2024届高考数学第一轮复习：文科数学2010-2019高考真题分类训练之专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用

专题四 三角函数与解三角形

第十一讲 三角函数的综合应用

一、选择题

1．（2016年天津）已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是

A．      B．      C．      D．

2．（2016全国II卷）函数的最大值为

A．4          B．5          C．6           D．7

3．（2015年陕西高考）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数

，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为

A．5          B．6          C．8         D．10

4．（2015浙江）存在函数满足，对任意都有

A．         B．

C．         D．

5．（2015新课标2）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=．将动点P到A，B两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为

A                  B               C              D

6．（2014新课标1）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为

A．       B．

 C．       D．

二、填空题

7．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，=     ．

8．（2017浙江）已知向量，满足，，则的最小值

是      ，最大值是    ．

9．（2016年浙江）已知，则______．

10．（2014陕西）设，向量，若，

则____．

三、解答题

11．（2018江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．

(1)用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

12．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm． 现有一根玻璃棒，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；

（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．

13．（2015山东）设．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）在锐角△中，角，的对边分别为，若，，求△面积的最大值．

14．（2014湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，.

（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；

（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？

15．（2014陕西）的内角所对的边分别为．

（I）若成等差数列，证明：；

（II）若成等比数列，求的最小值．

16．（2013福建）已知函数的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．

（1）求函数与的解析式；

（2）是否存在，使得按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定的个数；若不存在，说明理由；

（3）求实数与正整数，使得在内恰有2013个零点．