2022-2023学年山东省济宁市汶上县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济宁市汶上县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式属于最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.  甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人次射击成绩的平均数单位：环及方差单位：环如下表所示：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5.  若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  如图，菱形的对角线与相交于点，为的中点，连接，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，函数和的图象交于点，根据图象可得，不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在矩形纸片中，点在边上，将沿翻折得到，点落在上若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，直线分别与轴、轴交于点和点，直线分别与轴、轴交于点和点，点是内部包括边上的一点，则的最大值与最小值之差为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  如果函数是正比例函数，则的值是______．

13.  如图，为数轴的原点，点表示的数为，于点，，以为圆心、为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是______．

14.  如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为______．

15.  如图，正方形，，的顶点，，和顶点，，分别在直线和轴上，用同样的方式依次放置正方形，，，，则点的纵坐标为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
县某初中学校为激发学生学习热情，提高学习效率，采用分组学习方案，每份为一小组经过半个学期的学习，在一次数学阶段性测试中，某小组人的学成绩分别为，，，，，，单位：分．
该小组学生数学成绩的中位数是______ 分，众数是______ 分；
求该小组成员数学成绩的平均分．

18.  本小题分
长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为米．
求风筝的垂直高度；
如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？

19.  本小题分
如图，直线的表达式为，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点．
求直线的表达式；
求点的坐标；
若在轴上存在一点，使得的面积是的面积的倍，请直接写出点的坐标．

20.  本小题分
我县积极探索信息技术与课堂教学深度融合的“精准化教学”模式某学校计划购买，两种型号的教学设备，已知型教学设备的单价比型教学设备的单价格高，用元购买型教学设备的数量比用元购买型教学设备的数量多台．
求，两种型号的教学设备的单价分别是多少元；
已知该校计划购买，两种型号的教学设备共台，要求型教学设备的数量不少于型教学设备的数量的设购买台型教学设备，购买，两种型号的教学设备的总费用为元，求与的函数关系式，并求出计划购买，两种型号的教学设备的最少购买费用．

21.  本小题分
如图，在四边形中，和相交于点，，．
求证：四边形是平行四边形；
如图，，，分别是，，的中点，连接，，，若，，，求的周长．

 

22.  本小题分
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，连接，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
如图，当点在上时，根据以上操作，写出一个度数为的角为______ ；
迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照中的方式操作，并延长交于点，连接．
如图，当点在上时，则 ______ ；
改变点在上的位置点不与点，重合如图，判断与的数量关系，并说明理由；
拓展应用
在的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含开得尽的因数，故B错误；
C、被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数，故C正确；
D、被开方数含开得尽的因数，故D错误；
故选：．
根据最简二次根式的定义，可得答案．
本题考查了最简二次根式，最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
不能构成三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：甲、丙、丁射击成绩的平均环数较大，
丁的方差甲的方差丙的方差，
丁比较稳定，
成绩较好状态稳定的运动员是丁，
故选：．
根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，
随着的增大而增大．
点和是一次函数图象上的两个点，，
．
故选：．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：

，
，
，
原式的值应在和之间．
故选：．
根据二次根式的运算性质化简后，再对根式进行估算，即可得出答案．
本题考查了二次根式的除法和估算无理数的范围，能估算出的范围是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，
，，，，
，
，
，
为的中点，，
，
故选：．
根据菱形的性质可得，，，则，再利用含角的直角三角形的性质可得答案．
本题主要考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知，函数和的图象交于点，
则根据图象可得的解集是．
故选：．
直接利用图象、根据两函数图象的交点即可得出结论．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的取值范围是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由翻折得，，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由翻折得，，则，由矩形的性质得，，，则，所以，则，，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点是内部包括边上的一点，
点在直线上，如图所示，

