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2020-2021学年山东省济宁市汶上县八年级（上）期末数学试卷（解析版）
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这是一份2020-2021学年山东省济宁市汶上县八年级（上）期末数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省济宁市汶上县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
2．（3分）已知点P1（﹣4，3）和P2（﹣4，﹣3），则P1和P2（ ）
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．不存在对称关系
3．（3分）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
4．（3分）已知a=2﹣2，b=（π﹣2）0，c=（﹣1）3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
5．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（ ）
A． = B． =
C． = D． =
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2=x5 B．（﹣2x）2÷x=4x C．（x+y）2=x2+y2 D． +=1
7．（3分）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为（ ）
A．30° B．36° C．54° D．72°
9．（3分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）=a2﹣ab
C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案写在题中横线上）
11．（3分）因式分解：x2﹣3x= ．
12．（3分）方程=1的解是 ．
13．（3分）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是 ．
14．（3分）若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k= ．
15．（3分）如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 分钟后△CAP与△PQB全等．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分，解答应写出证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：
（1）[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷2ab
（2）×÷（﹣）
17．（8分）先化简，再求值：
（1）（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中xy=1
（2）先化简1﹣+，然后从0，1，﹣1，2四个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
18．（6分）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．
19．（8分）元旦晚会上，王老师要为她的学生及班级的六位科任老师送上贺年卡，网上购买贺年卡的优惠条件是：购买50或50张以上享受团购价．王老师发现：零售价与团购价的比是5：4，王老师计算了一下，按计划购买贺年卡只能享受零售价，如果比原计划多购买6张贺年卡就能享受团购价，这样她正好花了100元，而且比原计划还节约10元钱；
（1）贺年卡的零售价是多少？
（2）班里有多少学生？
20．（8分）在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE．
（2）如图，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变，求证：△AEF≌△BCF．
21．（8分）计算下列各式：
（x﹣1）（x+1）= ；
（x﹣1）（x2+x+1）= ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；
…
（1）根据以上规律，直接写出下式的结果：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
（2）你能否由此归纳出一般性的结论（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）= （其中n为正整数）；
（3）根据（2）的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果．
22．（11分）如图1所示，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．
2020-2021学年山东省济宁市汶上县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
【解答】解：三角形具有稳定性．
故选：A．
2．（3分）已知点P1（﹣4，3）和P2（﹣4，﹣3），则P1和P2（ ）
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．不存在对称关系
【解答】解：∵P1（﹣4，3）和P2（﹣4，﹣3），
∴横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴P1和P2关于x轴对称的点，
故选：C．
3．（3分）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【解答】解：根据题意得，x﹣1=0且x+1≠0，
解得x=1且x≠﹣1，
所以x=1．
故选：A．
4．（3分）已知a=2﹣2，b=（π﹣2）0，c=（﹣1）3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【解答】解：由题可知：a=，b=1，c=﹣1
∴b＞a＞c，
故选：B．
5．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（ ）
A． = B． =
C． = D． =
【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得： =，
故选：D．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2=x5 B．（﹣2x）2÷x=4x C．（x+y）2=x2+y2 D． +=1
【解答】解：A、（x3）2=x6，此选项错误；
B、（﹣2x）2÷x=4x2÷x=4x，此选项正确；
C、（x+y）2=x2+2xy+y2，此选项错误；
D、+=﹣==﹣1，此选项错误；
故选：B．
7．（3分）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．[来源:学科网ZXXK]
故符合条件的有3组．
故选：C．[来源:学#科#网]
8．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为（ ）
A．30° B．36° C．54° D．72°
【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠A=×（5﹣2）×180=108°[来源:Zxxk.Com]
又知△ABE是等腰三角形，
∴AB=AE，
∴∠ABE=（180°﹣108°）=36°．
故选：B．[来源:学#科#网]
9．（3分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）=a2﹣ab
C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，故①②正确；
∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE，
∴△EFP是等腰直角三角形，故③错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．故④正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案写在题中横线上）
11．（3分）因式分解：x2﹣3x= x（x﹣3） ．
【解答】解：x2﹣3x=x（x﹣3）．[来源:Z。xx。k.Com]
故答案为：x（x﹣3）
12．（3分）方程=1的解是 x=3 ．
【解答】解：去分母得：x﹣1=2，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
故答案为：x=3
13．（3分）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是 15 ．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，
故答案为：15．
14．（3分）若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k= ﹣10或10 ．
【解答】解：∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式，
∴k=﹣10或10．
故答案为：﹣10或10．
15．（3分）如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 4 分钟后△CAP与△PQB全等．
【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP=AC，则x=4，
AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP=AP，则12﹣x=x，
解得：x=6，BQ=12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：4．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分，解答应写出证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：
