数学22.1.1 二次函数学案

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第06讲 二次函数的图象和性质常考的九种类型
专题诠释：二次函数的图象和性质是一次函数的图像和性质的拓展，是对一次函数图象和性质的升华，是二次函数与一元二次方程，二次函数的应用的预备知识。是各类考试的必考内容。它的最大特点是结合图像来研究二次函数的性质，考题所涉及的内容主要有图象顶点的坐标、开口方向、对称轴、函数的增减性，图象的平移及二次函数的解析式等。
第一部分 典例剖析+针对训练
类型一 判别二次函数的图象
典例1（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
思路引领：根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．
解：∵c＞0，
∴﹣c＜0，
故A，D选项不符合题意；
当a＞0时，
∵b＞0，
∴对称轴x=-b2a＜0，
故B选项不符合题意；
当a＜0时，b＞0，
∴对称轴x=-b2a＞0，
故C选项符合题意，
故选：C．
解题秘籍：本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
针对训练1
1．（2022•上海模拟）已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（　　）
A．B． C．D．
思路引领：根据正比例函数和二次函数的性质即可判断．
解：当m＞0时，y＝mx的图象是经过原点和一三象限的直线，y＝mx2﹣m2开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴是y轴，
当m＜0时，y＝mx的图象是经过原点和二四象限的直线，y＝mx2﹣m2开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴是y轴，
故选：D．
解题秘籍：主要考查了正比例函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．
类型二 二次函数的性质在解题中的应用
典例2（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
思路引领：（1）由题意可得0＝4a+2b+c①，-b2a=1②，Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；
（2）由n＜﹣5，可得点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，由二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴-b2a=1②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：a=-12b=1c=0，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+x；
（2）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y=-12x2+x，
∴-12＜0，即y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2；
方法二：
∵B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）在抛物线y=-12x2+x上，
∴y1=-12（3n﹣4）2+（3n﹣4）=-92n2+15n﹣12，
y2=-12（5n+6）2+（5n+6）=-252n2﹣25n﹣12，
∴y1﹣y2＝8n（n+5），
∵n＜﹣5，
∴8n＜0，n+5＜0，
∴y1﹣y2＝8n（n+5）＞0，
∴y1＞y2．
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得3n-4＜15n+6＞11-(3n-4)＜5n+6-1，
∴0＜n＜53，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得：3n-4＞15n+6＜13n-4-1＜1-(5n+6)，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜53．
解题秘籍：本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
针对训练2
2．（2022春•泾阳县月考）已知二次函数的表达式为y=-14x2+x+2．
（1）求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x小于多少时，y随x的增大而增大？
思路引领：（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）根据抛物线开口方向及对称轴求解．
解：（1）∵y=-14x2+x+2=-14（x﹣2）2+3，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3）．
（2）∵抛物线开口向下，
∴x＜2时，y随x增大而增大．
解题秘籍：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
类型三 二次函数图象的平移规律
典例3（2022•鹿城区校级三模）已知抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c．
（1）若抛物线y1过点（﹣2，18），求抛物线y1的表达式及对称轴；
（2）如图，若抛物线y1过点A，点A的横坐标为-12，平移抛物线y1，使平移后的抛物线y2仍过点A，过点A作CB∥x轴，分别交两条抛物线于C，B两点，且CB＝8，点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，试判定m与n的大小关系，并说明理由．

思路引领：（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）通过题意求得抛物线y1的对称轴为直线x＝﹣3，抛物线y2的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断．
解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2﹣6x+c过点（﹣2，18），
∴﹣4+12+c＝18，
∴c＝10，
∴抛物线y1的表达式为y1＝﹣x2﹣6x+10，
∵y1＝﹣x2﹣6x+10＝﹣（x+3）2+19，
∴顶点为（﹣3，19）；
（2）∵y1＝﹣x2﹣6x+c，
∴抛物线y1的对称轴为直线x=--62×(-1)=-3，
∵CB＝8，
∴两抛物线的对称轴间的距离为4，
∴抛物线y2的对称轴为直线x＝1，
∵点M（﹣5，m）在抛物线y1上，点N（3，n）在抛物线y2上，
∴点M（﹣5，m）关于直线x＝﹣3的对称点为（﹣1，m），点N（3，n）关于直线x＝1的对称点是（﹣1，n），
由图象可知，当﹣1≤x＜12时，y11随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴m＜n．
解题秘籍：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
针对训练3
3．（2022•洞头区模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），交x轴于点B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式，并根据该图象直接写出y＞3时x的取值范围．
（2）将线段OB向左平移m个单位，向上平移n个单位至O'B'（m，n均为正数），若点O'，B'均落在此二次函数图象上，求m，n的值．

思路引领：（1）将A，B两点坐标代入抛物线解析式，从而求得结果，设点A关于抛物线对称轴对称点记作C，则y＞3的图象在直线AC的上方，进而写出结果；
（3）表示出O′和B′的坐标，将其代入抛物线的解析式，从而求得结果．
解：（1）由题意得，
c=3-32+3b+c=0，
∴c=3b=2，
∴y＝﹣x2+2x+3，
点A（0，3）关于对称轴x＝1的对称点（2，3），
∴当y＞3时，0＜x＜2；
（2）∵O′（﹣m，n），B′（3﹣m，n），
∴-m2-2m+3=n-(3-m)2+2(3-m)+3=n，
∴m=12n=74．
解题秘籍：本题考查了二次函数及其图象性质，解决问题的关键是较强的计算能力．
类型四 二次函数图象上点的坐标特征
典例4（2022•东莞市校级二模）如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标；
（3）P为抛物线上一点，若S△PBC＝S△ABC，请直接写出点P的坐标．

