．
故答案为：．  

23.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】根据二次根式的乘除法则运算；
利用完全平方公式和平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

24.【答案】解：设乙种图书售价每本元，则甲种图书售价为每本元
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解
甲种图书售价为每本元
答：甲种图书售价每本元，乙种图书售价每本元
设甲种图书进货本，总利润元，则


解得
随的增大而增大
当最大时最大
当本时，最大
此时，乙种图书进货本数为本
答：甲种图书进货本，乙种图书进货本时利润最大． 

【解析】根据题意，列出分式方程即可；
先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可．
本题分别考查了分式方程和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值．
 

25.【答案】解：原式；
原式； 

【解析】根据题意给出的方法即可求出答案．
根据题意给出的方法即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
 

26.【答案】解：如图，点即为所求．


如图，过点作于点，
由知．
又，，
≌，
，
，，
．
，
，
，
，
． 

【解析】依据尺规作图，作的平分线即可解决问题．
依据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

27.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
；
解：四边形为平行四边形；
理由是：由对称得：≌，
，，
，
，
四边形为平行四边形；
如图，过作于，连接，
≌，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
中，由勾股定理得：，
． 

【解析】利用证≌可得．
根据题意知：，并由内错角相等可得，所以由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得结论；
如图，作辅助线，证明是等边三角形，得，根据等腰三角形三线合一得，最后利用勾股定理可得和的长．
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定的性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，本题中最后一问，有难度，恰当地作辅助线是解题的关键．
 

28.【答案】解：四边形是菱形，
，
是的中点，
，
，，
；
如图，连接，，交于．
由题意，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，，
是等边三角形，
，
，，
在中，，，，
，，
，
在中，，，
，
，
，
平行四边形的面积． 

【解析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
首先求出的长度，再在直角三角形中求出的长度；
连接，，交于首先证明四边形是平行四边形，再证明，求出的长，最后根据面积公式求出答案．