当为直线与直线的交点时，取最大值，
当为直线与直线的交点时，取最小值，
中令，则，
中令，则，
的最大值为，的最小值为．
则的最大值与最小值之差为：．
故选：．
由于的纵坐标为，故点在直线上，要求符合题意的值，则点为直线与题目中两直线的交点，此时存在最大值与最小值，故可求得．
本题考查一次函数的性质，要求符合题意的值，关键要理解当在何处时存在最大值与最小值，由于的纵坐标为，故作出直线有助于判断的位置．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据算术平方根的定义计算即可．
本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由正比例函数的定义可得：，，
．
故填．
根据正比例函数的定义可得关于的方程，解出即可．
解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
、，
则，
所以点表示的数是，
故答案为：．
首先利用勾股定理得出的长，再利用点的位置得出答案．
本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系与勾股定理是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，

，，
∽，
，
，
，
则的最小值为，
故答案为：．
以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，证明∽，利用相似三角形的性质得出，求出，即可求出的最小值．
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：设直线与轴的交点为，
直线与轴，轴的交点坐标为，，
是等腰直角三角形，
又正方形，，，
、、、都是等腰直角三角形，
、、、、，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
，
点的纵坐标为，
故答案为：．
根据一次函数可求出与轴、轴的交点坐标，即可确定正方形的边长以及与轴所交锐角的度数，进而得出、、、都是等腰直角三角形，进而由点的纵坐标，可求出点、、的纵坐标，由规律得出答案．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及数字的变化类，求出点的纵坐标，进而求出点、、的纵坐标是得出正确答案的关键．
 

16.【答案】解：

；




． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后计算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：将人的成绩重新排列为，，，，，，，
所以这组数据的中位数是分，众数是分，
故答案为：，；
分，
答：该小组成员数学成绩的平均分为分．
将这组数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可；
根据算术平均数的定义求解即可．
本题主要考查众数、中位数、算术平均数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

18.【答案】解：在中，
由勾股定理得，，
所以，负值舍去，
所以，米，
答：风筝的高度为米；
由题意得，米，
所以米，
所以米，
所以米，
所以他应该往回收线米． 

【解析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：设直线的表达式为，
代入点，，
得，
解得，
直线的表达式为；
联立，
解得，
点坐标为；
点，的坐标分别为，，
，，
的面积为，
的面积是的面积的倍，
的面积为，
点坐标为，
，
解得，
点坐标为或． 

【解析】利用待定系数法求直线解析式即可；
联立两直线解析式即可求出交点坐标；
先求出的面积，再根据的面积是的面积的倍，可得的长度，进一步可得点坐标．
本题考查了两条直线的相交问题，一次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积等，熟练掌握求一次函数图象上点的坐标是解题的关键．
 

20.【答案】解：设每台型设备的价格为万元，则每台型号设备的价格为万元，
根据题意得，，
解得：．
经检验，是原方程的解．
，
每台型设备的价格为元，则每台型号设备的价格为元．
设购买台型设备，则购买台型设备，
，
由实际意义可知，，
且为整数，
，
随的增大而增大，
当时，的最小值为元，
，且最少购买费用为元． 

【解析】设每台型设备的价格为元，则每台型号设备的价格为元，根据“用元购买型设备的数量比用元购买型设备的数量多台”建立方程，解方程即可．
根据总费用购买型设备的费用购买型设备的费用，可得出与的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：连接，

四边形是平行四边形，
，，，，，
，
，
，
点是的中点，
，，
，
在中，，
点是的中点，，
，
点，点分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
的周长，
的周长为． 

【解析】根据已知可得，然后再利用证明≌，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行四边形的判定方法即可解答；
连接，利用平行四边形的性质可得，，，，，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后利用直角三角形斜边上的中线可求出的长，再根据三角形的中位线定理可得，，从而可得四边形是平行四边形，，进而可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】或或或   

【解析】解：，
，
，
，
，
，
；
故答案为：或或或；
四边形是正方形，
，，
由折叠性质得：，，
；
，
≌，
，
，
；
故答案为：；
，理由如下：
，，
≌，
；
当点在点的下方时，如图，

，，，
，，
由可得，，
设，，
，
即，
解得：，
；
当点在点的上方时，如图，

，，，
，，
由可知，，
设，，
，
即，
解得：，
．
综上所述：为或．
根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得；
根据折叠的性质，可证≌，即可求解，
根据折叠的性质，可证≌，即可求解；
由可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出，，，由勾股定理即可求解．
本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．