高考数学二轮复习课时跟踪检测21函数的图象与性质小题练（含答案）

课时跟踪检测（二十一）  函数的图象与性质（小题练）

A级——12＋4提速练

一、选择题

1．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)

A.　　　　　　 B.

C.  D．[0,1)

解析：选D　要使函数有意义，需即0≤x<1.

2．(2018·合肥模拟)已知函数f(x)＝则f[f(1)]＝(　　)

A．－  B．2

C．4  D．11

解析：选C　∵f(1)＝12＋2＝3，∴f [f(1)]＝f(3)＝3＋＝4.故选C.

3．函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为(　　)

解析：选A　令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2<x<2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C，D.当x＝时，f＝ln<0，排除选项B，故选A.

4．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)是偶函数

B．函数f(x)是减函数

C．函数f(x)是周期函数

D．函数f(x)的值域为[－1，＋∞)

解析：选D　由函数f(x)的解析式，知f(1)＝2，f(－1)＝cos(－1)＝cos 1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数．当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，且f(x)>1；当x≤0时，f(x)＝cos x，则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且f(x) ∈[－1,1]．所以函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D.

5．(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝(　　)

A．2  B．4

C．－2  D．－4

解析：选C　由题意，知f(－6)＝－f(6)＝－(log28－1)＝－3＋1＝－2，故选C.

6．(2018·武汉调研)已知奇函数f(x)在R上单调递增，若f(1)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)

A．[－2,2]  B．[－1,1]

C．[0,4]  D．[1,3]

解析：选D　因为f(x)为奇函数，且f(1)＝1，所以f(－1)＝－1，故f(－1)＝－1≤f(x－2)≤1＝f(1)，又函数f(x)在R上单调递增，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，故选D.

7．函数f(x)＝的单调递增区间为(　　)

A.  B．

C.   D.

解析：选A　由x2－x－1≥0，可得函数f(x)的定义域为.令t＝，则y＝t，该指数函数在定义域内为减函数．根据复合函数的单调性，要求函数f(x)＝的单调递增区间，即求函数t＝的单调递减区间，易知函数t＝的单调递减区间为.所以函数f(x)＝的单调递增区间为，故选A.

8．(2019届高三·河北五个一名校联考)已知奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，若当x∈(－1,1)时，f(x)＝lg，且f(2 018－a)＝1，则实数a的值可以是(　　)

A.  B．

C．－  D．－

解析：选A　∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)＝f(2－x)，又函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)为周期函数，周期为4.当x∈(－1，1)时，令f(x)＝lg＝1，得x＝，又f(2 018－a)＝f(2－a)＝f(a)，∴a可以是，故选A.

9．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1]  B．[1，＋∞)

C．(0,1)  D．(－∞，1]

解析：选A　画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0≤1－a<1，即0<a≤1；当x>0时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上0<a≤1，故选A.

10．(2018·成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是(　　)

A．f(log27)<f(－5)<f(6)

B．f(log27)<f(6)<f(－5)

C．f(－5)<f(log27)<f(6)

D．f(－5)<f(6)<f(log27)

解析：选C　f(x＋2)＋f(x)＝0⇒f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数．

又f(－x)＝－f(x)，且有f(2)＝－f(0)＝0，

所以f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(6)＝f(2)＝0.

又2<log27<3，所以0<log27－2<1，即0<log2<1，

f(log27)＋f(log27－2)＝0⇒f(log27)＝－f(log27－2)＝－f＝－log2＝－log2，又1<log2<2，所以0<log2<1，所以－1<－log2<0，

所以f(－5)<f(log27)<f(6)．

11．若函数y＝f(x)的图象上的任意一点P的坐标(x，y)满足条件|x|≥|y|，则称函数f(x)具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是(　　)

A．f(x)＝ex－1  B．f(x)＝ln(x＋1)

C．f(x)＝sin x  D．f(x)＝tan x

解析：选C　不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图中阴影部分所示，函数f(x)具有性质S，则函数图象必须完全分布在阴影区域①和②部分，f(x)＝ex－1的图象分布在区域①和③内，f(x)＝ln(x＋1)的图象分布在区域②和④内，f(x)＝sin x的图象分布在区域①和②内，f(x)＝tan x在每个区域都有图象，故选C.

12．(2018·吉林省实验中学模拟)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(x)>0，满足f(x·y)＝f(x)·f(y)，且在区间(0，＋∞)上单调递增，若m满足f(log3m)＋f≤2f(1)，则实数m的取值范围是(　　)

A．[1,3]  B．

C.∪(1,3]   D.∪(1,3]

解析：选D　由于f(x·y)＝f(x)·f(y)，f(x)>0，则令x＝y＝1可得f(1)＝[f(1)]2，即f(1)＝1.令x＝y＝－1，则f(1)＝[f(－1)]2＝1，即f(－1)＝1.令y＝－1，则f(－x)＝f(x)f(－1)＝f(x)，即f(x)为偶函数．由f(log3m)＋f＝2f(1)得2f(log3m)≤2f(1)，得f(|log3m|)≤f(1)．由于f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则|log3m|≤1，且log3m≠0，解得m∈∪(1,3]．

二、填空题

13．若f(x)＝2x＋2－xlg a是奇函数，则实数a＝________.

