2023-2024学年山东省济宁市汶上县八年级（上）期中数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年山东省济宁市汶上县八年级（上）期中数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在平面直角坐标系中，点（﹣7，6）关于x轴对称点是（ ）
A．（7，6）B．（﹣7，6）C．（7，﹣6）D．（﹣7，﹣6）
2．如图，AD，BC相交于点O，且AO＝DO，BO＝CO，则△ABO≌△DCO，理由是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cmB．4cm，6cm，8cm
C．5cm，6cm，12cmD．2cm，3cm，5cm
4．如图，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝50°，求∠ADB的度数（ ）
A．50°B．100°C．70°D．80°
5．如图，△ABC≌△A'B′C，其中∠A＝36°，∠C'＝24°，则∠B＝（ ）
A．150°B．120°C．90°D．60°
6．若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．十边形B．九边形C．八边形D．七边形
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．AB＝2BDB．∠B＝∠C
C．AD平分∠BACD．AD⊥BC
8．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（ ）
A．6B．5C．4D．3
10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．9D．10
11．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形PCQD是一个筝形，其中PC＝PD，CQ＝DQ，在探究筝形的性质时，得如下结论：①△PCQ≌△PDQ；②PQ⊥CD；③CE＝DE；④S四边形PCQD＝PQ•CD，其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④
12．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若点C也在格点上，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的格点数为（ ）
A．8个B．9个C．10个D．11个
二、填空题。（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）
13．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条形成三角形，这样做的道理是 ．
14．如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，请你添加一个条件，使得△ABC≌△ADE，你添加的条件是 ．（不添加任何字母和辅助线）
15．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为 ．
16．已知等腰三角形的顶角是40°，则这个等腰三角形的底角是 ．
17．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝58°，∠ABD＝22°，则∠ACF＝ ．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为 ．
三、解答题。（本大题共7个小题，共66分，解答时应写出证明过程或演算步骤。）
19．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
20．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB＝DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
21．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC（三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上）．
（1）写出△ABC的面积；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）写出点A及其对称点A1的坐标．
22．如图，△ABC的内角∠ABC平分线与它的外角∠ACD平分线交于点P．
（1）若∠A＝60°，∠ABC＝48°，求∠P的度数；
（2）猜想∠P与∠A的数量关系，并予以证明．
23．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是过A的一条直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）当直线l绕点A旋转到如图1位置时，BD与DE，CE具有怎样的等量关系？
（2）若直线l绕点A旋转到如图2位置时，试说明：DE＝BD﹣CE．
24．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
25．在学习角平分性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请同学们阅读下列材料，回答问题：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：（Ⅰ）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（Ⅱ）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（Ⅲ）画射线OC．射线OC即为所求．
（1）OC就是∠AOB的角平分线的依据是 ．
课后老师留了一道思考题，还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）？下面是两位同学给出的两种方法：
（2）①同学1：我是用三角板按下面方法画角平分线：如图1，在已知的∠AOB上，分别取OC＝OD，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB．
②同学2：我是用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图2，以O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB交于点E，F，连接CF，DE交于点P，连接OP，则OP平分∠AOB．
你认为同学2这种作角平分线的方法正确吗？若正确，请你给出证明过程；若错误，说出你的理由．
参考答案
一、选择题。（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。）
1．在平面直角坐标系中，点（﹣7，6）关于x轴对称点是（ ）
A．（7，6）B．（﹣7，6）C．（7，﹣6）D．（﹣7，﹣6）
【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．
解：点（﹣7，6）关于x轴对称点是（﹣7，﹣6），
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．
2．如图，AD，BC相交于点O，且AO＝DO，BO＝CO，则△ABO≌△DCO，理由是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】由∠AOB＝∠COD，OA＝OD，OB＝OC，可根据SAS证明△ABO≌△DCO，可得出答案．
解：∵OA＝OD，∠AOB＝∠COD，OB＝OC，
∴△ABO≌△DCO（SAS）．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cmB．4cm，6cm，8cm
C．5cm，6cm，12cmD．2cm，3cm，5cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＜4，不能组成三角形；
B、4+6＞8，能够组成三角形；
C、5+6＜12，不能组成三角形；
D、2+3＝5，不能组成三角形．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．如图，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝50°，求∠ADB的度数（ ）
A．50°B．100°C．70°D．80°
【分析】根据三角形的外角性质计算即可．
解：∠BEA是△ACE的外角，
∴∠BEA＝∠A+∠C＝70°，
