专题23 复数经典问题-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义
展开专题23 复数经典问题
【考点预测】
一.基本概念
（1）叫虚数单位，满足 ，当时，.
（2）形如的数叫复数，记作.
①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部； Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）。两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数.
②两个复数相等（两复数对应同一点）
③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，.
二.基本性质
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数.
（3）.
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数.
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数.
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离.
【典例例题】
例1．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数，则的实部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以，
所以的实部为.
故选：A.
例2．（2023春·广东·高三统考开学考试）已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部为（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】C
【解析】，
所以，，
的实部为0．
故选：C
例3．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知复平面内点对应的复数为z，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，则，其虚部为.
故选：B
例4．（2023·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）复数z满足：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
由得，
，解得，
．
故选：A．
例5．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知i为虚数单位，复数z的共轭复数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
，则，，
∴.
故选：B.
例6．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）若复数是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】为纯虚数，
，，
故选：.
例7．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知，且为实数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为为实数，所以.
故选：A
例8．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】复数是纯虚数，
，且，故，
.
故复数在复平面内对应的点在第一象限，
故选：A.
例9．（2023·浙江·高三期末）已知复数（其中i为虚数单位），若，则（ ）
A．1 B． C．1或 D．或5
【答案】C
【解析】由题意得，则，
所以，解得或，
故选：C
例10．（2023·四川乐山·统考一模）设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】复数z满足,即，
其几何意义为复平面内的点到点和点的距离相等，
即点的轨迹为和的垂直平分线，
即z在复平面内对应的点在直线上，故，
故选：B
例11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是关于的方程的一个根,所以也是方程的根.
根据根与系数的关系可得
即得,
所以
故选:A.
例12．（2023·高三课时练习）若且，则的最小值为_______．
【答案】3
【解析】表示圆心为，半径为1的圆，而表示圆上的点到的距离，
∴最小值为圆心到点的距离减1，即最小值为，
如图所示．
故答案为：3．
例13．（2023·高三课时练习）已知复数，则______．
【答案】
【解析】，
∴，
∴.
故答案为：.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）若i为虚数单位，复数z满足，则z的实部为（ ）．
A． B．3 C． D．2
【答案】D
【解析】，
则，
则z的实部为.
故选：D.
2．（2023·湖南益阳·高三统考期末）设复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，
∵，
∴，即：，
∴，
∴
∴.
故选：D.
3．（2023·山东德州·高三统考期末）已知复数z满足3z－1＝（z＋2）i，则z＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设复数，代入，有，
则，解得，∴.
故选：D
4．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）设a为实数，若存在实数t，使为实数(i为虚数单位)，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
因为存在实数t，使为实数，a为实数，
所以存在实数t，，
故存在实数t，，
所以，
故选：A.
5．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为复数为纯虚数，
由，可知，
所以，则，
所以复数在复平面上对应的点为，
位于第四象限.
故选：D
6．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知，（为虚数单位），则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【解析】由题意知，
，
则.
故选：A.
7．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）已知复数，其中i是虚数单位，则在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，
故在复平面内所对应的点的坐标为，在第三象限.
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）若复数在复平面对应点在第三象限，则a，b满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，
又因为复数在复平面对应点在第三象限，
所以，解得.
故选：D.
9．（2023·浙江杭州·高三期末）若复数（其中i为虚数单位），则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】因为，则.
故选：C．
10．（2023春·河南濮阳·高三统考开学考试）已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】复数，故，
所以，
故选：C
11．（2023·浙江嘉兴·高三统考期末）若复数满足（为虚数单位），则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】，
，
.
故选：A.
12．（2023·浙江绍兴·高三期末）已知复数z满足，则（ ）
A． B．0 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由，则有，
所以.
故选:D．
13．（2023·山西长治·高三校联考阶段练习）已知复数的共轭复数为，且，则的值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．或2
【答案】C
【解析】或
故选：C.
14．（2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
【答案】A
【解析】设，则，解得：，
故的虚部为-1.
故选：A．
15．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知复数z满足，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，由，
由，
故选：D
16．（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）若复数z满足，则的实部为（）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】设复数，则，
则由可得且，
解得，
故，其实部为.
故选：C.
17．（2023·江苏·高三统考期末）若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，，
故选：D.
18．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知i是虚数单位，复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，∴.
故选：D
19．（2023·河北保定·高三统考期末）若，则等于（ ）
A．2 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】,
所以.
故选：B
20．（2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试）设复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
21．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意．
故选：C．
22．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）若（是虚数单位），则（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】A
【解析】因为,所以,
则,所以,
故选：A.
23．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）复数的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以复数的共轭复数是.
故选：A.
24．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知复数在复平面内的对应点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为复数在复平面内的对应点为，
所以，
所以
故选：D
25．（2023·高三课时练习）若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】若关于x的实系数方程有两个复数根，则两复数根互为共轭复数，
故该方程的另一个复数根是.
故选：A.
26．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，
即，
所以，
所以，解得，
所以，
故选：C
27．（2023·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由已知，
则z的共轭复数为，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
28．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的虚部为
A．-4 B．
C．4 D．
【答案】D
【解析】设
∴ ，解得
考点：本题考查复数运算及复数的概念
点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念
二、多选题
29．（2023·河北唐山·高三统考期末）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【解析】A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，，
，
若，则，解得，所以C选项正确.
D选项，当时，，所以D选项错误.
故选：AC
30．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，则下列各项正确的为（ ）
A．复数的虚部为 B．复数为纯虚数
C．复数的共轭复数对应点在第四象限 D．复数的模为5
【答案】BC
【解析】∵，则可得：
复数的虚部为1，A错误；
为纯虚数，B正确；
复数的共轭复数为，其对应点为，在第四象限，C正确；
复数的模为，D错误；
故选：BC．
三、填空题
31．（2023·高三课时练习）复数的虚部是______．
【答案】
【解析】，
∴的虚部为.
故答案为：.
32．（2023·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知为虚数单位，若复数，则实数的值为__________．
【答案】-2
【解析】，
由，所以复数为实数，则，，
此时，满足.
故答案为：-2
33．（2023·上海静安·统考一模）已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】，
∴复数在复平面内对应的点为，
由已知，在第二象限，
∴，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
34．（2023·全国·高三专题练习）设复数，若复数对应的点在直线上， 则的最小值为___________
【答案】9
【解析】
故复数对应的点的坐标为 ，又因为点在直线
，整理得：
当且仅当 时，即 时等号成立，即的最小值为9
故答案为：9
35．（2023·全国·高三专题练习）如果复数z满足，那么的最大值是______ ．
【答案】2
【解析】设复数z在复平面中对应的点为
∵，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆
表示点到点的距离，结合图形可得
故答案为：．