思路引领：（1）运用待定系数法将点B（3，0）代入抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9），即可求得m的值，得出抛物线解析式可求得点C的坐标，再利用待定系数法即可求出直线BC的解析式；
（2）如图1，在x轴上取点E（4，0），在x轴下方过点E作ED⊥x轴，使DE＝1，连接AD，CD，设CD交抛物线于点Q，可证明△ADE≌△CAO（SAS），进而证明∠CAD＝90°，得出∠ACD＝45°，即∠ACQ＝45°，运用待定系数法求得直线CD的解析式为y=12x﹣3，与抛物线解析式联立即可求得点Q的坐标；
（3）设P（t，﹣t2+4t﹣3），过点P作PH∥y轴交BC于点H，则H（t，t﹣3），当点P在BC下方时，如图2，则PH＝t﹣3﹣（﹣t2+4t﹣3）＝t2﹣3t，由S△PBC＝S△ABC，可得12（t2﹣3t）×3=12×2×3，即可求得P（3-172，-7+172）或（3+172，17-72）；当点P在BC上方时，如图3，则PH＝﹣t2+4t﹣3﹣（t﹣3）＝﹣t2+3t，由S△PBC＝S△ABC，可得12（﹣t2+3t）×3=12×2×3，即可求得P（1，0）或（2，1）．
解：（1）∵抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）经过点B（3，0），
∴9m+3（m2+3）﹣（6m+9）＝0，
解得：m＝0（舍去）或m＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，
令x＝0，得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
设直线BC的函数表达式为y＝kx+b，
则3k+b=0b=-3，
解得：k=1b=-3，
∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3；
（2）令y＝0，得﹣x2+4x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝1，
∴A（1，0），
∴OA＝1，
∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
如图1，在x轴上取点E（4，0），在x轴下方过点E作ED⊥x轴，使DE＝1，连接AD，CD，设CD交抛物线于点Q，
则D（4，﹣1），
∴AE＝OE﹣OA＝3＝OC，DE＝OA，∠AED＝∠COA＝90°，
∴△ADE≌△CAO（SAS），
∴AD＝AC，∠DAE＝∠ACO，
∵∠ACO+∠CAO＝90°，
∴∠DAE+∠CAO＝90°，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝45°，即∠ACQ＝45°，
设直线CD的解析式为y＝mx+n，
则4m+n=-1n=-3，
解得：m=12n=-3，
∴直线CD的解析式为y=12x﹣3，
由12x﹣3＝﹣x2+4x﹣3，
解得：x1＝0（舍去），x2=72，
∴Q（72，-54）；
（3）设P（t，﹣t2+4t﹣3），过点P作PH∥y轴交BC于点H，则H（t，t﹣3），
当点P在BC下方时，如图2，则PH＝t﹣3﹣（﹣t2+4t﹣3）＝t2﹣3t，
∵S△PBC＝S△ABC，
∴12PH×OB=12AB×OC，
∴12（t2﹣3t）×3=12×2×3，
解得：t1=3-172，t2=3+172，
当t=3-172时，﹣t2+4t﹣3＝﹣（3-172）2+4×3-172-3=-7+172，
当t=3+172时，﹣t2+4t﹣3＝﹣（3+172）2+4×3+172-3=17-72，
∴P（3-172，-7+172）或（3+172，17-72）；
当点P在BC上方时，如图3，则PH＝﹣t2+4t﹣3﹣（t﹣3）＝﹣t2+3t，
∵S△PBC＝S△ABC，
∴12PH×OB=12AB×OC，
∴12（﹣t2+3t）×3=12×2×3，
解得：t1＝1，t2＝2，
∴P（1，0）或（2，1）；
综上所述，点P的坐标为（3-172，-7+172）或（3+172，17-72）或（1，0）或（2，1）．

解题秘籍：本题属于二次函数综合题，主要考查三角形的面积问题，角度的存在性等，在求解过程中，结合背景图形，作出正确的辅助线是解题的基础．
针对训练4
4．（2022•碑林区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若C（0，23）．
（1）请直接写出A、B的坐标；
（2）求经过A、B、C三点的抛物线表达式；
（3）l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

思路引领：（1）运用勾股定理即可求得OA＝2，再求得OB＝6，即可得出点A、B的坐标；
（2）运用待定系数法设y＝a（x+2）（x﹣6），把C（0，23）代入，即可求得答案；
（3）根据以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等，且∠PDE＝∠ACB＝90°，可分两种情况：①当△PDE≌△ACB时，如图1，②当△PDE≌△BCA时，如图2，分别结合图形和全等三角形性质即可求得答案．
解：（1）∵C（0，23），
∴OC＝23，
在Rt△AOC中，OA=AC2-OC2=42-(23)2=2，
∴OB＝AB﹣OA＝8﹣2＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0）；
（2）设y＝a（x+2）（x﹣6），把C（0，23）代入得：23=a（0+2）（0﹣6），
解得：a=-36，
∴y=-36（x+2）（x﹣6）=-36x2+233x+23，
∴该抛物线的表达式为y=-36x2+233x+23；
（3）在△BOC中，BC=OB2+OC2=62+(23)2=43，
∵y=-36x2+233x+23=-36（x﹣2）2+833，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
设P（m，-36m2+233m+23）（m＞2），E（2，n），
①当△PDE≌△ACB时，如图1，
∵∠PDE＝∠ACB＝90°，
∴PD＝AC＝4，DE＝BC＝43，
∴m﹣2＝4，
解得：m＝6，
∴P（6，0），D（2，0），
∴|n﹣0|＝43，
解得：n＝±43，
∴E（2，43）或（2，﹣43），
②当△PDE≌△BCA时，如图2，
∵∠PDE＝∠ACB＝90°，
∴PD＝BC＝43，DE＝AC＝4，
∴m﹣2＝43，
解得：m＝43+2，
∴P（43+2，-1633），D（2，-1633），
∴|n﹣（-1633）|＝4，
解得：n＝4-1633或﹣4-1633，
∴E（2，4-1633）或（2，﹣4-1633）；
综上所述，P（6，0），E（2，43）或（2，﹣43）；或P（43+2，-1633），E（2，4-1633）或（2，﹣4-1633）．


