新高考艺术生40天突破数学90分讲义第22讲解三角形(原卷版+解析)

这是一份新高考艺术生40天突破数学90分讲义第22讲解三角形(原卷版+解析)，共60页。

1.角的关系
2.正弦定理
为的外接圆的直径）.
正弦定理的应用：
已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
若,已知角Ａ求角Ｂ.
若,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.
3.余弦定理
（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）
（已知三边求角）.
余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；
已知三边求角；
③已知两边及一边对角未知第三边.
4.三角形面积公式
【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形
例3．（2022·全国·模拟预测）已知的内角所对的边分别为.且， 在①的周长为6；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.
（1）求；
（2）求的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.
例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在中，，点D在BC边上，且，，
（1）求AC的长；
（2）求的值.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的值域．
（Ⅱ）在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，，且，求面积的最大值．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
2．（2022·全国·高三专题练习）在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知的内角所对的边分别为满足且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，则等于（ ）
A．或B．或C．D．
5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物在它们之间的地面上的点三点共线）处测得楼顶､楼顶的仰角分别是和在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=1，b=，B=60°，则A=（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
7．（2022·全国·高三专题练习）已知中，，，，则（ ）
A．B．或C．D．或
8．（2022·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，已知的外接圆半径为的周长为则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·全国·高三专题练习）在中，.则的面积为（ ）
A．B．6C．D．
10．（2022·浙江·高三专题练习）在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，使得三角形有两解的条件是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A、、所对的边分别为、、，其中，，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
13．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，，．则( )
A．B．C．D．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知中，内角对应的边分别为，，，若，，则的面积为( )
A．B．C．4D．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为（ ）
A．B．1C．2D．4
16．（2022·浙江·高三专题练习）在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是（ ）
A．3B．C．D．
17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，，分别为内角，，的对边，，的面积为，则（ ）
A．45°B．60°C．120°D．150°
18．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则最小内角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2022·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为（ ）．
A．20 mB．30 mC．40 mD．50 m
二、多选题
21．（2022·全国·高三专题练习）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
22．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，为三个内角，，的对边，若，则角（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
23．（2022·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则___________
24．（2022·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
25．（2022·全国·高三专题练习（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，的面积，则的外接圆的面积为__________．
26．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，，则外接圆的面积为__________.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知外接圆的直径为d，，，，则___________.
28．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A、、所对的边分别为、、，若，则最大角等于_________．
29．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______.
30．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c的值等于__________
31．（2022·全国·高三专题练习）已知在中，，则________.
32．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形中，，，，，，则四边形的面积为________.
33．（2022·全国·高三专题练习）为测量山高.选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得N点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得.已知山高米.则所求山高为___________米.
四、解答题
34．（2022·全国·高三专题练习）在中， 分别为内角的对边，且
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，试判断 的形状．
35．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，a＝8，b＝6，csA，求：
（1）角B；
（2）BC边上的高．
36．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求，的值：
（2）求的值．
37．（2022·全国·高三专题练习）在中，分别为角的对边，且.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
38．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知角，，所对边分别为，，，.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
39．（2022·天津北辰·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知
（1）若，求角A的大小；
（2）若，求的面积．
40．（2022·上海·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且
（1）求的值；
（2）若，，求B和c.
41．（2022·全国·高三专题练习）从①，②，③，这个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在中，角，，的对边分别为，，，______．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
42．（2022·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长．
43．（2022·全国·高三专题练习）在钝角中，角，，所对的边分别是，，，.
（1）求的值.
（2）若，，求的面积.
44．（2022·全国·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的面积，，求.
45．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）从条件①；条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
46．（2022·全国·高三专题练习）中，，点在边上，平分.
（1）若，求；
（2）若，且的面积为，求.
47．（2022·全国·高三专题练习（文））在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足，若
（1）求角B；
（2）若周长为6，求的面积.
48．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
49．（2022·全国·高三专题练习（文））在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知的面积为，求边b．
50．（2022·全国·模拟预测）在△中，角的对边分别为，.
