高考数学二轮复习课时跟踪检测20“专题五”补短增分综合练（含答案）

这是一份高考数学二轮复习课时跟踪检测20“专题五”补短增分综合练（含答案），共8页。试卷主要包含了已知直线l1，已知双曲线Γ，已知圆C1等内容，欢迎下载使用。
课时跟踪检测（二十）  “专题五”补短增分（综合练）A组——易错清零练 1．(2018·浙江嘉兴校级期中)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的(　　)A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件解析：选A　若l1⊥l2，则a＋a(a＋2)＝0，即a(a＋3)＝0，解得a＝0或a＝－3，所以“a＝－3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.2．已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F，且倾斜角为的直线l与双曲线Γ交于A，B两点，O是坐标原点，若∠AOB＝∠OAB，则双曲线Γ的离心率为(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　由题意可知AB是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB＝∠OAB，可知△AOB为等边三角形，所以tan∠AOF＝＝，整理得b2＝ac，由c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋ac，两边同时除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝.故选C.3．(2019届高三·西安八校联考)过点P(2,1)作直线l，使l与双曲线－y2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l共有(　　)A．1条  B．2条C．3条  D．4条解析：选B　依题意，双曲线的渐近线方程是y＝±x，点P在直线y＝x上．①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k，由消去y得x2－4(kx＋1－2k)2＝4，即(1－4k2)x2－8(1－2k)kx－4(1－2k)2－4＝0，(*)若1－4k2＝0，则k＝±，当k＝时，方程(*)无实数解，因此k＝不满足题意；当k＝－时，方程(*)有唯一实数解，因此k＝－满足题意．若1－4k2≠0，即k≠±，此时Δ＝64k2(1－2k)2＋16(1－4k2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k不存在．综上所述，满足题意的直线l共有2条．4．已知椭圆＋＝1的离心率等于，则m＝________.解析：①当椭圆的焦点在x轴上时，则a2＝4，即a＝2.又e＝＝，所以c＝，m＝b2＝a2－c2＝4－()2＝1.②当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.则b2＝4，即b＝2.又e＝＝，故 ＝，解得＝，即a＝2b，所以a＝4.故m＝a2＝16.综上，m＝1或16.答案：1或165．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________． 解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B两点．连接MC1，MC2.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离比与C1的距离大)，可设轨迹方程为－＝1(a>0，b>0，x<0)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x<0)．答案：x2－＝1(x<0)B组——方法技巧练 1．(2019届高三·河南八市联考)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是(　　)A.  B．3C.  D．2解析：选C　抛物线的准线方程为x＝－，过Q作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为＝.2．(2018·兰州模拟)已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是(　　)A．(0,2]  B．[1,2]C．[2,3]  D．[1,3]解析：选D　依题意，设点P(＋cos θ，1＋sin θ)，∵∠APB＝90°，∴·＝0，∴(＋cos θ＋t)(＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0，得t2＝5＋2cos θ＋2sin θ＝5＋4sin，∵sin∈[－1,1]，∴t2∈[1,9]，∵t＞0，∴t∈[1,3]．3．(2018·惠州调研)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2＋y2＝4相交所得的弦长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为(　　)A．5  B．4C．3  D．2解析：选C　由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d＝＝，所以m2＋n2＝≥2|mn|，当且仅当m＝n时等号成立．所以|mn|≤，又A，B，所以△AOB的面积S＝≥3，故△AOB面积的最小值为3.4．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为(　　)A.  B.C．[2－，2＋]  D.解析：选A　圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得∠APB＝60°，则∠APO＝30°.在Rt△PAO中，|PO|＝＝2，又圆M的半径为1，圆心坐标为M(a，a－4)，∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1，∵|MO|＝，∴－1≤2≤ ＋1，解得2－≤a≤2＋.∴实数a的取值范围为.5．(2018·兰州模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)A．(1,3]  B．[3，＋∞)C．(0,3)  D．(0,3]解析：选A　根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上，得|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m－n＝2a，m2＝8an，∴m2－4mn＋4n2＝0，∴m＝2n，则n＝2a，m＝4a，依题得|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|，∴2c≤4a＋2a，∴e＝≤3，又e＞1，∴1＜e≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．6．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.kAB＝＝＝.由得kAB＝＝＝·，则·＝，∴＝，故＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.答案：y＝±xC组——创新应用练1．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝＋，则r＝(　　)A．2  B.C．2  D.解析：选B　已知＝＋，两边平方化简得·＝－r2，所以cos∠AOB＝－，所以cos＝，又圆心O(0,0)到直线的距离为＝，所以＝，解得r＝.2．(2018·贵阳模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是(　　)A.  B.C.  D.解析：选B　依题意，注意到题中的双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜，即＞，因此题中的双曲线的离心率e＝∈.3．(2018·武汉调研)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan 2α＝.∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d.∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理得d＝m，∴－tan 2α＝－＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a，c＝＝a，∴e＝＝.4．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上的一点．△F1PF2中，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.当点P在椭圆上运动时，求点R的轨迹方程．解：如图，直线l为∠F1PF2的外角平分线且点F2与点Q关于直线l对称，由椭圆的光学性质知，F1，P，Q三点共线．根据对称性，|PQ|＝|PF2|，所以|F1Q|＝|PF1|＋|PF2|＝2a.连接OR，因为O为F1F2的中点，R为F2Q的中点，所以|OR|＝|F1Q|＝a.设R(x，y)，则x2＋y2＝a2(y≠0)，故点R的轨迹方程为x2＋y2＝a2(y≠0)．5．(2019届高三·西安八校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过(1,1)与两点．(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，椭圆C上一点M满足|MA|＝|MB|.求证：＋＋为定值． 解：(1)将(1,1)与两点代入椭圆C的方程，得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：由|MA|＝|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称．①若点A，B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时＋＋＝＋＋＝2＝2.同理，若点A，B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时＋＋＝＋＋＝2＝2.②若点A，B，M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OM的方程为y＝－x，设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)，由解得x＝，y＝，∴|OA|2＝|OB|2＝x＋y＝，同理|OM|2＝，∴＋＋＝2×＋＝2，故＋＋＝2为定值．