【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第11讲 平面几何的向量方法 讲义

第11讲  平面几何的向量方法   

知识点 向量方法解决平面几何问题的步骤

用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

【即学即练1】　已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　　)

A．等腰三角形   B．等边三角形

C．直角三角形   D．等腰直角三角形

反思感悟

用向量证明平面几何问题的两种基本思路

(1)向量的线性运算法的四个步骤：

①选取基底；

②用基底表示相关向量；

③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；

④把计算所得结果转化为几何问题．

(2)向量的坐标运算法的四个步骤：

①建立适当的平面直角坐标系；

②把相关向量坐标化；

③利用向量的坐标运算找到相应关系；

④利用向量关系回答几何问题．

考法01 利用向量证明平面几何问题

【典例1】 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC.

【变式训练】在四边形ABCD中，若＝(1,3)，＝(－6,2)，则该四边形的面积为(　　)

A.  B．2  C．5  D．10

考法02  利用平面向量求几何中的长度问题

【典例2】在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

反思感悟　用向量法求长度的策略

(1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．

(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.

【变式训练】在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是(　　)

A．2   B.

C．3   D.

考法03 平面几何中的平行(或共线)问题

【典例3】如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.

求证：点E，O，F在同一直线上．

反思感悟

　(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行(共线)等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．

(2)通过用向量方法解决平面几何问题，培养数学建模、逻辑推理素养．

题组A  基础过关练

1．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（    ）

A． B． C．13 D．26

2．在中，若，则的形状是（    ）

A．为钝角的三角形

B．为直角的直角三角形

C．锐角三角形

D．为直角的直角三角形

3．在中，若，则的形状是（    ）

A．∠C为钝角的三角形 B．∠B为直角的直角三角形

C．锐角三角形 D．∠A为直角的直角三角形

4．中,设,若,则的形状是

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定

5．已知的面积为2,在所在的平面内有两点、,满足,,则的面积为（    ）

A． B． C．1 D．2

6．若,且,则四边形是

A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形

7．已知向量，向量，则的形状为(    )

A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形

8．已知是内的一点，且，若和

的面积分别为，则的最小值是

A． B． C． D．

9．已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________.

10．已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________.

11．向量与向量的夹角为钝角，则的取值集合为__.

12．已知,，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;

13．如图，正六边形的边长为1，______．

14．已知位置向量,,的终点分别为,,,试判断的形状.

题组B  能力提升练

1．若函数的图像按向量平移后，得到函数的图像，则向量（    ）

A． B． C． D．

2．已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

3．已知点在单位圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

4．以为顶点的三角形是（    ）

A．锐角三角形 B．以为直角顶点的直角三角形

C．以为直角顶点的直角三角形 D．钝角三角形

5．在空间四边形ABCD中， M，G分别是BC， CD的中点，则 （    ）

A． B．2 C．3 D．3

6．在中，满足，是的中点，若是线段上任意一点，且，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

7．已知平面向量，，满足，且，则的最大值为________．

8．数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为______

.

9．边长为4的正三角形，为边的中点，若在边上运动（点可与重合），则的最小值为___________.

10．已知O是内部一点，且满足，又，则的面积为______.

11．在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．

12．已知向量，，，若，则________；若与的夹角为钝角，则的取值范围为_________.

题组C  培优拔尖练

1．在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且，则的最小值为（    ）

A．5 B． C．4 D．

2．已知平面向量满足，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

3．（多选）已知向量，设的夹角为，则（    ）

A． B．

C． D．

4．（多选）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（    ）

A．与能构成一组基底 B．

C．在向量上的投影向量的模为 D．的最大值为

5．已知，，且，则的取值范围是___________.

6．已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为______．

7．若，则的取值范围是______.

8．向量，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则向量，所成角的余弦值是__；向量，所张成的平行四边形的面积是__．

9．在△中，已知，，，设点为边上一点，点为线段延长线上的一点，且.

(1)当且是边上的中点时，设与交于点，求线段的长；

(2)若，求的最小值.