∠BDA是△BDE的外角，
∴∠BDA＝∠BEA+∠B＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
5．如图，△ABC≌△A'B′C，其中∠A＝36°，∠C'＝24°，则∠B＝（ ）
A．150°B．120°C．90°D．60°
【分析】根据全等三角形的性质可得∠C的度数，然后再利用三角形内角和定理可得答案．
解：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴∠C＝∠C′＝24°，
∵∠A＝36°，
∴∠B＝180°﹣24°﹣36°＝120°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
6．若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（ ）
A．十边形B．九边形C．八边形D．七边形
【分析】由多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），可求多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2）•180°＝1080°，
∴n＝8，
即这个多边形是八边形．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握多边形的内角和定理．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．AB＝2BDB．∠B＝∠C
C．AD平分∠BACD．AD⊥BC
【分析】此题需对每一个选项进行验证从而求解．
解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点
∴∠B＝∠C，（故B正确）
AD⊥BC，（故D正确）
∠BAD＝∠CAD（故C正确）
无法得到AB＝2BD，（故A不正确）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
8．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】过点D作DF⊥AC于F，然后利用△ABC的面积公式列式计算即可得解．
解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∴S△ABC＝×4×2+AC×2＝7，
解得AC＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
10．如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．9D．10
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形PCQD是一个筝形，其中PC＝PD，CQ＝DQ，在探究筝形的性质时，得如下结论：①△PCQ≌△PDQ；②PQ⊥CD；③CE＝DE；④S四边形PCQD＝PQ•CD，其中正确的结论有（ ）
A．①②B．①②③C．②③④D．①②③④
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质即可得到结论．
解：在△PCQ与△PDQ中，
，
∴△PCQ≌△PDQ（SSS），故①正确；
∴∠CPQ＝∠DPQ，
∵CP＝DP，
∴PQ⊥CD，CE＝DE，故②③正确；
∴S四边形PCQD＝S△PCQ+S△PDQ＝PQ•CE+PQ•DE＝PQ（CE+DE）＝PQ•CD，故④正确；
故选：D．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△PCQ与△PDQ全等．
12．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，若点C也在格点上，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的格点数为（ ）
A．8个B．9个C．10个D．11个
【分析】由已知条件，利用勾股定理可知AB＝，然后即可确定C点的位置．
解：如图，
AB＝＝，
∴当△ABC为等腰三角形，则点C的个数有8个，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题。（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.）
13．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条形成三角形，这样做的道理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
解：这样做的道理是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等．
14．如图，已知AB＝AD，∠1＝∠2，请你添加一个条件，使得△ABC≌△ADE，你添加的条件是 AC＝AE或∠B＝∠D或∠C＝∠E ．（不添加任何字母和辅助线）
【分析】根据图形可知证明△ADC≌△AEB已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE．
又∵AD＝AE，
∴可以添加AC＝AE，此时满足SAS；
添加条件∠B＝∠D，此时满足ASA；
添加条件∠C＝∠E，此时满足AAS，
故答案为：AC＝AE或∠B＝∠D或∠C＝∠E．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．
15．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为 4 ．
【分析】根据△ABC≌△ADE，得到AE＝AC，由AB＝7，AC＝3，根据BE＝AB﹣AE即可解答．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC，
∵AB＝7，AC＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解决本题的关键是熟记全等三角形的对应边相等．
16．已知等腰三角形的顶角是40°，则这个等腰三角形的底角是 70° ．
【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理进行解答即可．
解：∵等腰三角形的顶角为40°，
∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
17．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝58°，∠ABD＝22°，则∠ACF＝ 56° ．
【分析】先利用角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD＝20°，再根据三角形内角和计算出∠ACB＝78°，接着根据线段垂直平分线的性质得FB＝FC，则∠FCB＝∠FBC＝22°，然后计算∠ACB﹣∠FCB即可．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝22°，
∴∠ABC＝44°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝180°﹣44°﹣58°＝78°，
∵EF垂直平分BC，
∴FB＝FC，
∴∠FCB＝∠FBC＝22°，
∴∠ACF＝∠ACB﹣∠FCB＝78°﹣22°＝56°．
故答案为：56°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为 ．
【分析】根据点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，得点A1的纵坐标是2×根据以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，得点A2的纵坐标是2×（）2此类推，得点A2023的纵坐标是，得到答案．
解：∵点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，
∴∠A1OO1＝90°﹣60°＝30°，OA1＝OA＝2，
∴A1O1＝OA1＝2×2×，点A1纵坐标是2××，
∵以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，
∴∠A2O1O2＝90°﹣60°＝30°，O1A2＝A1O1＝2×，
∴A2O2＝O1A2＝2××，点A2的纵坐标是2××，即2×，
∵以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，
同理，得点A3的纵坐标是2×，
按此规律继续作下去，得：点A2023的纵坐标是2×（）2023，即，