（1）求；
（2）是边上的中点，求的长.
51．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
52．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形中，，，，，.
（1）求；
（2）求.
53．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形，，为边上的一点，，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求的面积及的长．
条件①；条件②；条件③．
54．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
55．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，．
（1）求；
（2）若，求四边形的面积．
56．（2022·全国·高三专题练习）如图，中，角成等差数列，，，为的中点.
（1）若，求；
（2）若，记，且，求的值．
57．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
58．（2022·全国·高三专题练习）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与现测得，，米，又在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.
第22讲 解三角形
【知识点总结】
1.角的关系
2.正弦定理
为的外接圆的直径）.
正弦定理的应用：
已知两角及一边求解三角形.
②已知两边及其中一边的对角，求另一对角：
若,已知角Ａ求角Ｂ.
若,已知角Ａ求角Ｂ，一解（锐角）.
3.余弦定理
（已知两边a,b及夹角Ｃ求第三边c）
（已知三边求角）.
余弦定理的应用：
①已知两边及夹角求解第三边；
已知三边求角；
③已知两边及一边对角未知第三边.
4.三角形面积公式
【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
因为这个三角形有两解，故满足，
即，解得.
故选：B
例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】C
【详解】
因为，
由正弦定理可得：，
所以，
所以，
所以或，
即(舍去)或，
故为直角三角形，
故选：C
例3．（2022·全国·模拟预测）已知的内角所对的边分别为.且， 在①的周长为6；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面横线中，并解答下列问题.
（1）求；
（2）求的面积.注:如果选择多个条件分别解答﹐按第一个解答计分.
【解析】
（1）由正弦定理及
得，即，
由余弦定理得，
由于，所以
（2）选①:由的周长为，得，
由（1）得
所以，
所以的面积为.
选②:由正弦定理及得，
由余弦定理得，，即，解得
所以，
所以的面积为.
选③:由正弦定理及，得，
因为，所以，
所以，即，整理可得，
因为，则，所以为等边三角形，
所以的面积为.
例4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．
（1）若，求c的值；
（2）求的最大值．
【详解】
（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．
又，∴．
由正弦定理，得，即．
由余弦定理，得，
即，解得．
（2）由正弦定理，得，
∴，．
∴
．
由，得．
所以当时，即时，．
例5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在中，，点D在BC边上，且，，
（1）求AC的长；
（2）求的值.
【详解】
（1），，，
在中，由余弦定理得，
（2），所以，又由题意可得，
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（Ⅰ）求函数在区间上的值域．
（Ⅱ）在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，，且，求面积的最大值．
【详解】
解：（Ⅰ）
，
由，有，所以
函数的值域为．
（Ⅱ）由，有，
为锐角，，．
，由余弦定理得：，
，．
，
当，即为正三角形时，的面积有最大值．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】
由已知条件，结合正弦定理得，有或，即可知正确选项.
【详解】
由知：，即，
∴，即或，
∴或，
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）在△中，内角A，，所对的边分别为，，，，，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据面积公式及余弦定理求出，以及根据正弦定理变形，进一步求出答案.
【详解】
∴
∴，
∴
∴.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知的内角所对的边分别为满足且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先利用余弦定理求得，再利用正弦定理求解即可.
【详解】
由题，,
又，，，
故选：A.
4．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，，则等于（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】A
【详解】
由正弦定理知，
∴，
∵，，∴或.
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物在它们之间的地面上的点三点共线）处测得楼顶､楼顶的仰角分别是和在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
分别在，及应用正弦定理求解.
【详解】
在中，则
在中，因为，
所以
因为，所以，故.
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=1，b=，B=60°，则A=（ ）
A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°
【答案】A
【分析】
根据正弦定理的式子，代入题中数据算出，结合△ABC中A【详解】
解：∵在△ABC中，B=60°，
∴根据正弦定理，可得，
又∵在△ABC中a故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知中，，，，则（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】
直接利用正弦定理计算即可得出答案.
【详解】
解：因为，，，
，
所以，
所以或.
故选：D.