解题秘籍：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，全等三角形的性质等，综合性较强，难度适中，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．
类型五 二次函数上两点间的线段在解题中的应用
典例5
（2022•辉县市二模）如图，抛物线y=12(x-h)2+k的顶点A是直线OD上一个动点，该抛物线与直线OD的另一个交点为C，与y轴的交点为B，点D的坐标是（2，2）．
（1）求点B的纵坐标的最小值，并写出此时点A的坐标．
（2）在（1）的条件下，若该抛物线与x轴的两个交点分别为E和F，请直接写出线段EF的长度．

思路引领：（1）由点D坐标求出直线OD解析式，设点A坐标为（m，m），进而求解．
（2）令y＝0求出E，F的横坐标，进而求解．
解：（1）设直线OD解析式为y＝kx，
将（2，2）代入y＝kx得2＝2k，
解得k＝1，
∴y＝x，
设点A坐标为（m，m），则抛物线解析式为y=12（x﹣m）2+m，
将x＝0代入y=12（x﹣m）2+m得y=12m2+m=12（m+1）2-12，
∴点B纵坐标最小值为-12，此时m＝﹣1，
∴点A坐标为（﹣1，﹣1）．
（2）由（1）得y=-12（x+1）2﹣1，
将y＝0代入y=-12（x+1）2﹣1得0=-12（x+1）2﹣1，
解得x1＝﹣1+2，x2＝﹣1-2，
∴EF＝﹣1+2-（﹣1-2）＝22．
解题秘籍：本题考查二次函数与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
针对训练5
5．（2022•南关区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3（a＜0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线y=12x2于点B、C，则线段BC的长为 　 　．

思路引领：将x＝0代入y＝ax2+3得y＝3，将y＝3代入y=12x2求解．
解：将x＝0代入y＝ax2+3得y＝3，
∴点A坐标为（0，3），
∵BC∥x轴，
∴点B，C纵坐标为3，
将y＝3代入y=12x2得3=12x2，
解得x1=6，x2=-6，
∴BC＝26，
故答案为：26．
解题秘籍：本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
类型六 过二次函数图象两点的直线在解题中的应用
典例6（2021秋•荔湾区期末）已知抛物线G：y＝mx2﹣（4m+2）x+4m+1（m≠0）经过定点A，直线l：y＝kx+b经过点A和抛物线G的顶点B．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线l的解析式；
（3）已知点P为抛物线G上的一点，且△PAB的面积为2．若满足条件的点P有且只有3个，求抛物线的顶点B的坐标．
思路引领：（1）解析式变形为y＝m（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3，即可求得定点A为（2，﹣3）；
（2）把抛物线化成顶点式，可得出点B的坐标，利用待定系数法可解；
（3）过点P作PG⊥x轴，交AB于点H，设点P（t，mt2﹣（4m+2）t+4m+1），由（2）可知，直线l的解析式为：y＝﹣x﹣1，H（t，﹣t﹣1），分两种情况讨论计算当m＞0时，得到PH的值，再根据△PAB的面积求出PH的值，令两者相等，求得m即可；当m＜0时，思路同m＞0．
解：（1）∵y＝mx2﹣（4m+2）x+4m+1
＝mx2﹣4mx﹣2x+4m+1
＝m（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣3，
∴x＝2时，y＝﹣3，
∴定点A（2，﹣3）；
（2）∵y＝mx2﹣（4m+2）x+4m+1＝m（x-2m+1m）2-3m+1m，
∴顶点B（2m+1m，-3m+1m），
将点A和点B代入解析式y＝kx+b中，2k+b=-32m+1mk+b=-3m+1m，
解得k=-1b=-1，
∴直线l的解析式为：y＝﹣x﹣1；
（3）①当m＞0时，过点P作PG⊥x轴，交AB于点H，如图，

设点P（t，mt2﹣（4m+2）t+4m+1），
由（2）可知，直线l的解析式为：y＝﹣x﹣1，
∴H（t，﹣t﹣1），
∵△PAB的面积为2，满足条件的点P有且只有3个，
∴在直线AB的下方的点P只有1个，即PH最大，
PH＝﹣t﹣1﹣[mt2﹣（4m+2）t+4m+1]＝﹣mt2+4mt+t﹣4m﹣2＝﹣m（t-4m+12m）2+14m，
∵﹣m＜0，
∴当t=4m+12m时，PH有最大值14m，
∵S△PAB=12（2m+1m-2）PH＝2，
∴PH＝4m，即PH最大＝4m，
∴14m=4m，解得m＝±14，
∴m=14，
∴2m+1m=2+1m=6，
-3m+1m=-3-1m=-7，
∴B（6，﹣7）；
②当m＜0时，过点P作PG⊥x轴，交AB于点H，如图，

在直线AB的上方的点P只有1个，即PH最大，
PH＝mt2﹣（4m+2）t+4m+1+t+1＝mt2﹣4mt﹣t+4m+2＝m（t-4m+12m）2-14m，
∵m＜0，
∴当t=4m+12m时，PH有最大值-14m，
∵S△PAB=12（2-2m+1m）PH＝2，
∴PH＝﹣4m，即PH最大＝﹣4m，
∴-14m=-4m，解得m＝±14，
∴m=-14，
∴2m+1m=2+1m=-2，
-3m+1m=-3-1m=1，
∴B（﹣2，1）；
综上，B（6，﹣7）或B（﹣2，1）．
解题秘籍：本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数表达式，三角形的面积问题等知识，第（3）问注意需要分类讨论．也可以不分类讨论，线段PH的长加绝对值即可
针对训练6
6．（2022•丽水二模）开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，△ABC是等腰直角三角形，面积为4．并与一次函数y＝kx（k＞0）的图象相交于点M，N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若k=12，平移直线y=12x，使得该直线平分△ABC的面积，求平移后直线解析式．
思路引领：（1）根据等腰直角三角形的性质，利用面积为4，求出OC和AB的长，进而得出点A、B、C坐标，即可求抛物线解析式；
（2）求出直线BC的解析式，再求出点D和点E的坐标，再由S△BDE=12S△ABC，进行计算求解即可；
（3）分别过点M，N作y轴的垂线，垂足分别为E，F．证△PME∽PNF，得PEPF=MENF，代入求出（xm+xn）﹣2kxmxn＝0，又M，N是直线＝kx与抛物线的交点，得x2+2kx﹣4＝0，根据根与系数关系得出xm+xn＝﹣2k，xmxn＝﹣4，进而求出t的值，得出点P坐标．
解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形且与y轴交于点C，
∴对称轴x=-b2a=0，AB＝2OC，
设抛物线的解析式为y＝ax2+c，
当x﹣0时，y＝c，
∵抛物线开口向下，与x轴交于点A，B，
∴c＞0，AB＝2c，
∵△ABC是等腰直角三角形，面积为4．
∴12AB•OC=12×2c×c＝4，
解得c＝2或﹣2（舍去），
∴点A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），
将点A（﹣2，0）代入y＝ax2+2，得4a+2＝0，
解得a=-12，
∴抛物线的解析式为y=-12x2+2；

