高中数学湘教版（2019）必修 第二册第1章 平面向量及其应用1.1 向量精品教学设计

《1.4.1向量分解及坐标表示》教学设计

一、课程标准

通过实例，了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量及求一个向量的坐标.

二、教学目标

通过实例了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；掌握向量的坐标表示，会把向量正交分解. 通过对平面向量基本定理的学习，体会由特殊到一般的思维方法，逐步形成动手操作能力与自主探究能力.

三、教学重点：平面基本定理及其意义，平面向量的正交分解与坐标表示.

四、教学难点：平面基本定理的探究，平面向量的坐标表示.

五、教学过程

（一）创设情境，引入新课

数学的任务就是把万事万物用数来表示，用运算来研究.在探寻度量平面向量的“尺子”之前，我们先一起思考下直线上的任意向量是如何被该直线上的单位向量度量出来的？

一条直线上的任意一个向量都可以写成该直线上单位向量的实数倍，并且用该实数来表示向量.这就好比单位向量作为“尺子”来度量向量，得到量数,那么，平面内任意一个向量能不能用两个不共线的向量来度量呢？

（二）自主学习，熟悉概念

1.要求：学生阅读P22——24

2.思考：

（1）如图，能否表示为，实数倍之和？

 （2）平面向量基本定理的内容是什么？在中，对，有什么要求？，唯一吗？系数，是否唯一确定？

（3）什么是向量的正交分解？什么是标准正交基？什么是向量在标准正交基下的坐标？

（三）检验自学，强化概念

1.平面向量基本定理：设, 是平面上两个不共线向量，则

(1)平面上每个向量v都可以分解为, 的实数倍之和，即v=x+y,其中x,y是实数。

(2)实数x,y由v=x+y唯一决定。也就是:

如果v=x+y=x´+y´.则x´=x, y´=y.

我们称不共线向量, 组成平面上的一组基{, }，分解式v=x+y中的系数x,y组成的有序数组(x,y)，称为v在这组基下的坐标。

取定了平面上一组基{, }之后，可以将平面上每个向量v用它在这组基下的坐标来表示，记为v=(x,y)。

2.向量的正交分解与坐标表示

（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。

（2）若是相互垂直的单位向量，则称为标准正交基，记作{i，j}.显然i=(1,0)，j=(0,1).

（3）在 标准正交基下，把一个向量分解为.有序实数对（x,y）叫做向量v的坐标，记为v=(x,y)。

3.例题讲解

例1.如图所示，向量是夹角为的两个单位向量，，且，，求在基下的坐标.

〖设计意图〗巩固学生对平面向量基本定理的理解.

例2.设单位向量夹角为，非零向量的模且，求在单位向量的坐标.

〖设计意图〗从“形”的角度巩固平面向量正交分解及其坐标表示.

例3．如图1.4-4，设单位向量，的夹角，非零向量的模，且. 求在基下的坐标.

〖设计意图〗让学生熟悉平面向量正交分解及其坐标表示.

例4.设是平面内一组标准正交基，已知，，

，若，求在基底下的坐标.

〖设计意图〗从“数”的角度巩固平面向量正交分解及其坐标表示.

(三)课堂练习及检测

P25 1,2

(四)归纳小结

1. 向量分解与平面向量基本定理

2.向量的正交分解与坐标表示

（五）作业

1.习题1.4 1,2,3，4；

2.预习,1.4.2

六、教学反思（酌情写一些）

七、板书设计