8．（2022·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，已知的外接圆半径为的周长为则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
首先由余弦定理可得，所以，再由正弦定理可得 ，根据周长为9，由即可得解.
【详解】
在中，由可得，
所以，
由可得，
所以，
由的周长为所以，
由
可得，
所以，所以，
故选：B
9．（2022·全国·高三专题练习）在中，.则的面积为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】A
【分析】
由余弦定理可得，由正弦定理可得，解得和的值，再由即可得解．
【详解】
，
，
，
.
解得：，
的面积为.
故选：A.
10．（2022·浙江·高三专题练习）在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根据三角形的性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，已知两边及夹角，由余弦定理可知第三边为定值，故只有一个解；
对于B选项，已知两角及任意一边，则三角形确定，只有一个解；
对于C选项，由正弦定理得，所以有两个解；
对于D选项，由正弦定理和大边对大角得为小于的锐角，故只有一个解.
故选：C
11．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，使得三角形有两解的条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
计算到的距离，结合图形即可得出结论．
【详解】
，，
到的距离，
当时，三角形无解，
当时，三角形有一解，
当时，三角形有两解，
当时，三角形有一解．
故选：．
12．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A、、所对的边分别为、、，其中，，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】
根据题意，利用正弦定理得到，进而得到，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意知，
根据正弦定理，可得，
因为，所以，即，
则，
当且仅当时等号成立，即的最小值为8．
故选：C．
13．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，，．则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用正弦定理并结合已知条件即可求解.
【详解】
由正弦定理可得，.
故选：A.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知中，内角对应的边分别为，，，若，，则的面积为( )
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】
已知两边之和与第三边，直接套用余弦定理公式求出两边之积，再代入面积公式计算.
【详解】
由余弦定理可得，所以.
所以．
故选：A．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】
根据题意，结合余弦定理化简得出，从而求得，最后利用三角形的面积公式，即可求出结果.
【详解】
解：已知，
由余弦定理得：，
解得：，故，
.
所以的面积为1.
故选：B.
16．（2022·浙江·高三专题练习）在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】
先根据题意以及余弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求解.
【详解】
解：，
即，
由余弦定理得：，
解得：，
则的面积为：.
故选：C.
17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知，，分别为内角，，的对边，，的面积为，则（ ）
A．45°B．60°C．120°D．150°
【答案】A
【分析】
由余弦定理和面积公式分别可得，，可得即可得解.
【详解】
由余弦定理可得：
由
可得，
所以，
即，由，
所以.
故选：A.
18．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则最小内角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先根据题意得到，从而得到，即可得到的最小内角为角A，再计算即可.
【详解】
因为，所以，
解得，可知的最小内角为角A，
所以.
19．（2022·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据给定条件结合余弦定理求出即可得解.
【详解】
在中，因，
由余弦定理得，而，
所以.
故选：D
20．（2022·全国·高三专题练习）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为（ ）．
A．20 mB．30 mC．40 mD．50 m
【答案】D
【分析】
根据正弦定理，结合三角形内角和定理进行求解即可.
【详解】
由三角形内角和定理可知：，
由正弦定理得:，
故选：D
二、多选题
21．（2022·全国·高三专题练习）下列在解三角形的过程中，只能有1个解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】BCD
【分析】
利用正弦定理、余弦定理一一判断即可；
【详解】
解：根据题意，在A条件下，因为，所以角B在和上各有一个解，并且这两个解与角A的和都小于，所以A不满足；在B条件下，，，，根据余弦定理可得，即，解得或（舍），所以只有1个解，满足题意；在C条件下，条件为边角边，所以有唯一解；在D条件下，，因为，所以角A在和上各有一个解，当解在时，角B与角A的和大于，所以只有1个解，满足题意，
故选：BCD．
22．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，为三个内角，，的对边，若，则角（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】
由余弦定理化边为角即得.
【详解】
由题得
根据余弦定理可知，
∴或．
故选：BD.
