【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第14讲 正弦定理 讲义

第14讲  正弦定理

知识点01 正弦定理

【即学即练1】　在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

知识点02  三角形中边与角之间的关系

1．利用余弦定理和正弦定理进行边角转化

(1)cos A＝；cos B＝；cos C＝.

(2)2Rsin A＝a，2Rsin B＝b，2Rsin C＝c，(其中R为△ABC外接圆的半径)

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

(1)若a2>b2＋c2，则cos A＝<0，△ABC为钝角三角形；

(2)若a2＝b2＋c2，则cos A＝＝0，△ABC为直角三角形；

(3)若a2<b2＋c2且b2<a2＋c2且c2<a2＋b2，则cos A＝>0，cos B＝>0，cos C＝>0，△ABC为锐角三角形．

【即学即练2】如果将直角三角形的三边各增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．由增加的长度确定的

考法01  已知两角及任意一边解三角形

【典例1】在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．

反思感悟　

(1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．

(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．

【变式训练】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值．

考法02  已知两边及其中一边的对角解三角形

【典例2】在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形．

反思感悟 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤

(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．

(2)用三角形内角和定理求出第三个角．

(3)根据正弦定理求出第三条边．

【变式训练】　在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于(　　)

A.  B.  C.  D.

考法03  已知两边及一边对角判断三角形解的个数

【典例3】　不解三角形，判断下列三角形解的个数．

(1)a＝5，b＝4，A＝120°；

(2)a＝9，b＝10，A＝60°；

(3)b＝72，c＝50，C＝135°.

反思感悟

(1)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法

①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；

②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：

(2)通过正弦定理和三角形中大边对大角的原理，判断三角形的解的个数，提升了逻辑推理和直观想象素养．

考法03    利用正弦、余弦定理解三角形

【典例4】　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解三角形．

反思感悟　若已知三角形的两边及其一边的对角，则可直接应用正弦定理求出另一边的对角，但要注意此三角形解的个数的判断；也可用余弦定理求解，在△ABC中，已知a，b和A，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，求出c，此时c的个数即为三角形解的个数．

题组A  基础过关练

1．在中，已知，，，则角为（    ）

A． B． C． D．

2．在中，已知，，，则等于（    ）

A．1 B． C． D．

3．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．

4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ）

A． B． C． D．

5．在中，角的对边分别为 ．若，则（    ）

A． B． C．1 D．

6．在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况为（    ）

A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定

7．在中，，，若有一个解，则的取值范围是________.

8．在中，，，，那么的面积等于______．

9．已知的内角的对边分别是，若，则___________.

10．已知函数．

(1)求的最小正周期和单调增区间；

(2)在中，角的对边分别为．若，，求的面积的最大值．

11．在中，角、、的对边分别为、、，且．

(1)求角的大小；

(2)若，的面积，求的周长．

12．在中，内角的对边分别为.已知.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

题组B  能力提升练

1．在中，，AD平分交BC于点D，若，则（    ）

A． B． C． D．

2．三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．在锐角三角形中，点为延长线上一点，且，则三角形的面积为（    ）

A． B．

C． D．

4．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（    ）

A． B． C． D．

5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（    ）

A．20 B． C．27 D．

6．秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”，即在中，分别为内角所对应的边，其公式为：若，，，则利用“三斜求积术”求的面积为（    ）

A． B． C． D．

7．已知的内角的对边分别为，且.

(1)求角A的大小；

(2)设，且，求边.

8．在中，角的对边分别为.

(1)求；

(2)求内切圆的面积.

9．的内角所对的边分别为，，，已知

(1)若，证明：；

(2)若，，求的面积．

10．记的内角的对边分别为，已知，.

(1)求的面积；

(2)若，求的周长.

题组C  培优拔尖练

1．设的面积为S，，已知，，则函数的值域为______．

2．已知的外接圆的圆心为，若，则_________.

3．锐角三角形的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则的取值范围为___________.

4．在中，所对的边分别为若，则面积最大值为__________

5．在中，角所对的边分别为已知，则的面积最大值为__________，此时__________.

6．中，.

(1)若，求；

(2)若，求的面积.

7．已知的内角的对边分别为，其面积为，且

(1)求角A的大小；

(2)若的平分线交边于点，求的长.

8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D是边BC上的一点，且．

(1)求证：；

(2)若，求．

9．在中，，点，分别在，边上．

(1)若，，求面积的最大值；

(2)设四边形的外接圆半径为，若，且的最大值为，求的值．

10．在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

(1)求角B；

(2)已知点D在AC边上，且，求的面积.