第8讲 外接球与内切球（原卷版）+解析版

第8讲 外接球与内切球  

一．外接球8大模型秒杀公式推导

1.墙角模型

(1)    使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合

（2）推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径

(2)    秒杀公式：

（4）图示过程

(3)    秒杀公式：

2.汉堡模型

（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体

（2）推导过程

第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置

第二步：根据勾股定理可得

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

3.斗笠模型

（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上

（2）推导过程

第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h

第二步：在h上取一点作为球心O

第三步：根据勾股定理

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

4.折叠模型

（1）使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠

（2）推导过程

第一步：过两个平面取其外心H1、H2，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O

第二步：计算

第三步：

（3）秒杀技巧：

（4）图示过程

5.切瓜模型

（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥

（2）推导过程：

第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，取BC的中点为M，连接FM、MN、OF、ON

第二步：

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

6.麻花模型

（1）使用范围：对棱相等的三棱锥

（2）推导过程：设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、c

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

7.矩形模型

（1）使用范围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边

（2）推导过程：根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得，斜边为球的直径

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

8. 鳄鱼模型

（1）使用范围：适用所有的棱锥

（2）推导过程：

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

二．内切球的半径---等体积法

1. 推导过程

2. 秒杀公式：
3. 图示过程

特别说明：下面例题或练习都是常规方法解题，大家可以利用模型的秒杀公式

技巧1 外接球之墙角模型

【例1】（2020·河南高三月考）已知长方体中，，，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】

1．（2020·全国高三专题练习）棱长为的正方体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

2．（2019·绥德中学）球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（   ）

A． B． C． D．

技巧2 外接球之汉堡模型

【例2】（2020·四川泸州市·高三）已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】

1．（2020·广州市广外）各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·辽宁省高三）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（    ）

A．4π B．3π C．2π D．4π

3．（2020·广东广州市·高三月考）在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·全国高三月考（文））三棱柱中，平面，，，，，则该三棱柱的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

技巧3 外接球之斗笠模型

【例3】（2020·江苏南通市·高三期中）正三棱锥中，，，则该棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】

1．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.

2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）

A． B． C． D．

技巧4 外接球之折叠模型

【例4】（2020·广东省高三）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）

A．7π B．8π C． D．

【举一反三】

1．（2020·山东枣庄市·高三期中）已知二面角的大小为120°，且，，.若点P、A、B、C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.

2．（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（    ）

A．π B．π C．π D．3π

技巧5 外接球之切瓜模型

【例5】（2020·内蒙古赤峰市·高三月考）已知三棱锥中，，，，，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【举一反三】

1．（2020·四川泸州市·高三一模）已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

技巧6 外接球之麻花模型

【例6】（2020·四川省眉山市彭山区第二中学）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

技巧7 外接球之矩形模型

【例7】（2020·新疆维吾尔自治区）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为(    )

A． B． C． D．

【举一反三】

1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中）四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·重庆一中高三）已知四面体满足：，，则四面体外接球的表面积为_______.

技巧8 内切球半径

【例8】（2020·全国）正四面体的外接球与内切球的表面积比为（    ）

A． B． C． D．不确定

【举一反三】

1．（2020·北京）如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a，那么球的体积为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·山西大同一中）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（  ）

A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰1

3．（2020·江苏无锡市第六高级中学）正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是（    ）.

A． B． C． D．

1．（2020·江苏镇江市·高三期中）直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·江西高三其他模拟）在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·四川泸州市·高三）已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，且，则该四棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·四川宜宾市·高三）已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，则该球的表面积为（    ）

A．6π B．8π C．12π D．16π

5．（2020·江西赣州市·高三）四面体中，底面，，，则四面体的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·全国高三专题练习））平行四边形中，，且，沿将四边形折起成平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·湖北省鄂州高中高三月考）张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（    ）

A．30 B． C． D．36

8．（2020·江苏南京市第二十九中学高三期中）已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

9．（2020·全国高三专题练习）已知三棱柱(侧棱底面，底面是正三角形)内接于球O，与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是，则球O的表面积是（    ）

A． B． C． D．

10．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三）在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

11．（2020·天津红桥区·高三期中）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（    ）

A．10 B．20 C．24 D．32

12．（2020·河南洛阳市·高三月考）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

13．（2020·山西高三月考）已知正三棱柱的体积为54，，记三棱柱的外接球为球，则外接球的表面积是__________．

14．（2020·济南市·山东省实验中学高三月考）在三棱锥中，侧棱底面且则该三棱锥的外接球的体积为__________．

15．（2020·湖南怀化市·高三期中）如图所示，在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______.

16．（2020·广东肇庆市·高三月考）鳖臑（biē nào）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两重堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥是一个鳖臑，其中，，，且，过点B向AC引垂线，垂足为E，过E作CD的平行线，交AD于点F，连接BF．设三棱锥的外接球的表面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则________．

17．（2020·上海市松江二中高三期中）若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为______.

18．（2020·江苏南通市·高三期中）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为________.

19．（2020·合肥市第六中学高三期中）在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为______.

20．（2020·湖南高三开学考试）在四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为________.

21．（2020·全国高三月考）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知某方锥各棱长均为2，则其内切球的体积为______.

22．（2020·江西南昌市·南昌十中）已知在三棱锥中，，，，则当点到平面的距离最大时，三棱锥外接球的表面积为_____．

23．（2021·福建省福州第一中学高三期中）三棱锥中，，，面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积为___．

24．（2020·福建福州市·高三期中）在三棱锥中，平面垂直平面，，，则三棱锥外接球的表面积为_________.

25．（2020·全国高三其他模拟）在三棱锥中，平面，，，，若三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为______

26．（2020·全国高三专题练习）设，，，为球的球面上的四个点，满足，.若四面体的表面积为，则球的表面积为______.