苏教版 (2019)选择性必修第二册7.1两个基本计数原理优秀复习练习题

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知识精讲
知识点01 分类加法计数原理
定义：完成一件事，如果有n类办法 且∶第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
注意∶
每种方式都能实现目标，不依赖于其他条件.
每种情况内任两种方式都不同时存在.
（3）不同情况之间没有相同方式存在.
【即学即练1】（2022·全国·高二课时练习）为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（ ）
A．11种B．19种C．30种D．209种
【即学即练2】（2022·广西河池·高二期末（理））解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．9种
知识点02 分步乘法计数原理
定义：完成一件事，如果需要分成n个步骤，且∶做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
注意：
1.分步乘法计数原理中“完成一件事需要n个步骤”是指完成这件事的任何一种方法都要分成n个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成所有这些步骤才能完成这件事，即步与步之间是连续的、缺一不可的，且不能重复、交叉．简单地说，就是应用分步乘法计数原理时要做到"步骤完整".
两个原理的区别
【即学即练3】（2022·全国·高二课时练习）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法有______种．
【即学即练4】（2022·全国·高二课时练习）现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为______种．
能力拓展
◆考点01 两个计数原理的简单综合
【典例1】（2022·全国·高二课时练习）直线l的方程为Ax+By=0 ，若从0，1，3，5，7，8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示______条不同的直线．
【典例2】（2022·全国·高三专题练习）如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．
【典例3】（2022·河南安阳·模拟预测（理））为推动就业与培养有机联动､人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目.现安排甲､乙两所高校与三家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则不同的对接方案共有（ ）
A．15种B．16种C．17种D．18种
◆考点02 选（抽）取与分配问题
【典例4】（2022·全国·高二课时练习）将4封信投入3个不同的信箱，不同的投信方法有______种.
【典例5】（2022·全国·高二课时练习）五名高中生报考三所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法有______种．
【典例6】（2022·浙江·杭州四中高二期中）仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（ ）种.
A．24 B．43C．34D．4
【典例7】（2022·全国·高三专题练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（ ）
A．120种B．150种C．210种D．216种
◆考点03 计数原理解决组数问题
【典例8】由数字1,2,3,4可以组成有重复数字的三位奇数的个数为( )
A．12 B．24 C．48 D．32
【典例9】（2022·全国·高三专题练习）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ）
A．7B．9C．10D．13
【典例10】（2022·全国·高二课时练习）由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成______个没有重复数字的三位偶数.
◆考点04 计数原理解决涂色（种植）问题
【典例11】（2022·浙江·杭州四中高二期中）如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法数为________.
【典例12】如图所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为( )
A．96 B．84 C．60 D．48
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．有5名学生全部分配到4个地区进行社会实践，且每名学生只去一个地区，其中A地区分配了1名学生的分配方法共（ ）种
A．120B．180C．405D．781
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（ ）
A．10种B．20种C．25种D．32种
3．如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）．
A．180B．160C．96D．60
4．某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A．40种B．20种C．15种D．11种
5．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A．95B．91C．88D．75
6．十一国庆节放假五天，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在五天中随机选一天，乙同学在前三天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（ ）
A．16B．15C．12D．23
二、多选题
7．已知数字0,1,2,3,4，由它们组成四位数，下列说法正确的有（ ）
A．组成可以有重复数字的四位数有500个
B．组成无重复数字的四位数有96个
C．组成无重复数字的四位偶数有66个
D．组成无重复数字的四位奇数有28个
8．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
9．某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（ ）
A．此人有4种选课方式B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节D．自习可安排在4节课中的任一节
三、填空题
10．将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只能填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有_________种.