三、填空题
23．（2022·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则___________
【答案】5
【分析】
先结合B的范围和同角三角函数的平方关系得到，再利用正弦定理，即得解
【详解】
由题意，由于为的内角，故
由正弦定理，
代入可得：
故答案为：5
24．（2022·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
【答案】
【分析】
利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得，由此求得三角形的面积.
【详解】
由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
因为sin Bsin C≠0，所以.
因为b2＋c2－a2＝8，所以，
，
故.
所以.
故答案为：
25．（2022·全国·高三专题练习（文））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，的面积，则的外接圆的面积为__________．
【答案】
【分析】
由的面积，可求得，再利用余弦定理求出，然后利用正弦定理求出的外接圆的半径，从而可求出外接圆面积
【详解】
因为，所以，
由余弦定理得，所以，
所以．
所以的外接圆的面积为．
故答案为：
26．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，，则外接圆的面积为__________.
【答案】
【分析】
将给定等式消去角C，而求得A，再由正弦定理求出外接圆半径即可得解.
【详解】
中，因，则，
化简得，而sinB>0，则tanA=1，，
外接圆半径为R，由正弦定理得，即R=1，
所以外接圆的面积为.
故答案为：
27．（2022·全国·高三专题练习）已知外接圆的直径为d，，，，则___________.
【答案】
【分析】
根据余弦定理，求得，根据同角三角函数的关系，求得，利用正弦定理，即可求得答案.
【详解】
由余弦定理得：，
所以，
由正弦定理得.
故答案为：
28．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A、、所对的边分别为、、，若，则最大角等于_________．
【答案】
【分析】
由，利用正弦定理可得，从而可得角A为最大角，设，再利用余弦定理即可的解.
【详解】
解：因为，所以，
所以，所以，
设，
则，所以，
即最大角为.
故答案为：
29．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______.
【答案】
【分析】
利用余弦定理求得边c，再利用三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】
解：因为，所以，
则，即，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
30．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c的值等于__________
【答案】
【分析】
由余弦定理把角化为边，即可求得，再由余弦定理即可求解
【详解】
，
∴，
又，则，
∴，，
又，
故，
∴.
故答案为：
31．（2022·全国·高三专题练习）已知在中，，则________.
【答案】
【分析】
利用正弦定理将角化边可得，再由余弦定理可求出，进而可求，从而利用二倍角公式可解.
【详解】
解：因为，
所以由正弦定理得，即，
由余弦定理得，所以，从而，
所以，
故答案为：.
32．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示四边形中，，，，，，则四边形的面积为________.
【答案】
【分析】
由已知条件可得，，，应用三角形面积公式求，，即可求四边形的面积.
【详解】
由题意，知：，且，，
∴，，
∴四边形的面积.
故答案为：
33．（2022·全国·高三专题练习）为测量山高.选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得N点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得.已知山高米.则所求山高为___________米.
【答案】
【分析】
在中可求得，再在利用正弦定理可求出，即可求得山高.
【详解】
由题，在中，，，
在中，，，则，
由正弦定理可得，即，解得，
又在中，，，
所以所求山高为米.
故答案为：.
四、解答题
34．（2022·全国·高三专题练习）在中， 分别为内角的对边，且
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，试判断 的形状．
【答案】 ，等腰三角形
【详解】
试题分析：（1）利用正弦定理，化简得，在利用余弦定理，求解，即可求解角的大小；（2）由（1），利用两角差的正弦函数，化简得，即可求解的最大值.
试题解析：（1）由已知，根据正弦定理得
即，由余弦定理得
故，
（2）由（1）得：
故当时，取得最大值1，此时三角形为等腰三角形.
考点：正弦定理；余弦定理.
35．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，a＝8，b＝6，csA，求：
（1）角B；
（2）BC边上的高．
【答案】（1）B（2）4
【分析】
（1）由同角的三角函数关系可得sinA,再根据正弦定理解得sinB,即可求角；
（2）先可求得,即可求得面积,进而求得BC边上的高
【详解】
（1）在△ABC中,a＝8,b＝6,csA,所以角A为钝角,由sin2A+cs2A＝1,解得sinA,
由正弦定理可得,解得sinB,所以B
（2）由（1）可得sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB,
所以,
由于,解得h＝4,
故BC边上的高为4
【点睛】
本题考查求三角函数值,考查正弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力
36．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求，的值：
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）利用二倍角公式求得，由此求得，结合已知条件和余弦定理求得；
（2）先求得，由正弦定理求得.