解析：∵函数f(x)＝2x＋2－xlg a是奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，即2x＋2－xlg a＋2－x＋2xlg a＝0，(2x＋2－x)(1＋lg a)＝0，∴lg a＝－1，∴a＝.

答案：

14．已知a>0，函数f(x)＝若f>－，则实数t的取值范围为________．

解析：当x∈[－1,0)时，函数f(x)＝sinx单调递增，且f(x)∈[－1,0)，当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)＝ax2＋ax＋1，此时函数f(x)单调递增且f(x)≥1，综上，当x∈[－1，＋∞)时，函数f(x)单调递增，由f(x)＝sinx＝－得x＝－，解得x＝－，则不等式f>－，等价于f>f，∵函数f(x)是增函数，∴t－>－，即t>0.故t的取值范围为(0，＋∞)．

答案：(0，＋∞)

15．(2018·山东潍坊模拟)已知奇函数f(x)满足对任意的x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，且f(1)＝1，f(2)＝2，则f(2 017)＋f(2 018)＝________.

解析：因为f(x＋6)＝f(x)＋f(3)，所以当x＝－3时，有f(3)＝f(－3)＋f(3)，即f(－3)＝0，又f(x)为奇函数，所以f(3)＝0，所以f(x＋6)＝f(x)，函数f(x)是以6为周期的周期函数，f(2 017)＋f(2 018)＝f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＝f(1)＋f(2)＝3.

答案：3

16．(2018·济宁模拟)已知函数f(x)＝min{2，|x－2|}，其中min{a，b}＝若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1·x2·x3的最大值是________．

解析：因为函数f(x)＝min{2，|x－2|}

＝

作出其大致图象如图所示，若直线y＝m与函数f(x)的图象有三个不同的交点，则0<m<2(－1)．不妨设x1<x2<x3，则易知2＝m，所以x1＝；同理，2－x2＝m，所以x2＝2－m；x3－2＝m，所以x3＝2＋m，所以x1·x2·x3＝(2－m)(m＋2)＝≤2＝1，当且仅当m2＝4－m2，即m＝时取等号．

答案：1

B级——难度小题强化练

1．(2018·山东临沂模拟)函数f(x)＝ln的图象可能是(　　)

解析：选A　易知函数f(x)是偶函数，故其图象关于y轴对称，排除选项C.函数的定义域是x≠0，排除选项D.＝＝>1，所以f(x)>0，排除选项B.故选A.

2．(2018·洛阳模拟)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：

(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；

(2)∀x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0.给出下列四个函数，

①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；

③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)．

其中为“优美函数”的个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：选B　由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调减函数．

对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.

3．已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝0，f(x)＋f(1－x)＝1，f＝f(x)，且当0≤x1<x2≤1时，有f(x1)≤f(x2)，则f＝(　　)

A.  B．

C.   D.

解析：选C　在f(x)＋f(1－x)＝1中，令x＝1，得f(1)＝1，令x＝，得f ＝，在f ＝f(x)中，令x＝1，得f ＝，由此得f ＝f ，再根据当0≤x1<x2≤1时，有f(x1)≤f(x2)可得在x∈上均有f(x)＝.由f ＝f(x)，可得f(x)＝f(3x)，故f ＝f ＝f ＝f＝…＝f .设≤≤，即≤3n≤1 009，由36＝729,37＝2 187，得n＝6，所以f＝f ＝×＝.

4.(2018·安庆二模)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O沿l1以1 m/s的速度匀速竖直向上移动，且在t＝0时，圆O与l2相切于点A，圆O被直线l2所截得到的两段圆弧中，位于l2上方的圆弧的长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为(　　)

解析：选B　如图所示，设∠MON＝α，由弧长公式知x＝α，在Rt△AOM中，|AO|＝1－t，cos ＝＝1－t，∴y＝cos x＝2cos2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为B.

5．对于实数a，b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设f(x)＝(x－4)⊗，若关于x的方程|f(x)－m|＝1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．

解析：由题意得，f(x)＝(x－4)⊗＝画出函数f(x)的大致图象如图所示．

因为关于x的方程|f(x)－m|＝1(m∈R)，即f(x)＝m±1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y＝m±1(m∈R)与曲线y＝f(x)共有四个不同的交点，则或或得2<m<4或－1<m<1.

答案：(－1,1)∪(2,4)

6．已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈R)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈R)，y＝h(x)满足：对任意的x∈R，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．

解析：根据“对称函数”的定义可知，＝3x＋b，即h(x)＝6x＋2b－，h(x)>g(x)恒成立，等价于6x＋2b－> ，即3x＋b>恒成立，设y1＝3x＋b，y2＝，作出两个函数对应的图象如图所示，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝＝2，即|b|＝2，

∴b＝2或b＝－2(舍去)，若要使h(x)>g(x)恒成立，则b>2，即实数b的取值范围是(2，＋∞)．

答案：(2，＋∞)