【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第22讲 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 讲义

第22课   圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体

知识点01   圆柱的结构特征

【即学即练1】　圆柱的轴截面有________个，它们________(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有________条，它们与圆柱的高________．

知识点02  　圆锥的结构特征

【即学即练2】圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？

知识点03   圆台的结构特征

【即学即练3】(多选)下列说法中不正确的是(　　)

A．将正方形旋转不可能形成圆柱

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线

知识点04  球的结构特征

【即学即练4】已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________．(用Q表示)

知识点05  球的结构特征

　简单组合体的结构特征

1．概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．

2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．

【即学即练5】上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为(　　)

A．4  B．3  C．2  D．2

考法01  旋转体的结构特征

【典例1】(多选)下列说法，正确的是(　　)

A．圆柱的母线与它的轴可以不平行

B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形

C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线

D．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的

反思感悟　(1)判断简单旋转体结构特征的方法

①明确由哪个平面图形旋转而成．

②明确旋转轴是哪条直线．

(2)简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．

②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

【变式训练】下列说法正确的是________．(填序号)

①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；

④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．

考法02  简单组合体的结构特征

【典例2】将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(　　)

A．一个圆台、两个圆锥   B．两个圆柱、一个圆锥

C．两个圆台、一个圆柱   D．一个圆柱、两个圆锥

反思感悟　判断组合体构成的方法

(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体．

(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证．

【变式训练】请描述如图所示的几何体是如何形成的．

考法03  旋转体的有关计算

【典例3】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．

反思感悟　(1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解．

(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．

【变式训练】已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径．

题组A  基础过关练

一、单选题

1．下列命题中，错误的命题个数是（    ）

①过圆锥顶点的截面是等腰三角形；

②以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥；

③以等腰梯形的腰为旋转轴，旋转所得的几何体是圆台.

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

2．如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ）

A． B． C． D．

3．以下结论中错误的是（    ）

A．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B．平行六面体的每个面都是平行四边形

C．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直

4．在一个长方体内钻一个圆柱形的孔，则钻孔后得到的几何体的表面积与原几何体相比

A．变大了 B．变小了 C．相等 D．不确定

5．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬30°，则晷针与点A处的水平面所成角为（    ）

A．15° B．30° C．60° D．90°

6．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（    ）

A． B． C． D．

7．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）

A．如图是棱台 B．如图是圆台

C．如图是棱锥 D．如图不是棱柱

8．如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在三棱锥中，平面平面CBD，，点M在AC上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆面积的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

10．下列命题正确的是（    ）

A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行

11．下列说法正确的是（    ）

A．圆柱的侧面展开图是矩形

B．球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面

C．直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台

D．圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面

三、填空题

12．某同学劳动课上制作了一个圆锥形礼品盒，其母线长为40cm，底面半径为10cm，从底面圆周上一点A处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A点，则所用金色彩线的最短长度为___________cm.

13．如图，已知球O的半径为2，一平面截球面所得圆的圆心为，且A、B都是圆上的点，，，则△OAB的面积为______．

四、解答题

14．根据图中给出的表面展开图画出几何体.

题组B  能力提升练

一、单选题

1．下列说法中，正确的个数为（    ）

（1）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；

（2）在圆台上､下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线.

（3）空间中的任意三点可以确定一个平面；

（4）空间中没有公共点的两条直线一定平行；

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬纬线的长为（    ）

A． B． C． D．

3．以下结论中错误的是（    ）

A．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B．平行六面体的每个面都是平行四边形

C．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直

4．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（    ）

A． B． C． D．4

5．下列说法中正确的是（    ）

A．圆锥的轴截面一定是等边三角形

B．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台

C．三棱柱的侧面可以是三角形

D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形

6．用一个平面去截一个圆柱，得到的图形一定不是（    ）

A．矩形 B．圆形 C．三角形 D．正方形

7．圆台的上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5，则该圆台的高为（     ）

A．4 B． C． D．

8．在正四面体SABC中，，D，E，F分别为SA，SB，SC的中点.则该正四面体的外接球被平面DEF所截的圆周长为（    ）

A． B． C． D．

9．位于北纬度的、两地经度相差，且、两地间的球面距离为为地球半径），那么等于（    ）

A．30 B．45 C．60 D．75

二、多选题

10．下列关于圆柱的说法中正确的是（    ）

A．圆柱的所有母线长都相等

B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面

C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面

D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转所形成的几何体是圆柱

11．下列说法正确的是（    ）

A．多面体至少有四个面

B．平行六面体六个面都是平行四边形

C．长方体、正方体都是正四棱柱

D．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥

三、填空题

12．圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，则该圆柱轴截面面积为______.

13．半径为2，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面积为___．

四、解答题

14．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角．

题组C  培优拔尖练

一、单选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面

B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线

C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点

D．圆锥的母线可能平行

2．下列命题中，错误的命题个数是（    ）

①过圆锥顶点的截面是等腰三角形；

②以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥；

③以等腰梯形的腰为旋转轴，旋转所得的几何体是圆台.

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

3．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（    ）

A．如图是棱台 B．如图是圆台

C．如图是棱锥 D．如图不是棱柱

4．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（    ）

A． B． C． D．

5．球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正的项点都在半径为的球面上，球心到所在平面距离为，则、两点间的球面距离为（    ）

A． B． C． D．

6．若圆锥的侧面展开图是半径为4，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（　　）

A． B．4 C．8 D．

7．如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（    ）

A． B． C． D．

8．棱长为的正四面体容器中能放进10个半径为1的小球，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

9．已知是由具有公共直角边的两块直角三角板（与）组成的三角形，如左下图所示.其中，.现将沿斜边进行翻折成（不在平面上）.若分别为和的中点，则在翻折过程中，下列命题正确的是

A．在线段上存在一定点，使得的长度是定值

B．点在某个球面上运动

C．存在某个位置，使得直线与所成角为

D．对于任意位置，二面角始终大于二面角

二、多选题

10．如图三棱锥，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，，球是三棱锥的外接球，则（    ）

A．球心到平面的距离是 B．球心到平面的距离是

C．球的表面积是 D．球的体积是

11．已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，，为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是（    ）

A．圆锥的高为1

B．三角形面积的最大值为

C．三角形内切圆半径的最大值为

D．圆锥外接球的体积为

三、填空题

12．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的半径为_________.

13．已知四棱锥的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，点E在棱PB上，且，过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是___________.

四、解答题

14．已知圆锥SO的底面半径，高．

(1)求圆锥SO的母线长；

(2)圆锥SO的内接圆柱的高为h，当h为何值时，内接圆柱的轴截面面积最大，并求出最大值．