（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，
将点B（2，0）和点C （0，2）代入得2m+n=0n=2，
解得m=-1n=2，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设平移后的直线解析式为y=12x+q，
设直线y=12x+q与直线BC交于点D，
则﹣x+2=12x+q，
∴x=43-23q，
∴y=23+23q，
即点D的坐标为（43-23q，23+23q），
∵直线y=12x+q与x轴交于点E（﹣2q，0），
由题意，得S△BDE=12S△ABC＝2，
∴12×（2+2q）×（23+23q）＝2，
整理，得（1+q）2＝3，
解得q=3-1或q=-3-1 （舍去），
∴平移后直线解析式为y-=12x+3-1；

解题秘籍：本题是二次函数综合题，考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图象与性质、待定系数法、抛物线的平移、相似三角形、一元二次方程根与系数关系、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问的解题关键是根据S△BDE=12S△ABC列方程求解．
类型七 判断二次函数中四边形中的存在性
典例7（2022•佛山校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为y=23x﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知k为正数，当0＜x≤1+k时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n=163，求k的值；
（3）点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

思路引领：（1）求出点A和点C坐标，从点A和点B坐标将抛物线的解析式设为交点式，将点C坐标代入，进一步求得结果；
（2）箱求出n的值，进而求得m的值，进而求得点k的值；
（3）只需满足三角形ACQ为等腰三角形即可．设点Q的坐标，进而表示出AQ，CQ及AC，进而根据AQ＝CQ，AQ＝AC及CQ＝AC，进一步求得结果．
解：（1）当x＝0时，y＝﹣2，
∴点C（0，﹣2），
当y＝0时，23x-2=0，
∴x＝3，
∴点A（3，0），
∴设y＝a（x+1）•（x﹣3），
将点C（0，﹣2）代入得，
﹣3a＝2，
∴a=-23，
∴y=-23（x+1）•（x﹣3）=-23x2+43x-2；
（2）∵抛物线的对称轴为直线：x＝1，
∵k＞0，
∴k+1＞1，
∴当0＜x＜1+k时，
∴当x＝1时，
n=23（1+1）×（1﹣3）=-83，
∵m+n=163，
∴m＝8，
当m＝8时，-23x2+43x-2＝8，
∴x1＝5，x2＝﹣3（舍去），
∴1+k＝5，
∴k＝4；
（3）设点Q（1，a），
∵A（3，0），C（0，﹣2），
∴AQ2＝（3﹣1）2+a2＝a2+4，
AC2＝32+22＝13，
CQ2＝1+（a+2）2＝a2+4a+5，
①当AQ＝AC时，
a2+4＝13，
∴a＝±3，
∴Q1（1，3），Q2（1，﹣3），
当AQ＝CQ时，
a2+4a+5＝a2+4，
∴a=-14，
∴Q3（1，-14），
当AC＝CQ时，
a2+4a+5＝13，
∴a＝﹣2±23，
∴Q4（1，﹣2+23），Q5（1，﹣2﹣23），
综上所述：Q（1，3）或（1．﹣3）或（1．-14）或（1，﹣2+23）或（1，﹣2﹣23）．
解题秘籍：本题考查了二次函数及其图象性质，等腰三角形的判定和性质，点的坐标平移特征等知识，解决问题的关键是正确分类，准确计算．
针对训练7
7．（2022•碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，2），抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点为点B．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）将抛物线L1平移到抛物线L2，抛物线L2的顶点记为D，它的对称轴与x轴的交点记为E．已知点C（2，﹣1），若以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，则请求出抛物线L2的顶点坐标．

思路引领：（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设抛物线L2的顶点记为D（m，n），则E（m，0），如图，根据菱形性质和DE∥AC，可得出DE＝AC＝3，再分两种情况：①当n＝3时，D（m，3），E（m，0），②当n＝﹣3时，D（m，﹣3），E（m，0），分别建立方程求解即可．
解：（1）∵抛物线L1：y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，2），抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴-4+2b+c=2-b2×(-1)=1，
解得：b=2c=2，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2；
（2）设抛物线L2的顶点记为D（m，n），则E（m，0），如图，
∴DE＝|n|，DE∥y轴，
∵A（2，2），C（2，﹣1），
∴AC＝2﹣（﹣1）＝3，AC∥y轴，
∴AC∥DE，
又AD=(m-2)2+(n-2)2，AE=(m-2)2+n2，
∵以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，
∴DE＝AC，即|n|＝3，
∴n＝±3，
①当n＝3时，D（m，3），E（m，0），
∵AD＝AC＝3，
∴AD2＝9，即（m﹣2）2+（3﹣2）2＝9，
解得：m＝2+22或2﹣22，
∴D（2+22，3）或（2﹣22，3）；
②当n＝﹣3时，D（m，﹣3），E（m，0），
∵AE＝AC＝3，
∴AE2＝9，即（m﹣2）2+（0﹣2）2＝9，
解得：m＝2+5或2-5，
∴D（2+5，﹣3）或（2-5，﹣3）；
综上所述，点D的坐标为（2+22，3）或（2﹣22，3）或（2+5，﹣3）或（2-5，﹣3）．

