华师大版九年级上册5.一元二次方程的根与系数的关系学案及答案
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这是一份华师大版九年级上册5.一元二次方程的根与系数的关系学案及答案,共5页。学案主要包含了新知预习,课堂小结等内容,欢迎下载使用。
第22章 一元二次方程22.2 一元二次方程的解法*5 一元二次方程根与系数的关系学习目标:1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系(重点); 3.学会用根与系数的关系求字母的值(难点). 自主学习一、新知预习问题 解下列方程,将得到的解填入下面的表格中,观察表中x1+x2,x1·x2的值,它们 一元二次方程的各系数之间有什么关系?从中你能发现什么规律? x1x2x1+x2x1x2x2+6x-16=0 x2-6x+8=0 猜想1 若方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则x1+x2=______,x1·x2=______. x1x2x1+x2x1x22x2-3x+1=0 2x2+3x-5=0 猜想2 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=_____,x1·x2=_____.合作探究一、探究过程探究点1:一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)【验证猜想】对于一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,设方程的两个根分别为x1,x2, 求x1+x2,x1x2的值.根据公式法,我们可以知道x1=_________,x2=_________.则x1+x2=______,x1x2=______.【归纳总结】一元二次方程根与系数的关系:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=_____,x1·x2=______.【典例精析】 例1设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:(1) (2)解:根据根与系数的关系,可知x1+x2=______,x1x2=_______.(1)=________=_______.(2)=____________=______;【归纳总结】解决此类问题先要确定a,b,c的值及Δ=b²-4ac的符号.若Δ≥0,再求出的x1+x2,x1x2值,再将所求式做适当变形,把x1+x2与x1x2的值整体代入求解即可.【针对训练】1.已知α,β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根,则α2+αβ+β2的值为( )A.-1 B.9 C.23 D.272.请写出两根分别是2和-5的一个一元二次方程_______________.探究点2:一元二次方程根与系数的关系的应用例2已知方程的一个根是-3,求另一根及k的值.解:方法一:∵方程的一个根为-3,∴把x=-3代入得 ,解得k= ,把k= 代入原方程得 ,解得x1= ,x2=____.∴k= ,方程的另一个根为 . 方法二:∵方程的一个根为-3,∴x1+x2=_ ,x1x2=_ ,∴把x1=-3代入得 ,解得x2= ,把x1=-3,x2= 代入x1+x2=_ ,解得k= ,∴k= ,方程的另一个根为 . 【归纳总结】利用根与系数的关系求未知字母的值时,求出的值必须保证原方程有解,通常解这类题目时,最后都需要检验.【针对训练】3.已知的两个实数根,求的值. 4.关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,求的值. 二、课堂小结根与系数的关系公式x1+x2= ,x1·x2= .x1+x2= ,x1·x2= .应用应用前提方程必须有解.应用形式①已知一根求另一根和未知系数;②求变形式的值;③已知两根求方程;④已知两个根的数量关系,求未知字母的值(要注意取舍).当堂检测1.若方程的两个根为,,则的值是 .2.已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,则+的值是( )A.7 B.-7 C.11 D.-113.设x1,x2是一元二次方程3x2+6x-=0的两个实数根,不解方程,求下列各式的值.(1)x·x2+x1·x; (2)|x1-x2|. 4.设x1,x2是关于x的方程x2-4x+k+1=0的两个实数根.问:是否存在实数k,使得3x1·x2-x1>x2成立?若存在,请求出k的取值范围;若不存在,请说明理由. 已知a,b,c是Rt△ABC三边的长,a<b<c,(1)求证:关于x的方程a(1-x2)-2bx+c(1+x2)=0有两个不相等的实数根;(2)若c=3a,x1,x2是这个方程的两根,求x+x的值. 参考答案自主学习一、新知预习2 -8 -6 -16 2 4 6 8 猜想1 -p q 1 - 1 - - 猜想2 - 合作探究 一、 探究过程探究点1:【验证猜想】(1) (2)- 【归纳总结】- 【典例精析】例1 -2 - (1)x1x2+2(x1+x2)+4 - (2) 【针对训练】1.D 2. x²+3x-10=0(答案不唯一,合理即可)探究点2:例2 方法一:18-3k-9=0 3 3 2x²+3x-9=0 -3 3 方法二:- - x1x2= - - 3 3 【针对训练】3.解:∵Δ=2²-4×(-2005)=8024>0,a=1,b=2,c=2005,∴α²+3α+β=α²+2α+α+β=2005+(-2)=2003.4. 解:∵x1、x2是一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根,∴x1+x2=m,x1x2=2m-1.
∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=7,∴m2-2(2m-1)=7,解得m1=5,m2=-1.当m=5时,原方程无解,所以m=-1.即原方程为x²+x-3.∴=(x1+x2)2-4x1x2=13.二、课堂小结 -p q - 当堂检测-1 2.A3. 解:x1+x2=-2,x1·x2=-.(1)x·x2+x1·x=x1x2(x1+x2)=-×(-2)=3.(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2) 2-4×=4+6=10.∴|x1-x2|=.4.解:存在.∵关于x的方程x2-4x+k+1=0有两个实数根,∴Δ=16-4(k+1)≥0.∴k≤3.又3x1·x2-x1>x2,∴3x1·x2-(x1+x2)>0.∵x1+x2=4,x1·x2=k+1,∴3×(k+1)-4>0.∴k>.∴<k≤3.∴存在实数k,使得3x1·x2-x1>x2成立.5.(1)证明:把方程a(1-x2)-2bx+c(1+x2)=0化成一般形式为(c-a)x2-2bx+a+c=0,其判别式Δ=8b2-4a2+4c2.∵a,b,c是Rt△ABC三边的长,且a<b<c,∴c²=a²+b².Δ=8b2-4a2+4c2=4b²>0.∴方程a(1-x2)-2bx+c(1+x2)=0有两个不相等的实数根.(2)解:∵x1+x2=,x1·x2=,又c=3a,∴x1+x2=,x1·x2=2,∴x+x=(x1+x2)²-2x1x2=-4.∵c²=a²+b²,c=3a,∴b²=8a².∴x+x=-4=16-4=12.
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