初中北师大版8*三元一次方程组优秀综合训练题

专题5.1 认识与求解二元（三元）一次方程组

1、了解二元一次方程、二元（三元）一次方程组及其解等概念，并会判断方程组的解；

2、掌握加减消元和代入消元的意义，及代入法、加减消元法解方程组的步骤；.

3、熟练运用代入法、加减消元法解简单的二元（三元）一次方程组。

4、能解简单的一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。

知识点01 二元一次方程组的相关概念

知识点

1. 二元一次方程（组）

1）二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程。

2）将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组。

注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个。

3）判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成.

2. 二元一次方程（组）的解

1）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）

2）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。

3）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解。

注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解。

【知识拓展1】二元一次方程（组）的辨别

例1．（2022·浙江·义乌市七年级阶段练习）方程①2x﹣3y＝1，②xy＝﹣2，③＝5，④x﹣+2＝0中，为二元一次方程的是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

【即学即练】

1．（2022·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（     ）

①；②；③；④．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【知识拓展2】根据二元一次方程（组）的概念求参数

例2．（2022·广东·九年级开学考试）若关于x，y的方程x2m﹣1+4yn+2＝6是二元一次方程，则m，n的值是（　　）

A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1 C．m＝ ，n＝－ D．m＝－，n＝

【即学即练】

2.（2022·成都·七年级课时练习）若是关于，的二元一次方程组，则__，__，__．

【知识拓展3】二元一次方程（组）的解的相关运用

例3．（2022·江苏宿迁·七年级期末）二元一次方程有无数个解，下列各组数值中，不是该方程的解的是（    ）

A． B． C． D．

【即学即练】

3.（2022浙江萧山·期末）若二元一次方程组的解为，则a+b的值是(　　　)

A．9 B．6 C．3 D．1

知识点02 解二元一次方程组

知识点

代入消元法

1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。

2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程。③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。

加减消元法

1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法。

2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值。

【知识拓展1】解二元一次方程组

例1．（2022·重庆市江津七年级期中）解方程组：

(1) （用代入消元法）     (2)（用加减消元法）

【即学即练1】

1．（2022·陕西·八年级期中）解方程组：

（1）； （2）．

【知识拓展2】二元一次方程组的同解问题

例2．（2022·江苏·七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组的解和的解相同，则（a+b）2007的值为（    ）

A．-2007 B．-1 C．2007 D．1

【即学即练2】

2．（2022·重庆八中八年级期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，求实数，，m的值．

【知识拓展3】二元一次方程组的错解还原与遮挡问题

例3．（2022·江苏连云港市·）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为，乙看错了方程组中的b，而得到解为．（1）求正确的a，b的值；（2）求原方程组的解．

【即学即练】

3.（2022·浙江杭州·七年级期中）两位同学在解同一个方程组时，甲同学由正确的解出，乙同学因看错了而解得，那么、、的正确的值为（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

4．（2022·福建·泉州七年级期中）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确的结果，后来发现“m”“n”处被墨水污损了，请你帮他找出m，n处的值分别是（　 ）

A．m=1，n=1 B．m=2，n=1 C．m=1，n=2 D．m=2，n=2

【知识拓展4】二元一次方程组的整体构造问题

例4．（2022·广东韶关实验中学七年级期中）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是______．

【即学即练】

4.（2022·江苏·扬州市七年级阶段练习）关于x、y的方程组，则x+y的值为________

知识点03 解三元一次方程组

【知识点】

1.三元一次方程组的概念

1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。

2.解三元一次方程组的方法和步骤

1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元

【知识拓展1】三元一次方程组的解

例1．（2022·湖南·长沙市立信中学七年级期末）方程组的解为（    ）

A． B． C． D．

【即学即练1】

1．（2022·鸡东县第三中学期中）三元一次方程组的解是（   ）

A． B． C． D．

【知识拓展2】解三元一次方程组

例2．（2022·成都市课时练习）解方程组，先消去未知数________________比较方便，即：①+②得：____________________，②+③得：_____________________．

【即学即练2】

2．（2022·浙江·八年级课时练习）解下列方程组：

（1）        （2）

【知识拓展3】三元一次方程组的特殊解法（整体构造）

例3．（2022·山东日照·七年级期末）已知方程组，则的值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【即学即练】

3.（2022·湖北黄冈·七年级期末）已知x，y，z满足 ，则的值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

考法01   二元一次方程组的整数解问题

【典例1】（2022·重庆黔江·七年级期末）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．

问题：(1)请你直接写出方程的正整数解___________．(2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值．(3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．

变式1．（2022·广东·模拟预测）如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（　　）

A．，，，  B．，，，   C．，，，  D．，，，

变式2．（2022·河南南阳·七年级期中）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，……，那么方程的正整数解的组数是（    ）

A．27 B．28 C．29 D．30

考法02   换元法解二元一次方程组

【典例2】（2022·山东威海·七年级期末）【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元” ．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．