解题秘籍：本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，菱形的性质，二次函数图象与几何变换，（1）中求出二次函数的解析式是关键，（2）中分类讨论是关键．
类型八 二次函数中最值的求法
典例8（2022•海口二模）如图，直线y=34x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为B（1，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，设点P的横坐标为t（﹣4＜t＜0）．
①求出四边形PAOC面积S与t的函数表达式，并求S的最大值；
②当△PEC为等腰三角形时，求所有满足条件的t的值．

思路引领：（1）设y＝a（x+4）（x﹣1），将点C（0，3）代入即可求解；
（2）①由P（t，-34t2-94t+3），则E（t，34t+3），求出PE=-34t2﹣3t，再由S＝S四边形PAOC＝S△PAC+S△AOC=12×AO×PE+12×AO×CO即可求解；
②分三种情况讨论：当PE＝EC时，-34t2﹣3t=-54t；当CP＝CE时，过点C作CM⊥PD交于M，则M为PE的中点；当PE＝PC时，过点P作PN⊥EC交于N，则N是EC的中点；分别求出t的值即可．
解：（1）直线y=34x+3与x轴，y轴的交点坐标分别为A（﹣4，0）、C（0，3），
∵抛物线与x轴的另一交点为B（1，0），
设所求抛物线的函数表达式为y＝a（x+4）（x﹣1），
把点C（0，3）代入，得3＝a（0+4）（0﹣1），
解得a=-34，
∴所求抛物线的函数表达式为y=-34（x+4）（x﹣1），即y=-34x2-94x+3；
（2）①P（t，-34t2-94t+3），则E（t，34t+3），
∴PE=-34t2-94t+3﹣（34t+3）=-34t2﹣3t，
∵AO＝4，CO＝3，
∴S＝S四边形PAOC＝S△PAC+S△AOC=12×AO×PE+12×AO×CO
=12×4×（-34t2﹣3t+3）
=-32t2﹣6t+6，
=-32（t+2）2+12，
∵﹣4＜t＜0，
∴当t＝﹣2时，S有最大值12；
②∵PE=-34t2﹣3t，CE=-54t，
分三种情况讨论：
当PE＝EC时，-34t2﹣3t=-54t，
解得t=-73或t＝0（舍）；
当CP＝CE时，过点C作CM⊥PD交于M，则M为PE的中点，
∴（-34t2-94t+3）+（34t+3）＝6，
解得t＝﹣2或t＝0（舍）；
当PE＝PC时，过点P作PN⊥EC交于N，则N是EC的中点，
∴PE=53EN=56EC，
∴-34t2﹣3t=-54t×56，
解得t=-4718或t＝0（舍）；
综上所述：满足条件的t的值为-73或﹣2或-4718．


解题秘籍：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
针对训练8
8．（2022•宣州区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且S△ABD＝4，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．

思路引领：（1）先利用一次函数求出B、C坐标，设点A （m，0），求出点D（32+m2，-12m+32），根据SABD＝4，列出方程12（3﹣m）（-12m+32）＝4求出m的值，然后利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，先证∠OCB＝∠OBC＝45°，利用平行线性质求出∠PEF＝∠OCB＝45°，利用三角函数得出PF＝PExsin45°=22PE，点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，设P（x，﹣x2+2x+3）则点E（x，﹣x+3），求出PE＝﹣（x-32）2+94即可．
解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，
∴C（0，3），B（3，0），
设点A（m，0），
∴抛物线对称轴为x=12（3+m），
∴点D（32+m2，-12m+32），
∵S△ABD＝4，
∴12（3﹣m）（-12m+32）＝4，
解得：m＝﹣1或m＝7（舍去），
∴点A（﹣1，0），
将A，B，C三点坐标代入解析式得：
c=3a-b+c=09a+3b+c=0，
解得：c=3a=-1b=2，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，

∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PE∥OC，
∴∠PEF＝∠OBC＝45°，
∴PF＝PE×sin45°=22PE，
∴点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，
设P（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，﹣x+3），
∴PE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x-32）2+94，
∵﹣1＜0，
∴当x=32时，PE最大值为94，
∴PF最大=22PE最大=22×94=928，
∴点P到直线BC的距离的最大值为928．
解题秘籍：本题考查一次函数与两轴的交点坐标，等腰三角形面积，一元二次方程，待定系数法求抛物线解析式，等腰直角三角形判定与性质，锐角三角函数，两点距离，二次函数的性质，本题难度一般，是常考题型．

类型九 二次函数中字母的取值范围的求法
典例9（2022•焦作模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣1，0），点C（0，﹣3），且OA＝OC．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）在抛物线上存在一点P，满足t﹣4≤xP≤t，对应的y的取值范围为﹣4≤yP≤5，求t的值；
（3）若点E（﹣1，﹣4），F（4，2m+1），线段EF与该抛物线y＝ax2+bx+c只有一个交点，请直接写出m的取值范围．
思路引领：（1）将B（﹣1，0），A（3，0）、C（0，﹣3）代人y＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）将y＝5代人y＝x2﹣2x﹣3，解得x1＝﹣2，x2＝4，由题意可得xP的最大取值范围为﹣2≤xP≤4，则当t﹣4＝﹣2时即t＝2，﹣2≤xp≤2符合题意；当t＝4时，0≤xP≤4符合题意；即可求出t的值；
（3）讨论线段端点F的纵坐标与抛物线的位置关系，2m+1＞5，线段EF与抛物线有一个交点，当2m+1＝﹣4，线段EF与抛物线有一个交点，从而求解．
解：（1）∵C（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∵OA＝OC，
∴OA＝3，
∴点A（3，0），
将B（﹣1，0），A（3，0）代人y＝ax2+bx+c，
得a-b-3=09a+3b-3=0，
解得a=1b=-2，
∴y＝x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵满足t﹣4≤xP≤t，对应的y的取值范围为﹣4≤yP≤5，
∴将y＝5代人y＝x2﹣2x﹣3，
∴x2﹣2x﹣3＝5，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∵y的取值范围为﹣4≤yP≤5，
∴xP的最大取值范围为﹣2≤xP≤4，
∵满足t﹣4≤xP≤t，当t﹣4＝﹣2时即t＝2，﹣2≤xp≤2符合题意；
当t＝4时，0≤xP≤4符合题意；
综上所述：t＝2或4；
（3）当x＝4时，y＝5，
∴2m+1＞5，即m＞2时，线段EF与抛物线有一个交点，
当2m+1＝﹣4，即m=-52时，线段EF与抛物线有一个交点，
综上所述：m＞2或m=-52．
解题秘籍：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，研究线段端点与抛物线的位置关系是解题的关键．
针对训练9
9．（2022•桥西区校级模拟）如图，抛物线L：y=12x2+ax+a-5，点Q为顶点．
（1）无论a为何值，抛物线L总过一个定点为 　 　；
（2）若抛物线的对称轴为直线x＝1．
①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标；
②将抛物线L向下平移k（k＞0）个单位长度，使点Q落在点A处，平移后的抛物线与y轴交于点B．若QA＝QB，求k的值；
（3）当a＝2时，点M（m，n）为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2，直接写出n的取值范围．

