2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题五 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算答案

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答案部分
2019年
1．解析：，则，得，即，所以.故选C.
2.解析 ，
因为，
所以，所以.
2010-2018年
1．A【解析】通解 如图所示，
．故选A．
优解
．故选A．
2．C【解析】∵，∴，∴
，又，∴，∴；反之也成立，故选C．
3．B【解析】，故选B．
4．A【解析】因为为非零向量，所以的充要条件是．因为，则由可知的方向相反，，所以，所以“存在负数，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，从而不一定推得“存在负数，使得”，所以“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件．
5．B【解析】由可得，即，
所以
．故选B．
6．B【解析】设，，∴，
，，
∴，故选B.
7．D【解析】由向量的坐标运算得，
∵，∴，
解得，故选D．
8．A【解析】由题意得，
所以，故选A．
9．A 【解析】由题意，
即，所以，
，，选A．
10．B【解析】对于A选项，设向量、的夹角为，∵，∴A选项正确；对于B选项，∵当向量、反向时，，∴B选项错误；对于C选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C选项正确；对于D选项，根据向量的运算法则，可推导出，故D选项正确，综上选B．
11．D【解析】如图由题意，
，故，故错误；，
所以，又，
所以，故错误；设中点为，则，
且，所以，故选D．
12．A【解析】．
13．A【解析】由 ①， ②，①②得．
14．B【解析】由题意得，两边平方化简得，
解得，经检验符合题意．
15．B【解析】设，若的表达式中有0个，
则,记为,若的表达式中有2个,则,
记为，若的表达式中有4个，则，记为，又，
所以，
，
，∴，故，设的夹角为，
则，即，又，所以．
16．B【解析】对于A，C，D，都有∥，所以只有B成立．
17．B【解析】由于，令，
而是任意实数，所以可得的最小值为
，
即，则知若确定，则唯一确定．
18．C【解析】∵，，
所以=。解得，选C
19．C【解析】 因为，所以，所以四边形的面积为，故选C．
20．D【解析】由题意，设，则，过点作的垂线，垂足为，
在上任取一点，设，则由数量积的几何意义可得，
，，
于是恒成立，相当于恒成立，
整理得恒成立，只需
即可，于是，因此我们得到，即是的中点，
故△是等腰三角形，所以．
21．A【解析】,所以,这样同方向的单位向量是．
22．A【解析】=（2,1），=（5,5），则向量在向量方向上的射影为
23．C【解析】建立平面直角坐标系，令向量的坐标，又设
，代入得，
又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值，
即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即．
24．D【解析】因为⊥，所以可以A为原点，分别以，所在直线
为x轴，y轴建立平面直角坐标系．设B1(a,0)，B2(0，b)，O(x，y)，
则＝＋＝(a，b)，即P(a，b)．
由||＝||＝1，得(x－a)2＋y2＝x2＋(y－b)2＝1.
所以(x－a)2＝1－y2≥0，(y－b)2＝1－x2≥0.
由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，
即0≤1－x2＋1－y2＜.
所以＜x2＋y2≤2，即.
所以||的取值范围是，故选D．
25．B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过，不懂学生做得如何.
26．C【解析】正确的是C．
27．C【解析】 ，则
，所以不垂直，A不正确，同理B也不正确；
，则，所以共线，故存在实数，
使得，C正确；若，则，此时，
所以D不正确．
28．B【解析】，由∥，得，解得
29．D【解析】 ∵，由，得，
∴，解得．
30．C【解析】 三角形的面积S=，而
．
31．B【解析】若与共线，则有，故A正确；
因为，而，所以有，
故选项B错误，故选B．
32．【解析】，因为，且，
所以，即．
33．【解析】∵，
∴
34．4,【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有：
，
，
则：
，
令，则，
据此可得：，
即的最小值是4，最大值是.
35．【解析】，
，
，
，解得：．
36．3【解析】由可得，，由=+
得，即
两式相加得，
所以
所以．
37．－3【解析】由题意得：
38．9【解析】因为，，
所以．
39．1【解析】由题意，
所以，解得．
40．1 2 【解析】 由题意可令，其中，
由得，由，得，解得，
∴．
41．【解析】由得，则，所以．
42．【解析】由，得为的中点，故为圆的直径，
所以与 的夹角为．
43．【解析】∵，∴由，
得，故的面积为．
44．②④【解析】S有下列三种情况：
，
，
∵，
∴，
若，则，与无关，②正确；
若，则，与有关，③错误；
若，则，④正确；
若,则
∴， ∴，⑤错误．
45．【解析】∵，∴可令，∵，
∴，即，解得得．
46．【解析】∵，∴，∴，
∵，∴．
47．2【解析1】
因为，，所以，
又，所以
即
【解析2】由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，
又，故
48．2【解析】=====0,解得=.
49．2【解析】在正方形中，,,
所以．
50．【解析】向量与的夹角为，且所以．由得，
，即，
所以,即,解得．
51．2【解析】
，所以的最大值为2．
52．【解析】因为E为CD的中点，所以．
，因为，
所以，
即，所以，解得．
53．4【解析】 如图建立坐标系，
则，，
由，可得，∴
54．【解析】
55．（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由，得.设与同向的单位向量为，则且，解得故．即与同向的单位向量的坐标为．
（Ⅱ）由，得.设向量与向量的夹角为，则．
56．【解析】
57．【解析】如图，向量与在单位圆内，因||=1，||≤1，
且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，故以向量，为边的
三角形的面积为，故的终点在如图的线段上（∥，
且圆心到的距离为），因此夹角的取值范围为．
58．【解析】由题意知,即，
即，化简可求得．
59．1【解析】向量+与向量-垂直，∴，
化简得，易知，故．
60．【解析】设与的夹角为，由题意有
，所以，因此，所以．
61．－1【解析】，
所以=－1．
62．【解析】（1）因为，，，
所以．
若，则，与矛盾，故．
于是．
又，所以．
（2）.
因为，所以，
从而.
于是，当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值．