【方法引领】

用换元法解方程组：．

分析：由于方程组中含有式子和，所以可设．

原方程组可化为．解得 ，即 ．

进而可求得原方程组的解．……

【问题解决】用换元法解决下列问题：

(1)若关于x，y的方程组的解是，则关于a，b的方程组的解是             ；（直接写答案）；(2)已知方程组，求x，y的值．

变式1．（2022·山东·邹城市七年级阶段练习）已知方程组的解是，则的解是（    ）

A． B． C． D．

变式2．（2022·福建泉州·七年级期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法如下：

解：将方程②变形：，即③；

把方程①代入③，得：，所以；

把代入①得，，所以方程组的解为．

请你模仿小军的“整体代入”法解方程组 

题组A  基础过关练

1．（2022·福建·福州现代中学七年级期中）已知方程：①＋y＝3；②2x﹣3y＝6；③；④3x﹣y＝2；⑤3xy﹣y＝0，其中为二元一次方程的是（    ）

A．②④ B．②④⑤ C．①④ D．④⑤

2．（2022·浙江长兴·期中）下到方程组中，属于二元一次方程组的是（    ）

A． B． C． D．

3．（2022·浙江台州·七年级期末）方程组的解是（    ）

A． B． C． D．

4．（2022·江苏宿迁·七年级期末）二元一次方程有无数个解，下列各组数值中，不是该方程的解的是（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·吉林·长春七年级阶段练习）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（    ）

A．① +③ ，① ×2﹣② B．① +③ ，③ ×2+② 

C．②﹣① ，②﹣③ D．①﹣② ，① ×2﹣③

6．（2022·湖北期末）若关于的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．（2022·浙江杭州·七年级期末）若关于，的方程组，解为．则关于，的方程组的解是（    ）

A． B． C． D．

9．（2022·江苏·七年级期中）小明解得方程组解为，由于不小心上了两滴墨水刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（    ）

A．10和4 B．2和－4 C．－2和4 D．－2和－4

10．（2022·日照市七年级期中）若方程组是二元一次方程组，则a的值为________．

11．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）解下列方程组：

(1)用加减法解方程组 ．   (2)用带入法解方程组．

12．（2022·湖北八年级期末）阅读下列解方程的解法，然后解决有关问题．

解方程组时，如果考虑常规的消元法（即代入消元法和加减消元法），那将非常麻烦！若用下面的方法非常规的解法，则轻而易举

，得，即

，得             ，得

把代入（3）得，即   所以原方组的解是

以上的解法的技巧是根据方程的特点构造了方程（3）．我们把这种解法称为构造法，请你用构造法解方程组

13．（2022·重庆大学城第三中学校七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组，和有相同的解．(1)求这两个方程组的解；(2)求代数式的值．

题组B  能力提升练

1．（2022·浙江杭州市·七年级期中）方程是关于、的二元一次方程，则（    ）

A．； B．，

C．， D．，

2．（2022·广东·湛江市七年级期中）已知是关于x，y的方程，x＋ky＝3的一个解，则k的值为（    ）

A．－1 B．1 C．2 D．3

3．（2022·浙江·余姚市七年级期中）若关于 的方程组的解满足 ，则 的值为（　　）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

4．（2022·福建·福州年级期中）方程组有正整数解，则整数k的个数是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．（2022·浙江七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当时，a＝2．其中正确的是（　　）

A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④

6．（2022·江苏·靖江七年级期中）已知方程组的解应为，小明解题时把c抄错了，因此得到的解是，则=________．

7．（2022·河北·广平县第二中学七年级阶段练习）嘉嘉在解方程组时，发现方程①和②存在一定关系，他的解法如下．

解：将方程②变形，得．

将①代入③，得．

解这个方程，得．

把代入①，得．所以原方程组的解为

嘉嘉的这种解法叫“整体换元法”，请用“整体换元法”完成下列问题．

(1)解方程组

①把方程①代入方程②，则方程②变为______________________；

②原方程组的解为____________________；

(2)解方程组

8．（2022·江苏句容·期末）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．若按正确的a、b计算，求原方组的解．

9．（2022·河南南阳·七年级期中）下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题．

例1  解方程组：

解  由方程②，得．……步骤一④

将④分别代入方程①和③，得

……步骤二

整理，得

解这个二元一次方程组，得

代入④，得．

所以原方程组的解是

(1)其中的步骤二通过______法消去未知数，将三元一次方程组转化成了______．

(2)仿照以上思路解方程组，消去字母后得到的二元一次方程组为______．

题组C  培优拔尖练

1．（2022·湖北武汉·七年级期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（    ）

A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0

2．（2022·安徽·合肥市八年级阶段练习）下列方程组中，有无数组解的是（   ）

A． B． C． D．

3．（2022·山八年级期中）已知关于，的方程组，给出下列说法：

①当时，该方程组的解也是方程的一个解；②当时，则；

③无论取任何实数，的值始终不变，以上三种说法中正确的有（    ）个

A．0 B．1 C．2 D．3

4．（2022·浙江长兴·期中）已知x，y满足方程组则无论m取何值，x，y恒有的关系式是（    ）

A． B． C． D．

5．（2022·贵州·七年级期末）若关于，的方程，，有公共解，则k的值为 __．

6．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级阶段练习）若方程组无解，则a的值为________

7．（2022·山东·邹城市第十一中学七年级阶段练习）若是关于a，b的二元一次方程的一个解，则代数式的值是____．

8．（2022·湖南·八年级开学考试）已知关于、的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若，则的最小值为；其中正确的有________（填写正确答案的序号）．

9．（2022·江苏镇江市·七年级期中）【阅读材料】

善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程变形：，

即，把方程代入得：，所以，

将代入得，所以原方程组的解为．

[解决问题]（1）模仿小明的“整体代换”法解方程组，

（2）已知x，y满足方程组，求的值．

10．（2022·山西·大同七年级阶段练习）已知关于x、y的方程组；

(1)请写出方程的所有正整数解；(2)若方程组的解满足，求m的值；

(3)当m每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗；(4)如果方程组有整数解，求整数m的解．