【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第20讲 复数的三角形式 讲义

第20讲   

知识点01   复数的三角形式

1.复数的辅角：设复数（）对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数的辐角，记作Arg，其中适合的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作．

说明：（1）不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍，即Arg= +arg．

（2）当a∈R+时，arga=0，arg（-a）=π，argai=，arg（-ai）=，arg0不一定。

【即学即练1】　设函数，那么是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，．

故选：C．

知识点02  复数的三角形式

r(cosθ＋isinθ)叫做复数的三角形式，其中，，．定义本身告诉我们复数的三角形式和代数形式可以互化。

【即学即练2】复数的三角形式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由，则.

故选：A

知识点03复数三角形式的运算

：设=r(cosθ＋isinθ)，= (cosθ1＋isinθ1)，= (cosθ2＋isinθ2)．则

（1）乘法：（向量的旋转与伸缩）

（2）除法：

（3）乘方：

（4）开方：，其几何意义：复数z的n次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点。

【即学即练2】欧拉公式是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】 ，

故选：B.

反思感悟

考法01 

【典例1】设复数z的辐角的主值为，虚部为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由复数z的辐角的主值为可设复数.

因为虚部为，所以，解得：.

所以.

所以.

故选：A

【变式训练】在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】，在复平面内对应的点在第一象限.

故选：A.

考法02 辐角主值

【典例2】复数的辐角主值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】复数

，

所以复数的辐角主值是．

故选：D

【变式训练】复数的辐角主值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设复数的辐角为，

则，

所以，，

因为，

所以当时，满足要求，

所以辐角主值为.

故选：A

考法03  复数三角形式应用

【典例3】欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ）

A．的虚部为 B．

C． D．的共轭复数为

【答案】D

【详解】对于A，，其虚部为1，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，则，故C错误；

对于D, ，故的共轭复数为，D正确，

故选：D

【变式训练】若，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【详解】由，

所以，，

综上，.

故选：A

题组A  基础过关练

一、单选题

1．已知复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，

故选：B

2．已知复数在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为复数在复平面内对应的点为，

所以，

所以.

故选：A.

3．复数在复平面内对应向量的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】，

所以，

故选：B.

4．（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【详解】因为

则

故选:A

5．已知复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为复数满足，所以

所以，

所以.

故选：B

6．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数的模是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，所以，

所以的共轭复数为，，

所以的共轭复数的模是.

故选：C

7．若，则的实部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

根据实部定义可得结果.

【详解】，，，

，则的实部为.

故选：C.

二、多选题

8．已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（    ）

A．当时，

B．当时，

C．若，则存在实数，使得

D．若，则

【答案】AC

【解答】对A，即，两边平方可得，A对；

对，取，则，当，B错；

对，即，两边平方可得，

故，故，因此存在实数，使得，C对；

对，取，但，D错.

故选：AC

9．下列说法中正确的有（    ）

A．已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第四象限；

B．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第三象限；

C．在中，若，则为等腰或直角三角形；

D．在中，若，则为等腰三角形.

【答案】ABD

【详解】因为，所以，所以，其所对应的点的坐标是，在第四象限，故A正确；

，所对应的点的坐标是，在第三象限，故B正确；

因为，结合正弦定理可得，因此为等腰三角形，故C错误；

因为，所以，即，即，

所以，又因为，所以，所以为等腰三角形，故D正确，

故选：ABD.

10．已知复数（均为实数），下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．的虚部为

C．若，则 D．

【答案】BCD

【详解】对于A; 若，则，但是复数不可以比较大小，故错误，

对于B; ,所以的虚部为，故正确，

对于C; 若，则,故

，故，正确，

对于D; 而,进而，故，所以正确，

故选：BCD

三、填空题

11．设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．

【答案】2

【详解】将代入方程得：，

即，即，

所以，解得，

所以.

故答案为：2

四、解答题

12．已知复数在复平面内对应的点分别为．

(1)若，求a的值；

(2)若复数对应的点在第一、三象限的角平分线上，求a的值．

【答案】(1)或

(2)

【详解】（1），解得或；

（2），由于z对应的点在第一、三象限的角平分线上，则，解得.

题组B  能力提升练

一、多选题

1．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ）

A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数

C．复数的模等于 D．的共轭复数为

【答案】BC

【详解】由题知，而，，则复数对应的点位于第二象限，故A错误；

，则为纯虚数，故B正确；

，则的模为，故C正确；

，其共轭复数为，故D错误．

故选：BC

2．设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（    ）

A． B．

C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3

【答案】ACD

【详解】由题设，，则，，

所以A正确，B错误；

由的根为，故z是该方程的一个根，C正确；

由，则，故最小正整数n为3时，，正确.