（1）[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷2ab
（2）×÷（﹣）
【解答】解：（1）原式=（a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2）÷2ab
=4ab÷2ab
=2；
（2）原式=•（﹣）=﹣．
17．（8分）先化简，再求值：
（1）（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中xy=1
（2）先化简1﹣+，然后从0，1，﹣1，2四个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【解答】解：（1）原式=4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
=9xy，
当xy=1时，原式=9；
（2）原式=1﹣+
=1﹣+
=1+
=，
当x=0时，原式=2．
18．（6分）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．
【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC．
19．（8分）元旦晚会上，王老师要为她的学生及班级的六位科任老师送上贺年卡，网上购买贺年卡的优惠条件是：购买50或50张以上享受团购价．王老师发现：零售价与团购价的比是5：4，王老师计算了一下，按计划购买贺年卡只能享受零售价，如果比原计划多购买6张贺年卡就能享受团购价，这样她正好花了100元，而且比原计划还节约10元钱；
（1）贺年卡的零售价是多少？
（2）班里有多少学生？
【解答】解：（1）设零售价为5x元，团购价为4x元，则
解得，，
经检验：x=是原分式方程的解，
5x=2.5
答：零售价为2.5元；
（2）学生数为=38（人）
答：王老师的班级里有38名学生．
20．（8分）在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE．
（2）如图，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变，求证：△AEF≌△BCF．
【解答】证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
∵
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；
（2）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠C=90°，
∵BF⊥AC，∠BAC=45°，
∴∠CBF+∠C=90°，∠BFC=∠AFE=90°，BF=AF，
∴∠CAD=∠CBF；
在△AEF和△BCF中，
∵，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
21．（8分）计算下列各式：
（x﹣1）（x+1）= x2﹣1 ；
（x﹣1）（x2+x+1）= x3﹣1 ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）= x4﹣1 ；
…
（1）根据以上规律，直接写出下式的结果：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= x7﹣1 ；
（2）你能否由此归纳出一般性的结论（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）= xn﹣1 （其中n为正整数）；
（3）根据（2）的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果．
【解答】解：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，
故答案为：x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；
（1）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；
（2）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）=xn﹣1；
故答案为：（1）x7﹣1；（2）xn﹣1；
（3）1+2+22+23+24+…+235
=（2﹣1）（235+234+233+…+2+1）
=236﹣1．
22．（11分）如图1所示，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．
【解答】解：（1）CF=BD，且CF⊥BD，证明如下：
∵∠FAD=∠CAB=90°，
∴∠FAC=∠DAB．
在△ACF和△ABD中，，
∴△ACF≌△ABD
∴CF=BD，∠FCA=∠DBA，
∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°，
∴FC⊥CB，
故CF=BD，且CF⊥BD．
（2）（1）的结论仍然成立，如图2，∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；
∴CF=BD，且CF⊥BD．
2020-2021学年山东省济宁市汶上县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
2．（3分）已知点P1（﹣4，3）和P2（﹣4，﹣3），则P1和P2（ ）
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．不存在对称关系
3．（3分）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
4．（3分）已知a=2﹣2，b=（π﹣2）0，c=（﹣1）3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
5．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（ ）
A． = B． =
C． = D． =
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2=x5 B．（﹣2x）2÷x=4x C．（x+y）2=x2+y2 D． +=1
7．（3分）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为（ ）
A．30° B．36° C．54° D．72°
9．（3分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）=a2﹣ab
C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案写在题中横线上）
11．（3分）因式分解：x2﹣3x= ．
12．（3分）方程=1的解是 ．
13．（3分）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是 ．
14．（3分）若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k= ．
15．（3分）如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 分钟后△CAP与△PQB全等．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分，解答应写出证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：
（1）[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷2ab
（2）×÷（﹣）
17．（8分）先化简，再求值：
（1）（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中xy=1
（2）先化简1﹣+，然后从0，1，﹣1，2四个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
18．（6分）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．
19．（8分）元旦晚会上，王老师要为她的学生及班级的六位科任老师送上贺年卡，网上购买贺年卡的优惠条件是：购买50或50张以上享受团购价．王老师发现：零售价与团购价的比是5：4，王老师计算了一下，按计划购买贺年卡只能享受零售价，如果比原计划多购买6张贺年卡就能享受团购价，这样她正好花了100元，而且比原计划还节约10元钱；
（1）贺年卡的零售价是多少？
（2）班里有多少学生？
20．（8分）在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE．
（2）如图，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变，求证：△AEF≌△BCF．
21．（8分）计算下列各式：
（x﹣1）（x+1）= ；
（x﹣1）（x2+x+1）= ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；
…
（1）根据以上规律，直接写出下式的结果：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
（2）你能否由此归纳出一般性的结论（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）= （其中n为正整数）；
（3）根据（2）的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果．
22．（11分）如图1所示，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．
2020-2021学年山东省济宁市汶上县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形
【解答】解：三角形具有稳定性．
故选：A．
2．（3分）已知点P1（﹣4，3）和P2（﹣4，﹣3），则P1和P2（ ）
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．不存在对称关系