11．2022年卡塔尔世界杯已落下帷幕，里奥梅西率领的阿根廷队获得冠军，捧得“大力神”杯.据悉，从下届美加墨（美国、加拿大、墨西哥）世界杯开始，参赛球队将扩军至48支.比赛分小组赛和淘汰赛两个阶段.小组赛将会分为16个小组，每个小组3支球队，采用单循环赛制（即3支队伍两两交手），小组前两名晋级32强赛，第三名被淘汰，淘汰赛阶段：1/16决赛：32强分成16组对阵，获胜的16个队进入1/8决赛，即所谓“16强”，负者被淘汰.1/8决赛：16强分成8组对阵，获胜的8个队进入1/4决赛，即所谓“8强”，负者被淘汰.1/4决赛：8强分成4组对阵，获胜的4个队进入半决赛，即所谓“4强”，负者被淘汰.半决赛：4强分成2组对阵.决赛：半决赛获胜两队进入决赛，失利的两队争夺第三名.如按此规则，则2026美加墨世界杯共需举办________场比赛.
四、解答题
12．一个口袋中有5个红球，6个黄球，除了颜色外其他没有区别．求：
(1)若不放回的抽取两球，均为红球的概率；
(2)若放回的抽取两球，均不是红球的概率．
13．从圆内接正六边形的六个顶点中任意取出三个点构成三角形，则共可构成几个直角三角形？若将圆内接正六边形改为圆内接正八边形，结论如何？若改为圆内接正2n边形呢？
14．已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2，点Pa,b在直角坐标平面上，且a,b∈M．
(1)平面上共有多少个满足条件的点P？
(2)有多少个点P在第二象限内？
(3)有多少个点P不在直线y=x上？
题组B 能力提升练
一、单选题
1．设集合A={1,2,⋯,2023},S=A1,A2,⋯,A100∣A1⊆A2⊆⋯⊆A100⊆A，则集合S的元素个数为（ ）
A．C2023100B．C2023101C．1002023D．1012023
2．如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3．到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数是（ ）
A．144B．96C．72D．60
3．某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（ ）种
A．36 B．48 C．54 D．72
4．某日，甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A，B，C三家医院接种疫苗且每个单位只能被随机预约到一家医院，每家医院每日至多接待两个单位．已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗，B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗，C医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗，则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为（ ）
A．27B．24C．18D．16
5．某公司会议室共有四行四列座椅，根据疫情防控要求：在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．则该会议室最多可容纳的就座人数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
二、多选题
6．某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：
现有小花、小李两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是（ ）A．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有9种
B．若小花、小李两人共花费5元，则小花、小李下地铁的方案共有18种
C．若小花、小李两人共花费6元，则小花、小李下地铁的方案共有27种
D．若小花、小李两人共花费6元，则小花比小李先下地铁的概率为49
三、填空题
7．从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，则这些三位数的和为___________．
8．若一个三位数的百位数字、十位数字、个位数字恰好构成等差数列，则称之为“等差三位数”，例如：147，642，777，420等.等差三位数的总个数为_________.
9．某校甲、乙、丙、丁4个学生自愿参加植树活动，有A，B，C这3处植树地点供选择，每人只能选其中一处地点参与植树，且甲不在A地、乙不在B地植树，则不同的选择方式共有__________种.
10．如图所示的五个区城中，现要求在五个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区城所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为________（用数字作答）．
四、解答题
11．用0，1，2，3，⋯，9这十个数字.
(1)可组成多少个三位数？
(2)可组成多少个无重复数字的三位数？
(3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？
12．记正方体的各条棱的中点构成的集合为M，则过且仅过集合M的三个点的平面有多少个？
13．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
(1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？
(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？课程标准
重难点
1.通过实例，能总结出分类计数原理、分步计数原理.
2.能根据具体问题的特征，选择分类计数原理或分步计数原理解决一些简单的实际问题.
重点：分类计数原理、分步计数原理的理解；
难点：用分类计数原理或分步计数原理解决一些简单的实际问题.
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
区别一
每类方法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二
各类方法之间是互斥的、并列的、独立的
各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏
第1节
第2节
第3节
第4节
地理1班
化学A层3班
地理2班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
乘坐站数x
036票价/元
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