思路引领：（1）由y=12x2+ax+a﹣5==12x2+a（x+1）﹣5，即可求解；
（2）①根据对称轴为直线x＝1可得a＝﹣1，可得抛物线的表达式为y=12x2-x-6．进而得出点Q的坐标；
②由平移的性质得QA＝k，B（0，﹣6﹣k），根据QA＝QB，即可得k的值；
（3）当a＝2时，y=12x2+2x+2﹣5==12x2+2x﹣3=12（x+2）2﹣5，则抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，点M（m，n）在对称轴的右侧，根据点M到y轴的距离不超过2，即可得出n的取值范围．
解：（1）∵y=12x2+ax+a﹣5==12x2+a（x+1）﹣5，
∴当x＝﹣1时，y=12-5=-92，
∴无论a为何值，抛物线L总过一个定点为（﹣1，-92），
故答案为：（﹣1，-92）；

（2）①∵抛物线L的对称轴为直线x=-a2×12=1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y=12x2-x-6．
∵x＝1时，y=12-1-6=-132，
∴顶点Q的坐标为(1，-132)；
②∵将抛物线L向下平移k（k＞0）个单位长度，使顶点Q落在点A处，
∴QA＝k，B（0，﹣6﹣k），
∵Q(1，-132)，QA＝QB，
∴QB2=12+(-12+k)2，
∴12+(-12+k)2=k2，
∴k=54；
（3）当a＝2时，y=12x2+2x+2﹣5==12x2+2x﹣3=12（x+2）2﹣5，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，点M（m，n）在对称轴的右侧，
又∵﹣2≤m≤2，
∴n随着m的增大而增大，
当m＝﹣2时，n＝﹣5，
当m＝2时，n=12×（2+2）2﹣5＝3，
∴﹣5≤n≤3．
解题秘籍：本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，两点的距离公式，平移的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，平移的性质等知识点，解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．
第二部分 专题反馈测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021秋•黄石期末）下列函数是二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y=1x2+x
C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2
思路引领：根据二次函数的定义判断即可．
解：A、当a＝0时，该函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数化简后没有二次项，是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
解题秘籍：此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．（2014秋•宁波期末）若抛物线y＝（1+m）xm2-2的开口向下，则m的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．1
思路引领：根据二次函数的二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为二，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：由y＝（1+m）xm2-2的开口向下，得m2-2=21+m＜0，
m＝﹣2，m＝2（不符合题意要舍去），
故选：B．
解题秘籍：本题考查了二次函数的定义，利用二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为二得出方程组是解题关键．
3．（2021•金州区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　）

