2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业二十利用导数证明不等式

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(1)求a；
(2)设函数g(x)＝(x－1)f(x)＋eq \f(1,x)－1，证明：g(x)≥0.
2．已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R).
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)若函数g(x)＝ex－f(x)，求证：当a＝1时，g(x)>0.
3．[2023·广东四校联考]已知函数f(x)＝x3＋4x－mlnx，g(x)＝m2(x－1)＋5.
(1)若f′(1)＝6，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若－2g(x)恒成立．
优生选做题
4．[2023·山东威海模拟]已知函数f(x)＝2lnx－x＋eq \f(a,x).
(1)当a＝eq \f(3,4)时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，且x10，当x∈（0，a）时，f′（x）0，f（x）单调递增．
f（x）在x＝a处取极小值，故a＝2.
（2）证明：由（1）得f（x）＝x－2lnx，
则g（x）＝（x－1）（x－2lnx）＋eq \f(1,x)－1＝（x－1）（x－2lnx）－eq \f(x－1,x)＝（x－1）（x－2lnx－eq \f(1,x)）（x>0）.
设h（x）＝x－eq \f(1,x)－2lnx，h′（x）＝1＋eq \f(1,x2)－eq \f(2,x)＝eq \f(（x－1）2,x2)≥0，
所以h（x）在（0，＋∞）上单调递增，又h（1）＝0.
则当00，（x－1）h（x）>0，当x＝1时，（x－1）h（x）＝0，
综上，h（x）≥0.即g（x）≥0成立．
2．解析：（1）f（x）＝lnx＋ax的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝eq \f(1,x)＋a＝eq \f(1＋ax,x).当a≥0时，f′（x）>0恒成立，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，当a0，0eq \f(lnx,x)＋1.令t（x）＝eq \f(ex,x)（x>0）.
∴t′（x）＝eq \f(ex（x－1）,x2)，
∴t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．
∴t（x）≥t（1）＝e.再令φ（x）＝eq \f(lnx,x)＋1（x>0），
∴φ′（x）＝eq \f(1－lnx,x2)，
∴φ（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减．
∴φ（x）≤φ（e）＝eq \f(1,e)＋1φ（x）.故g（x）>0成立．
3．解析：（1）因为f′（x）＝3x2＋4－eq \f(m,x)，
由f′（1）＝3＋4－m＝6得m＝1，f（1）＝13＋4×1－ln1＝5，
∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－5＝6（x－1），即y＝6x－1.
（2）证明：f（x）＝x3＋4x－mlnx，g（x）＝m2（x－1）＋5，
f（x）>g（x）即f（x）－g（x）>0，也即x3＋4x－mlnx－m2（x－1）－5>0.
令h（x）＝x3＋4x－mlnx－m2（x－1）－5，
则h′（x）＝3x2＋4－m2－eq \f(m,x)＝eq \f(3x3＋（4－m2）x－m,x)，
设函数l（x）＝3x3＋（4－m2）x－m，则l′（x）＝9x2＋4－m2.
显然l′（x）＝9x2＋4－m2在（1，＋∞）上为增函数，
因为－20对x∈（1，＋∞）恒成立，则l（x）在（1，＋∞）上单调递增，
从而l（x）>l（1）＝－m2－m＋7.
因为－20，
从而h′（x）>0对x∈（1，＋∞）恒成立，则h（x）在（1，＋∞）上单调递增，
所以h（x）>h（1）＝0，从而当x>1时，f（x）>g（x）恒成立．
4．解析：（1）f′（x）＝eq \f(2,x)－1－eq \f(a,x2)＝eq \f(－x2＋2x－a,x2)（x>0），
当a＝eq \f(3,4)时，f′（x）＝eq \f(－x2＋2x－\f(3,4),x2)＝－eq \f(4x2－8x＋3,4x2)＝－eq \f(（2x－1）（2x－3）,4x2)，令f′（x）>0，解得eq \f(1,2)