【详解】
（1）由，得，
因为在中，，得，
由于，所以.
由余弦定理，得，
因为，所以，
解得，所以.
（2）由（1）得，
由正弦定理得.
37．（2022·全国·高三专题练习）在中，分别为角的对边，且.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据正弦定理即可解决.
（2）利用正弦定理表示出，再根据是锐角三角形求出角C的范围即可得到的取值范围.
【详解】
（1）由正弦定理得：，
，，
，
整理可得：，
，，，又，；
（2）为锐角三角形，，，即，
解得：；
由正弦定理可得：，
，，则，，
即的取值范围为.
38．（2022·全国·高三专题练习）在中，已知角，，所对边分别为，，，.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）对已知中的正切化为正弦比余弦，然后化简变形可得，从而可得，再结合三角形内角和可求出角；
（2）方法一：由余弦定理结合基本不等式可得，再由三角形两边之和大于第三边可求得答案；方法二：由正弦定理表示出，从而可得，而，代入化简后利用三角函数的性质可求得答案
【详解】
（1）因为，
所以；
即，
所以，
故或，
解得或（舍
又因为在中，，
所以.
（2）（法一）由余弦定理知，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
又因为，，是的三条边，
所以，
所以.
（2）（法二）因为，，
由正弦定理，，
所以.
所以，，
因为，，是的三个内角，且.
所以，
所以，
所以，
所以.
39．（2022·天津北辰·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知
（1）若，求角A的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用正弦定理计算可得；
（2）首先利用余弦定理求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据面积公式计算可得；
【详解】
解：（1）由已知条件可知，，
根据正弦定理可得，
得
，
，
．
（2）由余弦定理得，，即
，
因为，所以
所以
40．（2022·上海·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且
（1）求的值；
（2）若，，求B和c.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）根据题设条件和三角恒等变换的公式，求得，即可求解.
（2）由，得到，利用弦定理求得，得到，进而求得的值，进而求得的值.
【详解】
（1）因为，
所以，
即，
即
即.
（2）因为，因为，所以，
由正弦定理得，所以
因为为钝角，所以为锐角，故，
所以，
所以.
41．（2022·全国·高三专题练习）从①，②，③，这个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在中，角，，的对边分别为，，，______．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案不唯一，具体见解析．
【分析】
（1）若选①:用二倍角公式将展开，化简等式即可得解.
若选②和③：用正弦定理将等式两边的边化成角，再用两角和的正弦公式化简即可得解.
(2)用余弦定理及，可算出bc的最大值，代入三角形的面积公式即可.
【详解】
解：（1）若选①：，可得
因为，所以，
故，即，
由，可知，所以．
（2）由余弦定理可知，即．
因为，所以，
当且仅当时“”成立．
所以面积的最大值为．
若选②：由正弦定理可得．
即．因为，所以．
故，解得．
因为，所以；
（2）由余弦定理，即．
因为，所以，
当且仅当时，“”成立；
所以面积的最大值为．
若选③：由正弦定理．
因为，所以，可得，
因为，所以，所以．
因为，所以．
（2）由余弦定理可知，即．
因为，所以，
当且仅当时，“”成立；
所以面积的最大值为．
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
42．（2022·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若点在上，满足为的平分线，且，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由正弦定理进行角化边的运算，可得到，应用余弦定理可得到角；（2）因为为的平分线，则，用两角和的正弦公式可计算，再由正弦定理可得的长.
【详解】
解：
（1）由正弦定理及得，，
由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）由（1）得角，
又因为为的平分线，点在上，所以，
又因为，且，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
即，解得．
【点睛】
思路点睛：解三角形的问题，常用正弦定理将边化角或角化边，再用正余弦定理解三角形即可.