A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
思路引领：利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：C．
解题秘籍：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
4．（2022•余姚市一模）已知点P（m+1，2﹣3m）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＜23 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜23
思路引领：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：∵点P（m+1，2﹣3m）在第二象限，
∴m+1＜02-3m＞0，
解得m＜﹣1，
故选：A．
解题秘籍：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（2015•益阳）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（　　）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
思路引领：利用y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．
解：由y＝（x﹣m）2+（m+1）可知为顶点（m，m+1），
由顶点在第一象限得m＞0且m+1＞0，
解得m＞0．
故选：B．
解题秘籍：本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．
6．（2021秋•镇平县月考）将抛物线y＝2x2﹣1向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2+2
C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2﹣2
思路引领：直接运用平移规律“左加右减，上加下减”解答．
解：将抛物线y＝2x2﹣1向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，所得抛物线为y＝2（x﹣2）2﹣1+3，即y＝2（x﹣2）2+2．
故选：B．
解题秘籍：主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．（2022•安庆模拟）下列二次函数中，对称轴为直线x＝1的是（　　）
A．y＝﹣x2+1 B．y=12（x﹣1）2 C．y=12（x+1）2 D．y＝﹣x2﹣1
思路引领：根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
解：A、y＝﹣x2+1的对称轴为x＝0，所以本选项不符合题意；
B、y=12（x﹣1）2的对称轴为x＝1，所以本选项符合题意；
C、y=12（x+1）2的对称轴为x＝﹣1，所以本选项不符合题意；
D、y＝﹣x2﹣1对称轴为x＝0，所以本选项不符合题意；
故选：B．
解题秘籍：本题考查了二次函数的对称轴，形如y＝a（x﹣h）2+k的顶点为（h，k），对称轴是直线x＝h；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x=-b2a求出对称轴．
8．（2022•沈阳模拟）已知（﹣3，y1），（﹣2.5，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
思路引领：由抛物线解析式可判断抛物线的开口方向与对称轴，根据各点与对称轴的距离大小求解．
解：∵y＝﹣3x2﹣12x+m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=--122×(-3)=-2，
∴与直线x＝﹣2距离越近的点的纵坐标越大，
∵﹣2﹣（﹣2.5）＜﹣2﹣（﹣3）＜1﹣（﹣2），
∴y2＞y1＞y3，
故选：C．
解题秘籍：本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
9．（2019•河南）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
思路引领：根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x=b2即可求解；
解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴b2=1，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；
故选：B．
解题秘籍：本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
10．（2021秋•河东区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＞0；③a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．0
思路引领：根据抛物线开口方向向上，对称轴为直线x＝1，抛物线与y轴交点在x轴下方可判断①②，由图象可得x＝﹣1时y＞0，可判断③．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴-b2a=1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与x轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，①正确．
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，②错误．
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，③正确．
故选：B．
解题秘籍：本题考查二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
二、 填空题（每题4分，共28分）
11．（2021秋•蜀山区校级期中）二次函数y＝a（x﹣2）2+c与一次函数y＝cx+a在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
思路引领：可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
解：A、一次函数y＝cx+a的图象与y轴交于负半轴，a＜0，与二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象开口向上，即a＞0相矛盾，故A错误；
B、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、四象限，a＞0，c＜0，二次函数y＝a（x﹣2）2+c的图象开口向上，顶点为（2，c）在第四象限，a＞0，c＜0，故B正确；
C、二次函数y＝a（x﹣2）2+c的对称轴x＝2，在y轴右侧，故C错误；
D、一次函数y＝cx+a的图象过一、二、三象限，c＞0，与抛物线y＝a（x﹣2）2+c的顶点（2，c）在第四象限，c＜0相矛盾，故D错误；
故选：B．
解题秘籍：本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
12．（2021秋•东莞市月考）下列关于二次函数y＝2（x﹣3）2﹣5的说法，正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣3
B．当x＝3时有最小值﹣5
C．顶点坐标是（3，5）
D．当x＞3时，y随x的增大而减小
思路引领：根据二次函数的对称轴可判定A，根据函数的顶点可判定B与C，利用函数的增减性可判定D．
解：由二次函数 y＝2（x﹣3）2﹣5 可知对称轴是直线 x＝3，故选项A错误，不符合题意；
由二次函数 y＝2（x﹣3）2﹣5 可知开口向上，当 x＝3 时有最小值﹣5，故选项B正确，符合题意；
由二次函数 y＝2（x﹣3）2﹣5 可知顶点坐标为（3，﹣5），故选项C错误，不符合题意；
由二次函数 y＝2（x﹣3）2﹣5 可知顶点坐标为（3，﹣5），对称轴是直线 x＝3，当x＜3时，y随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
解题秘籍：本题考查了二次函数的图象与性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．
13．（2021•洛宁县模拟）用配方法将二次函数y=-12x2+x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝　 　．
思路引领：利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
解：y=-12x2+x﹣1，
=-12（x2﹣2x+1）﹣1+12，
=-12（x﹣1）2-12，
即y=-12（x﹣1）2-12，
故答案是：-12（x﹣1）2-12．
解题秘籍：本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
14．（2020秋•呼和浩特期末）下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③y=12x2，④y＝3x2，其中抛物线开口按从大到小的顺序排列是　 ．
思路引领：利用二次函数a的绝对值决定抛物线的开口大小可得出答案．
解：∵|12|＜|1|＜|﹣2|＜|3|，
∴抛物线开口按从大到小的顺序排列是③①②④，
故答案为：③①②④．
解题秘籍：本题主要考查二次函数的性质，掌握在抛物线y＝ax2（a≠0）中，|a|的绝对值越大，则抛物线的开口越小是解题的关键．
15．（2021秋•溧阳市期末）二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第　 　象限．

思路引领：由二次函数解析式表示出顶点坐标，根据图形得到顶点在第四象限，求出m与n的正负，即可作出判断．
解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，
则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．
故答案为：一．
解题秘籍：此题考查了二次函数与一次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数及一次函数的图象与性质是解本题的关键．
16．（2021•凉山州）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是　 　．
思路引领：直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算．
解：
法一：y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点
则有a＝（x﹣1）2﹣3，整理得x2﹣2x﹣2﹣a＝0
∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4（2+a）≥0
解得a≥﹣3，
∵0≤x≤3，对称轴x＝1
∴y＝（3﹣1）2﹣3＝1
∴a≤1，
∴﹣3≤a≤1．
法二：由题意可知，
∵抛物线的 顶点为（1，﹣3），而0≤x≤3
∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1
∵y＝a，则直线y与x轴平行，
∴要使直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，
∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1，即为a的取值范围，
∴﹣3≤a≤1
故答案为：﹣3≤a≤1
解题秘籍：此题主要考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用根的判别式或根与系数的关系进行计算．
17．（2021•长春三模）如图，抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k的顶点为A，点B、C在抛物线上，若BC∥x轴，BC＝3，点B的纵坐标为k2，则k的值为　　．

思路引领：把y=k2代入解析式，求得|x﹣h|=2k2，根据题意得到2k2=32，解得k=92．
解：∵点B的纵坐标为k2，
∴k2=-（x﹣h）2+k，
解得（x﹣h）2=k2，
∴|x﹣h|=2k2，
∵BC∥x轴，BC＝3，
∴2k2=32，
∴k=92，
故答案为92．
解题秘籍：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，求得B点到对称轴的距离是解题的关键．
三、 解答题（共42分）
18．（8分）（2021•安徽二模）若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”．
（1）请写出二次函数y＝2（x﹣2）2+1的“对称二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y1＝x2﹣3x+1和y2＝ax2+bx+c，若y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当﹣3≤x≤3时，y2的最大值．
思路引领：（1）根据“对称二次函数”的定义即可求解；
（2）根据y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”，求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．
解：（1）二次函数y＝2（x﹣2）2+1的“对称二次函数”是y＝﹣2（x﹣2）2+1；
（2）∵y1＝x2﹣3x+1，y2＝ax2+bx+c，
∴y1﹣y2＝（1﹣a）x2﹣（3+b）x+1﹣c＝（1﹣a）•[x-3+b2(1-a)]2+(3+b)2+4(1-c)(a-1)4(a-1)．
又y1﹣y2与y1互为“对称二次函数”，y1＝x2﹣3x+1＝（x-32）2-54，
∴1-a=-13+b2(1-a)=32(3+b)2+4(1-c)(a-1)4(a-1)=-54，解得a=2b=-6c=92，
∴y2＝2x2﹣6x+92，
∴y2＝2（x-32）2，
∴y2的对称轴为直线x=32，
∵2＞0，且﹣3≤x≤3，
∴当x＝﹣3时，y2最大值＝2×（﹣3）2﹣6×（﹣3）+92=812．
解题秘籍：本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间的相互转化，考查了二次函数的性质，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解是解题的关键．
19．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD，点H为BD的中点．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PD+PH的值最小，则PD+PH的最小值为 　13　．

