2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用答案

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专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用答案部分2019年1.解析 解法一：（1）过A作，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.'因为PB⊥AB，所以.所以.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，联结AD，由（1）知，从而，所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，B=15，此时；当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，直线PB的方程为.所以P（−13，9），.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，联结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：.在线段AD上取点M（3，），因为，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设为l上一点，且，由（1）知，B=15，此时（−13，9）；当∠OBP>90°时，在中，.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）    2010-2018年1．C【解析】由题意可得（其中，），∵,∴，，∴当时，取得最大值3，故选C． 2．B【解析】由于．当时，的最小正周期为；当时，的最小正周期；的变化会引起的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B．注：在函数中，的最小正周期是和的最小正周期的公倍数．3．C【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．4．D【解析】对于A，当或时，均为1，而与此时均有两个值，故A、B错误；对于C，当或时，，而由两个值，故C错误，选D．5．B【解析】由于，故排除选项C、D；当点在上时，．不难发现的图象是非线性，排除A．6．C【解析】由题意知，，当时，；当时，，故选C．7．A【解析】由，得，所以，所以，由正弦函数的性质知与的图象的对称轴相同，令，则，所以函数的图象的对称轴为，当，得，选A．8．   【解析】，所以9．7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．10．【解析】∵，∴，∴，∵，∴．11．（1）3；（2）【解析】（1），当，点P的坐标为（0，）时；（2）曲线的半周期为，由图知，，设的横坐标分别为．设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则，由几何概型知该点在△ABC内的概率为．12．【解析】(1)连结并延长交于，则⊥，所以=10．过作⊥于，则∥，所以，故，，则矩形的面积为，的面积为．过作⊥，分别交圆弧和的延长线于和，则．令，则，．当时，才能作出满足条件的矩形，所以的取值范围是．答：矩形的面积为平方米，的面积为，的取值范围是．(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，则年总产值为，．设，，则．令，得，当时，，所以为增函数；当时，，所以为减函数，因此，当时，取到最大值．答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．13．【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，．记玻璃棒的另一端落在上点处．因为，．所以，从而．记与水平的交点为，过作，为垂足，则平面，故，从而．答：玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)    （2）如图，，是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，⊥平面 ，所以平面⊥平面，⊥.同理，平面⊥平面，⊥.记玻璃棒的另一端落在上点处.过作⊥，为垂足， 则==32. 因为= 14，= 62，所以= ，从而. 设则.因为，所以.在中，由正弦定理可得，解得. 因为，所以.于是.记与水面的交点为，过作，为垂足，则 ⊥平面，故=12，从而 =.答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)14．【解析】（Ⅰ）由题意．由()，可得()；由()，得()；所以的单调递增区间是（）；单调递减区间是（）．（Ⅱ），，由题意是锐角，所以 ．由余弦定理：，可得，且当时成立．．面积最大值为．15．【解析】（Ⅰ）因为，又，所以，，当时，；当时，；于是在上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为（Ⅱ）依题意，当时实验室需要降温.由（Ⅰ）得，所以，即，又，因此，即，故在10时至18时实验室需要降温.16．【解析】（1）成等差数列，由正弦定理得（2）成等比数列，由余弦定理得（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）即，所以的最小值为17．【解析】（Ⅰ）由函数的周期为，，得又曲线的一个对称中心为，故，得，所以将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数（Ⅱ）当时，，，所以．问题转化为方程在内是否有解设，则因为，所以，在内单调递增又，且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，即存在唯一的满足题意．（Ⅲ）依题意，，令当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，现研究时方程解的情况令，则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况，令，得或．当变化时，和变化情况如下表当且趋近于时，趋向于当且趋近于时，趋向于当且趋近于时，趋向于当且趋近于时，趋向于故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，，所以综上，当，时，函数在内恰有个零点