【解答】解：∵P1（﹣4，3）和P2（﹣4，﹣3），
∴横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴P1和P2关于x轴对称的点，
故选：C．
3．（3分）若分式的值为零，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【解答】解：根据题意得，x﹣1=0且x+1≠0，
解得x=1且x≠﹣1，
所以x=1．
故选：A．
4．（3分）已知a=2﹣2，b=（π﹣2）0，c=（﹣1）3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【解答】解：由题可知：a=，b=1，c=﹣1
∴b＞a＞c，
故选：B．
5．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等．设江水的流速为v km/h，则可列方程为（ ）
A． = B． =
C． = D． =
【解答】解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得： =，
故选：D．
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（x3）2=x5 B．（﹣2x）2÷x=4x C．（x+y）2=x2+y2 D． +=1
【解答】解：A、（x3）2=x6，此选项错误；
B、（﹣2x）2÷x=4x2÷x=4x，此选项正确；
C、（x+y）2=x2+2xy+y2，此选项错误；
D、+=﹣==﹣1，此选项错误；
故选：B．
7．（3分）如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【解答】解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．[来源:学科网ZXXK]
故符合条件的有3组．
故选：C．[来源:学#科#网]
8．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为（ ）
A．30° B．36° C．54° D．72°
【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠A=×（5﹣2）×180=108°[来源:Zxxk.Com]
又知△ABE是等腰三角形，
∴AB=AE，
∴∠ABE=（180°﹣108°）=36°．
故选：B．[来源:学#科#网]
9．（3分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）=a2﹣ab
C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，故①②正确；
∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE，
∴△EFP是等腰直角三角形，故③错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．故④正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案写在题中横线上）
11．（3分）因式分解：x2﹣3x= x（x﹣3） ．
【解答】解：x2﹣3x=x（x﹣3）．[来源:Z。xx。k.Com]
故答案为：x（x﹣3）
12．（3分）方程=1的解是 x=3 ．
【解答】解：去分母得：x﹣1=2，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
故答案为：x=3
13．（3分）如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是 15 ．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，
故答案为：15．
14．（3分）若代数式x2+kx+25是一个完全平方式，则k= ﹣10或10 ．
【解答】解：∵代数式x2+kx+25是一个完全平方式，
∴k=﹣10或10．
故答案为：﹣10或10．
15．（3分）如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 4 分钟后△CAP与△PQB全等．
【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP=AC，则x=4，
AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP=AP，则12﹣x=x，
解得：x=6，BQ=12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：4．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分，解答应写出证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：
（1）[（a+b）2﹣（a﹣b）2]÷2ab
（2）×÷（﹣）
【解答】解：（1）原式=（a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2）÷2ab
=4ab÷2ab
=2；
（2）原式=•（﹣）=﹣．
17．（8分）先化简，再求值：
（1）（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中xy=1
（2）先化简1﹣+，然后从0，1，﹣1，2四个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【解答】解：（1）原式=4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
=9xy，
当xy=1时，原式=9；
（2）原式=1﹣+
=1﹣+
=1+
=，
当x=0时，原式=2．
18．（6分）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．
【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC．
19．（8分）元旦晚会上，王老师要为她的学生及班级的六位科任老师送上贺年卡，网上购买贺年卡的优惠条件是：购买50或50张以上享受团购价．王老师发现：零售价与团购价的比是5：4，王老师计算了一下，按计划购买贺年卡只能享受零售价，如果比原计划多购买6张贺年卡就能享受团购价，这样她正好花了100元，而且比原计划还节约10元钱；
（1）贺年卡的零售价是多少？
（2）班里有多少学生？
【解答】解：（1）设零售价为5x元，团购价为4x元，则
解得，，
经检验：x=是原分式方程的解，
5x=2.5
答：零售价为2.5元；
（2）学生数为=38（人）
答：王老师的班级里有38名学生．
20．（8分）在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE．
（2）如图，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变，求证：△AEF≌△BCF．
【解答】证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
∵
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；
（2）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴∠CAD+∠C=90°，
∵BF⊥AC，∠BAC=45°，
∴∠CBF+∠C=90°，∠BFC=∠AFE=90°，BF=AF，
∴∠CAD=∠CBF；
在△AEF和△BCF中，
∵，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
21．（8分）计算下列各式：
（x﹣1）（x+1）= x2﹣1 ；
（x﹣1）（x2+x+1）= x3﹣1 ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）= x4﹣1 ；
…
（1）根据以上规律，直接写出下式的结果：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= x7﹣1 ；
（2）你能否由此归纳出一般性的结论（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）= xn﹣1 （其中n为正整数）；
（3）根据（2）的结论写出1+2+22+23+24+…+235的结果．
【解答】解：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，
故答案为：x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；
（1）（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；
（2）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x+1）=xn﹣1；
故答案为：（1）x7﹣1；（2）xn﹣1；
（3）1+2+22+23+24+…+235
=（2﹣1）（235+234+233+…+2+1）
=236﹣1．
22．（11分）如图1所示，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角三角形ADF，连接CF，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF和BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．
【解答】解：（1）CF=BD，且CF⊥BD，证明如下：
∵∠FAD=∠CAB=90°，
∴∠FAC=∠DAB．
在△ACF和△ABD中，，
∴△ACF≌△ABD
∴CF=BD，∠FCA=∠DBA，
∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°，
∴FC⊥CB，
故CF=BD，且CF⊥BD．
（2）（1）的结论仍然成立，如图2，∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；
∴CF=BD，且CF⊥BD．
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