思路引领：（1）把已知两点的坐标代入，求出b、c的值，就可以确定抛物线的解析式，配方或用公式求出顶点坐标；
（2）根据B、D两点的坐标确定中点H的坐标，作出H点关于y轴的对称点点H′，连接H′D与y轴交点即为P，求出H′D即可
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）
∴-1-b+c=0-9+3b+c=0，
解得b=2c=3，
∴所求函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4）；
（2）∵B（3，0），D（1，4），
∴中点H的坐标为（2，2）其关于y轴的对称点H′坐标为（﹣2，2），
连接H′D与y轴交于点P，则PD+PH最小，
且最小值为：(1+2)2+(4-2)2=13．
故答案为：13．

解题秘籍：此题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式和最短路径的问题，熟练掌握待定系数法是关键．
20．（8分）（2019春•崇川区校级月考）如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

思路引领：（1）先将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m求出m的值，根据点的对称性确定B点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），求出三角形ABC的面积，分两种情况画出图形，如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，根据三角形ABP面积为三角形ABC面积，表示出三角形ABP 的面积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出满足题意P的坐标．
解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m＝0，
解得m＝﹣4．
所以二次函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，
即y＝x2﹣6x+5；
当x＝0时，y＝9﹣4＝5，
所以C点坐标为（0，5），
由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝3，
所以B点坐标为（6，5），
将A（1，0）、B（6，5）代入y＝kx+b得，
k+b=06k+b=5，
解得：k=1b=-1．
所以一次函数解析式为y＝x﹣1；
（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），
∵S△ABP＝S△ABC，
∵S△ABC=12×BC×OC=12×6×5=15，
如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，

∴S△PAB=12PE⋅(xB-xA)=15，
∴E（a，a﹣1）
∴PE＝﹣a2+7a﹣6，
∴12×(-a2+7a-6)×5=15，
∴a2﹣7a+12＝0
解得：a1＝4，a2＝3，
∴P1（3，﹣4），P2（4，﹣3），
如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，

同理可得S△PAB＝S△PFA﹣S△PFB=12PF×(xB-xA)=15，
∴12(a2-7a+6)×5=15，
解得a＝0（舍去），a＝7，
∴P3（7，12）．
综合以上可得P点坐标为（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．
解题秘籍：本题考查了用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
21．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

思路引领：（1）抛物线经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），代入B（5，﹣6）即可求得函数的解析式；
（2）作辅助线，将四边形PACB分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设P（m，m2﹣5m﹣6），四边形PACB的面积为S，用字母m表示出四边形PACB的面积S，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点P的坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6）（a≠0），
把B（5，﹣6）代入：a（5+1）（5﹣6）＝﹣6，
a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣6）＝x2﹣5x﹣6；
（2）存在，
如图，分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，
设P（m，m2﹣5m﹣6），四边形PACB的面积为S，
则PM＝﹣m2+5m+6，AM＝m+1，MN＝5﹣m，CN＝6﹣5＝1，BN＝5，
∴S＝S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC，
=12（﹣m2+5m+6）（m+1）+12（6﹣m2+5m+6）（5﹣m）+12×1×6，
＝﹣3m2+12m+36，
＝﹣3（m﹣2）2+48，
当m＝2时，S有最大值为48，这时m2﹣5m﹣6＝22﹣5×2﹣6＝﹣12，
∴P（2，﹣12）．

解题秘籍：本题考查了利用待定系数法求解析式，还考查了多边形的面积，要注意将多边形分解成几个图形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数
22．（10分）（2022•白云区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2a2x+1（a≠0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．
（1）抛物线的对称轴为直线x＝ 　；（用含字母a的代数式表示）
（2）若AB＝2，求二次函数的表达式；
（3）已知点P（a+4，1），Q（0，2），如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a的取值范围．
思路引领：（1）由抛物线对称轴为直线x=-b2a求解．
（2）由抛物线对称轴及点A坐标可得点B坐标，进而求解．
（3）分类讨论a＞0与a＜0，根据点A，B，P，Q的坐标，结合图象求解．
解：（1）∵y＝ax2﹣2a2x+1，
∴抛物线对称轴为直线x=--2a22a=a．
故答案为：a．
（2）∵A，B关于抛物线对称轴对称，
∴AB＝|2a|＝2，
当a＞0时，a＝1，
∴y＝x2﹣2x+1，
当a＜0时，a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+1．
（3）将x＝0代入y＝ax2﹣2a2x+1得y＝2，
∴点A坐标为（0，1），
当a＞0时，抛物线开口向上，点Q（0，2）在点A（0，1）上方，
∵点B与点A关于抛物线对称轴对称，
∴点B坐标为（2a，1），
∴当a+4≥2a时，点P在抛物线上或在抛物线外部，符合题意，
解得a≤4，

当a＜0时，点Q在抛物线上方，点B在点A左侧，
当点P在抛物线内部时，满足题意，
∴2a≤a+4＜0，
解得a＜﹣4，
综上所述，a＜﹣4或0＜a≤4．
解题秘籍：本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．