故选：ACD

3．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（    ）

A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限

B．

C．

D．

【答案】BCD

【详解】解：对于A：，因为，所以，，

所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；

对于B：，故B正确；

对于C：，故C正确；

对于D：由，，

所以，所以，选项D正确；

故选：BCD

4．以下不是复数的三角形式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【详解】解：，所以B正确，而，故C正确.

故选：AD

5．如果非零复数z有一个辐角为，那么下列对z判断错误的是（    ）

A．辐角唯一 B．辐角主值唯一

C．辐角主值为 D．辐角主值为

【答案】ACD

【详解】辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值，

非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值．

故选：ACD．

6．欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ）

A．复数的值为 B．为纯虚数

C．复数的模长等于 D．

【答案】CD

【详解】由于，所以A错误；

为实数，故B错误；

复数的模长为，故C正确；

，D正确．

故选：CD

7．（，i是虚数单位，e是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（    ）

A．对任意的，

B．在复平面内对应的点在第一象限

C．

D．

【答案】ABD

【详解】对于A选项，，正确；

对于B选项，，而，

故在复平面内对应的点在第一象限，正确；

对于C选项，错误；

对于D选项，

=

=

=，正确.

故选：ABD

8．下列关于复数z的运算结论，正确的有（      ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【详解】记，则

则，A正确；

因为，故B错误；

因为，

所以

又，故C正确；

因为

所以，D正确.

故选：ACD

9．任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ）

A． B．当，时，

C．当，时， D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数

【答案】AC

【详解】对于复数有，

，而，所以选项A正确；

根据复数的三角形式，时，

此时，，选项B错误；

时，

根据棣莫弗定理，，所以选项C正确；

时，，n为偶数时，

设, ，

所以k为奇数时，为纯虚数；k为偶数时为实数，选项D错误.

故选：AC.

10．已知复数，则下列关于复数z的结论中正确的是（    ）

A．

B．

C．复数z是方程的一个根

D．复数的辐角主值为

【答案】ABC

【详解】，，故A正确；

，故B正确；

，，故C正确；

，复数的辐角主值为，故D错误；

故选：ABC

题组C  培优拔尖练

一、单选题

1．复数的值是（    ）

A． B．16 C． D．

【答案】A

【详解】.

故选：A

2．设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数为的辐角主值为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】复数，因按顺时针方向旋转后得到向量，

依题意，，

因此复数的辐角主值，所以.

故选：C

二、填空题

3．若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____．

【答案】

【详解】因为，所以设，

故

，其中，

因为，所以.

故答案为：.

4．已知复数满足．若是实系数一元二次方程的一个根，则______．

【答案】

【详解】设，因为，

所以，且复数在第一象限，

又复数满足，所以，

因为是实系数一元二次方程的一个根，

则有，也即，

所以，则，

故答案为：.

三、解答题

5．在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量．

(1)若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示；

(2)若，且点满足，求的重心所对应的复数；

(3)若，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，使得其所对应的复数满足，求证：所对应的点可以构成矩形．

【答案】(1);;

(2)；

(3)证明见解析.

【详解】（1）复数是关于的方程的一个虚根，，

则，即实数的取值范围；

解方程得，

不妨令复数，另一根为，

故.

（2）由可知，故，

设，则由得，即，

解得，故，故的重心为，

故.

（3）由于，则，

则所对应的点都在单位圆上，

又，则且，

不妨取，，则为单位圆的两直径，

则四边形的对角线互相平分且对角线相等，

则四边形为矩形，即所对应的点可以构成矩形．

6．已知.

(1)设，求的三角形式；

(2)如果，求实数a，b的值.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）已知，，

，对应的点是，对应的复数辐角为，故，又由对应的，，得到，故的三角形式为；

（2），

，

，解得.

7．求满足方程的辐角主值最小的复数z．

【答案】

【详解】设，则，即，

表示以为圆心，为半径的圆.

如图所示：当与圆相切于点时，对应的复数的辐角主值最小.

易知，，，在直角中，，.

同理可得，故复数的辐角主值为，，

.

8．设O为复平面的原点，和为复平面内的两动点，并且满足：

（1）和所对应的复数的辐角分别为定值和（）；

（2）的面积为定值S.

求的重心Z所对应的复数的模的最小值．

【答案】

【详解】解：设，和对应的复数分别为，和，

其中，，

由于是△的重心，根据复数加法的几何意义，

则有，

于是

，

又知△的面积为定值，

因为，所以则，

所以，即，

由此，

故当时，最小，

最小值为．

9．已知（且）．

(1)证明：；

(2)设z的辐角为，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）证明：由

，

得．

因为，，

所以．

（2）解：因为．可知，

所以，而，所以，，同理，，

由（1）知，

即，

所以的实部为，

而的辐角为时，复数的实部为，

所以．

10．已知复数，求证：．

【答案】证明见解析

【详解】证明：因为，则，

所以，

，

所以，，

因此，.