第9章 平面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 2025届高考数学一轮总复习(适用于新高考新教材)ppt

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1.本章在高考中的特点(1)题型、题量稳定:近几年高考试题对解析几何的考查一直以“2小1大”或“3小1大”的形式出现,分值约22~27分.(2)重点突出:本章在高考中均以重要知识模块命制试题,题型覆盖面广.客观题重点考查直线与圆,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系等;主观题主要考查圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值及证明等问题,常与函数、不等式等知识综合,有时会以探索性问题形式呈现,难度较大.
2.本章的复习建议(1)注重夯实基础.直线、圆、圆锥曲线的定义、方程是解析几何的根本,也是高考的重要命题点.(2)既要掌握解题的基本方法和基本规律,也要掌握解题的重要结论和解题的技巧,注重条件的转化及方法的提炼、优化.(3)强化审题中的作图意识.依据题意画出比较准确的图形是研究解析几何问题的基础,作图的过程是读题、审题、理解题意与探索解题思路的过程,将条件标在图形上的过程则是条件转化及建立条件与结论联系的过程.
第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
研考点 精准突破
强基础 固本增分
1.直线倾斜角的定义当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴______与直线l ______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为______. 
取值范围为0°≤α<180°
微点拨斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和两横坐标在公式中可以同时调换.就是说,如果分子是y2-y1,那么分母必须是x2-x1;反过来,如果分子是y1-y2,那么分母必须是x1-x2.
微思考直线的倾斜角越大,斜率越大对吗?
提示 不对.设直线的倾斜角为α,斜率为k.
3.直线方程的五种形式
“截距式”中截距不是距离,在用截距式时,应先判断截距是否为0
y-y0=k(x-x0)
误区警示求直线方程时,若不能判断直线是否具有斜率,应对斜率存在与不存在加以讨论.
常用结论特殊位置的直线方程(1)与x轴重合的直线方程为y=0;(2)与y轴重合的直线方程为x=0;(3)过点(a,b)(b≠0)且平行于x轴的直线方程为y=b;(4)过点(a,b)(a≠0)且平行于y轴的直线方程为x=a;(5)过原点且斜率为k的直线方程为y=kx.
题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率.(　　)2.若直线的倾斜角为α,则斜率为tan α.(　　)3.斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等.(　　)4.经过点P(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示.(　　)
6.(人教B版选择性必修第一册2.2.1节练习B第4题改编)已知经过A(a,-1), B(2,a+1)的直线的斜率为3,则实数a的值是__________. 
8.(2015·山东春季高考,10)如图,直线l的方程是(　　)
考点一 直线的倾斜角与斜率
变式探究1(变条件)若例1(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l的斜率的取值范围.
解 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上,
[对点训练1]已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.求:(1)直线l的斜率k的取值范围;(2)直线l的倾斜角α的取值范围.
因为直线l与线段AB有公共点,所以由图可知直线l的斜率k满足k≤kPA或k≥kPB,所以直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,
例2求符合下列条件的直线方程:(1)过点(1,2),且斜率为3;(2)经过两点A(3,-2),B(5,-4);(3)倾斜角为45°且在y轴上的截距为2;(4)过点P(2,4)且在坐标轴上的截距相等.
[对点训练2](1)经过点B(4,2),且平行于x轴的直线的一般式方程为__________. 
解析 因为直线平行于x轴,所以斜率等于0,由点斜式得y-2=0×(x-4),即y-2=0.
(2)经过点A(5,2),且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程为__________________. 
2x-5y=0或x+2y-9=0
考点三 直线方程的综合应用
例3已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点,O为原点,当△AOB面积最小时,求直线l的方程.
变式探究1(变条件)在本例中,当|MA|·|MB|取得最小值时,求直线l的方程.
变式探究2(变条件)在本例中,当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程.