43．（2022·全国·高三专题练习）在钝角中，角，，所对的边分别是，，，.
（1）求的值.
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据正弦定理及三角变换公式可得，从而可求的值.
（2）利用余弦定理可得的关系，结合（1）的结果可求的值，从而可求面积.
【详解】
解：（1）∵即，
又为钝角三角，∴，∴，
即，所以由正弦定理得，∴.
（2）∵，
∴由余弦定理得，
∴，故,∴.
44．（2022·全国·高三专题练习）的内角，，的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的面积，，求.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4
【分析】
（Ⅰ）由正弦定理统一为角，进行三角恒等变换即可求解;
（Ⅱ）由（Ⅰ）及面积公式可求出，分，分别化简求解即可.
【详解】
（Ⅰ）∵，
由正弦定理得，
∴，
故，
整理得.
∵，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
∵，
∴.
∵，
∴. ①
∵，
∴，
即， ②
当时，.
由（Ⅰ）知，可得.
易知在中，，代入①得，，则；
当时，由②得，
由正弦定理得，与①联立得，
∴，.
由余弦定理得，可得.
综上，.
45．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）从条件①；条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】
（1）由题设条件和正弦定理，化简得，求得，即可求解；
（2）条件①：由，和，根据余弦定理求得，结合面积公式，即可求解；
条件②：由且，根据正弦定理求得，进而求得的值，结合面积公式，即可求解．
【详解】
（1）因为，由正弦定理．
因为，所以．
又因为，所以．
（2）条件①：；
因为，由（1）得，
所以根据余弦定理得，可得，解得．
所以的面积，
条件②：；
由（1）知且，
根据正弦定理得，所以，
因为，
所以，
所以的面积．
46．（2022·全国·高三专题练习）中，，点在边上，平分.
（1）若，求；
（2）若，且的面积为，求.
【答案】（1）或；（2）
【分析】
（1）在中，利用正弦定理可得，从而可得，再由，展开即可求解.
（2）利用三角形的面积公式可得，从而解得，根据三角形的面积求出，再由余弦定理即可求解.
【详解】
（1）令的边为，
由题意可得，
因为，，
为锐角，即，
，，
，，
，
当时，，
当时，，
所以或.
（2）,
设，
，
由，，
可得，
因为，则，
，
，
解得，，
，
即.
47．（2022·全国·高三专题练习（文））在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足，若
（1）求角B；
（2）若周长为6，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据余弦定理和题设条件，化简得到，由正弦定理和三角形的内角和定理、两角和的正弦公式化简得到，求得，即可求解；
（2）由（1）得到是直角三角形，根据题设求得边长，结合面积公式，即可求解.
【详解】
（1）由余弦定理，可得，
因为，可得，
因为，所以，
又由正弦定理得，
又因为，
代入整理得，即，
所以或（舍去），所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，所以是直角三角形
令，可得，则，解得，
所以.
48．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）；（2）面积为.
【分析】
（1）根据三角形内角和定理、诱导公式以及同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）由（1）可知或，由，即可求出，从而求出、，即可得到，最后根据面积公式计算可得；
【详解】
（1）在中，，即，
所以，
由题意得.
两边平方可得，根据，
可整理为，解得，或（舍去），
所以.
（2）由（1）可知或，由，可知为钝角，所以，
又由，解得，，
所以，
所以的面积为，
综上所述，的面积为.
49．（2022·全国·高三专题练习（文））在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）已知的面积为，求边b．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）结合正弦定理进行边角转化，逆用两角和的正弦公式即可求出结果；
（Ⅱ）利用同角的平方关系即可求出，进而结合三角形的面积公式即可求出边长，再结合余弦定理即可求出边b.
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理，（其中R为外接圆的半径），所以，，，
代入已知条件可得：，
所以，即，
，故．
（Ⅱ）因为，且，所以，故，所以的面积为，
故，解得，
所以，即．
50．（2022·全国·模拟预测）在△中，角的对边分别为，.