故答案为：．
【点评】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含30°角的直角三角形的性质，从而完成求解．
三、解答题。（本大题共7个小题，共66分，解答时应写出证明过程或演算步骤。）
19．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【分析】根据三角形的内角和定理与∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．
20．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB＝DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据BE＝CF得到BF＝CE，又∠A＝∠D，∠B＝∠C，所以△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据三角形全等得∠AFB＝∠DEC，所以是等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE．
在△ABF与△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB＝DC．
（2）△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF，
∴△OEF为等腰三角形．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据BE＝CF得到BF＝CE是证明三角形全等的关键．
21．在边长为1的小正方形组成的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点三角形ABC（三角形的三个顶点都在小正方形的顶点上）．
（1）写出△ABC的面积；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）写出点A及其对称点A1的坐标．
【分析】（1）△ABC中，AC∥y轴，以AC为底边求三角形的面积；
（2）对称轴为y轴，根据轴对称性画图；
（3）根据所画图形，写出点A及其对称点A1的坐标．
解：（1）△ABC的面积＝×7×2＝7；（1分）
（2）画图如图所示；
（3）由图形可知，点A坐标为：（﹣1，3），
点A1的坐标为：（1，3）．
【点评】本题考查了轴对称变换的作图．关键是明确图形的位置，对称轴，根据轴对称的性质画图．
22．如图，△ABC的内角∠ABC平分线与它的外角∠ACD平分线交于点P．
（1）若∠A＝60°，∠ABC＝48°，求∠P的度数；
（2）猜想∠P与∠A的数量关系，并予以证明．
【分析】（1）由三角形的外角性质可求得∠ACD＝108°，再由角平分线的定义得∠CBP＝24°，∠DCP＝54°，再利用三角形的外角性质即可求∠P；
（2）结合（1）进行求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝60°，∠ABC＝48°，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC＝108°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，
∴∠CBP＝∠ABC＝24°，∠DCP＝∠ACD＝54°，
∴∠P＝∠DCP﹣∠CBP＝30°；
（2）∠A＝2∠P，
证明：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，
∴∠CBP＝∠ABC，∠DCP＝∠ACD，
∴∠P＝∠DCP﹣∠CBP
＝∠ACD﹣∠ABC
＝（∠ACD﹣∠ABC）
＝∠A．
∴∠A＝2∠P．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
23．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是过A的一条直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）当直线l绕点A旋转到如图1位置时，BD与DE，CE具有怎样的等量关系？
（2）若直线l绕点A旋转到如图2位置时，试说明：DE＝BD﹣CE．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得AD＝CE，BD＝AE，可得结论；
（2）由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得AD＝CE，BD＝AE，可得结论．
【解答】（1）解：DE＝CE+BD，理由如下：
∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE．
∵DE＝AD+AE，
∴DE＝CE+BD；
（2）证明：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD+∠DAB＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE．
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE．
∵DE＝AE﹣AD，
∴DE＝BD﹣CE．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP即可；
（2）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）先判定△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC
∵∠BAC＝60°，
∴∠QMC＝60°；
（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变
理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．
25．在学习角平分性质的过程中，首先要探究角平分线的作图方法，请同学们阅读下列材料，回答问题：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：（Ⅰ）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（Ⅱ）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（Ⅲ）画射线OC．射线OC即为所求．
（1）OC就是∠AOB的角平分线的依据是 SSS ．
课后老师留了一道思考题，还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）？下面是两位同学给出的两种方法：
（2）①同学1：我是用三角板按下面方法画角平分线：如图1，在已知的∠AOB上，分别取OC＝OD，再分别过点C，D作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．请你帮这位同学证明：OP平分∠AOB．
②同学2：我是用圆规和直尺按下面方法画角平分线：如图2，以O为圆心，以任意长为半径画弧与OA，OB交于点C，D，再以任意长为半径画弧与OA，OB交于点E，F，连接CF，DE交于点P，连接OP，则OP平分∠AOB．
你认为同学2这种作角平分线的方法正确吗？若正确，请你给出证明过程；若错误，说出你的理由．
【分析】（1）利用“SSS”可判断△OCM≌△OCN，则可判断OC就是∠AOB的角平分线；
（2）①由作法得OC＝OD，则可判断Rt△OPC和≌Rt△OPD，从而得到OP平分∠AOB；
②由作法得OC＝OD，OE＝OF，则可判断△OCF≌△ODE，根据全等三角形的性质得到P点到OE、OF的距离相等，然后根据角平分线的性质定理的逆定理可判断点P在∠EOF的平分线上，从而得到同学2这种作角平分线的方法正确．
【解答】（1）解：利用作法得OM＝ON，CM＝CN，而OC为公共边，
所以根据“SSS”可判断△OCM≌△OCN，
∴∠MOC＝∠NOC，
即OC就是∠AOB的角平分线；
故答案为：SSS；
（2）①证明：由作法得OC＝OD，
在Rt△OPC和Rt△OPD中，
，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL），
∴∠COP＝∠DOP，
∴OP平分∠AOB；
②解：同学2这种作角平分线的方法正确．
理由如下：由作法得OC＝OD，OE＝OF，
在△OCF和△ODE中，
，
∴△OCF≌△ODE（SAS），
∴OF和OE边的高相等，
即P点到OE、OF的距离相等，
∴点P在∠EOF的平分线上，
∴OP平分∠AOB．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质．