（1）求；
（2）是边上的中点，求的长.
【答案】
（1）；
（2）1.
【分析】
（1）由正弦定理边角关系、三角形内角的性质可得，即可求角B；
（2）应用余弦定理求的长度，由结合向量数量积的运算律求的模即可.
（1）
由已知及正弦定理得：，又，
∴，则，又，
∴.
（2）
在△中，由余弦定理得，解得舍去)，
又，
∴.
51．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）将化为，然后变形可得答案；
（Ⅱ），然后将其化成正弦型函数，可得答案.
【详解】
（Ⅰ）由正弦定理可得
即
又因为，所以，
∵，所以
（Ⅱ）
∵，∴，
所以
即
52．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形中，，，，，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）在中，结合正弦定理即可求出结果；
（2）结合两角差的余弦公式求出，在中利用余弦定理求出的长度，进而在中利用余弦定理即可求出结果.
【详解】
连接,
（1），，，，，
由正弦定理得，即，
所以；
（2）由题意得为锐角，结合（1）得，
因为，所以，
，
由余弦定理得，，因为，解得，
由余弦定理得，因为，所以.
53．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形，，为边上的一点，，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，求的面积及的长．
条件①；条件②；条件③．
【答案】答案见解析.
【分析】
选①②，由，求出，再求出AD，BC即可；
选①③，求出AD，，BC，利用即可；
选②③，求出，AD，AC，再利用，求出即可求出面积，再由余弦定理即可得结果.
【详解】
选①②，，，，
∵，∴，
∵在中，，
∴，∵，
∴，，，
在中，∴，，
∴，
．
选①③，，，
在中，，，
在中，∵，
∴，∴，∴，
∴．
选②③，，，
∵，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵在中，，
∴，∴．
54．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面四边形中，，，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由正弦定理求得，根据三角形内角和求出，从而求得；
（2）由（1）可知，再结合余弦定理即可求得结果．
【详解】
（1）由正弦定理，得，
即.
所以，故.
所以
.
（2）由（1）可知，所以.
由余弦定理，得，
所以.
55．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，．
（1）求；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由余弦定理得出，再由正弦定理得出，进而由角平分线的性质得出；
（2）先由平方关系以及差角公式求出，再由正弦定理求出，进而由三角形面积公式得出四边形的面积．
【详解】
解：（1）中，，
由余弦定理可得，所以，
再由正弦定理，可得
又因为为的角平分线，所以；
（2）中，，，
所以
从而
由正弦定理可得
而
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键在于利用正余弦定理解三角形，由三角形面积公式得出四边形的面积.
56．（2022·全国·高三专题练习）如图，中，角成等差数列，，，为的中点.
（1）若，求；
（2）若，记，且，求的值．
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由角成等差数列，可得，由可得的值，在中，由余弦定理可得的值；
（2）依题意，，且，在中，，
在中有，代入化简可得的值.
【详解】
解：（1）因为角成等差数列，所以；
由，即，
又因为，，所以；
在中，由余弦定理得，，
即，解得.
（2）依题意，；因为，所以．
在中，，在中，，
由正弦定理得，，即，
化简得，于是．
因为，所以，
所以，解得，故．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题形，注意运算准确.
57．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）C＝60°.（2）2．
【详解】
试题分析：（1）连接BD,因为角A和C互补，所以,那么在和内用余弦定理表示,方程联立可得和BD;（2）根据（1）的结果表示和,代入三角形的面积公式．
试题解析：（1）由题意及余弦定理，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcs C＝13－12cs C①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcs A＝5＋4cs C②
由①，②得cs C＝，故C＝60°，BD＝．
（2）四边形ABCD的面积
S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C
＝sin 60°
考点：1．余弦定理；2．三角形面积公式．
58．（2022·全国·高三专题练习）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与现测得，，米，又在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.
【答案】米.
【分析】
利用正弦定理先求解出的值，然后根据直角三角形中的边角关系求解出的长度.
【详解】
因为，所以，
又因为，所以，所以米，
又因为，所以，所以米，
所以塔高为米.